劉偉 鄭銳

【摘要】達到把握數(shù)學思想方法的層次是學生數(shù)學學習目標的高端水平.為幫助學生達到此水平，教師在高中數(shù)學思想方法的教學中應該把握三個策略，即顯性化策略、運用化策略和系統(tǒng)化策略.

【關鍵詞】數(shù)學思想方法；教學策略

《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》指出：“數(shù)學課程‘要講推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學生自主探索活動，使學生理解數(shù)學概念、結(jié)論的形成過程，體會蘊含在其中的思想方法.”張奠宙教授認為，數(shù)學課堂教學“按照數(shù)學教學的自身規(guī)律而言，有以下三個層次：基礎知識和基本技能的掌握，問題解決能力的培養(yǎng)，以及數(shù)學思想方法的掌握.學生學習數(shù)學，能夠達到把握數(shù)學思想方法的層次，應該說是達到了學習目標的高端水平.”

筆者認為，在高中數(shù)學教學中進行思想方法的教學，應該注意把握以下三個基本策略.

一、顯性化策略，認識數(shù)學思想

數(shù)學思想是以教學內(nèi)容為載體的對數(shù)學內(nèi)容的一種內(nèi)在的本質(zhì)認識，在數(shù)學教材里，并不正面地闡述數(shù)學思想方法，而是需要教師在教學過程中適時地加以揭示，不斷積累，逐步深化.

如果說，在初中階段，主要讓學生在學習基礎知識，訓練基本技能的過程中，通過教師的引導，自己去“感覺”數(shù)學思想方法，例如，通過點與數(shù)軸上的點一一對應，絕對值的代數(shù)意義與表示距離的幾何意義等，感受數(shù)形結(jié)合思想.

那么，進入高中后，教師必須通過數(shù)學知識的傳授或數(shù)學問題的解決，直接道出背后所蘊含的一些數(shù)學思想方法，這樣做，有利于學生提升對數(shù)學思想方法運用的“自覺性”.

例如，符號化（形式化）思想方法是整個中學數(shù)學重要目標之一，是數(shù)學語言的重要角色，它能使數(shù)學思維過程更加準確、概括、簡明.符號的使用極大地簡化和加速了思維進程，極大地推動了數(shù)學本身的發(fā)展.在必修1的“集合及其運算”的教學時，教師就應該和學生共同回憶，小學里使用阿拉伯數(shù)字，+，-，×，÷，=，<，>，（ ），分數(shù)線，小數(shù)點等符號，寫成算式，初中里用字母代替數(shù)、未知元、待定系數(shù)等形式化的代數(shù)語言取代算術語言，用字母、符號表示方程、不等式等.之后，及時地將“符號化（形式化）思想方法”展現(xiàn)在學生面前，使學生明白，學習數(shù)學就必須掌握適當?shù)男问交恼Z言，學習數(shù)學的一個重要目標就是學習一種有特定含義的形式化的語言，以及用形式化語言去表示和解決各種問題.

再例如，化歸思想是解決數(shù)學問題的常用數(shù)學思想方法，所謂化歸思想，就是將一個問題A進行等價變形，使其歸結(jié)為另一個能解決的問題B，既然B已可解決，那么A就解決了.例如，學習對數(shù)運算性質(zhì)時，不能只是記住并運用公式，而應該將其背后蘊含的“化歸思想方法”明示給學生：把復雜的數(shù)學的乘、除、乘方、開方等運算問題，通過對數(shù)化歸為簡單的加、減、倍積運算問題.

在余弦定理的教學中，有這樣的教學設計：

教學設計1：我們已經(jīng)知道，在直角三角形中的三邊的關系（勾股定理），那么，在斜三角形中三邊有什么關系呢？

教師提出這樣的問題：

在直角三角形ABC中，若已知b，c和角A，怎樣用它們表示直角邊a.

進而通過驗證相應的關系式對于其他兩邊也成立，學生能由上述關系式在直角三角形中“普遍”成立，猜想，這一規(guī)律在斜三角形中也成立，從而“為學生深刻理解和掌握余弦定理做好必要的鋪墊”.

這種設計對于學生而言顯然很突兀！我們可以設想，在事先不知道余弦定理的情況下，還會做出這樣的變形嗎？這樣的“猜想”根本就是假猜想！學生這時必然會因深感困惑而放棄主動探索的意愿，從而導致學生失去進一步領會化歸思想的機會！

教學設計2：我們已經(jīng)知道，在直角三角形中的三邊的關系（勾股定理），那么，在斜三角形中三邊有什么關系呢？

教師引導學生用化歸思想解決問題：

我們是否可以充分利用已有知識來解決面臨的新問題？

在銳角三角形與鈍角三角形中分別加以證明.化歸為直角三角形來解決問題：

在銳角三角形ABC中，過B作BD⊥AC，則

鈍角三角形，同理可證（略）.

二、運用化策略，鞏固數(shù)學思想

有些基本思想方法，如數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、函數(shù)與方程思想等是高層次的指導性的數(shù)學思想方法，它貫穿于整個中學階段，對這些方法應經(jīng)常地予以強調(diào)，并通過“問題解決”使學生達到理解掌握的要求.

數(shù)學問題的解決，實質(zhì)上是問題不斷轉(zhuǎn)化和數(shù)學思想反復應用的過程，數(shù)學的思想方法存在于問題解決之中.數(shù)學問題的步步轉(zhuǎn)化，無不遵循數(shù)學思想方法指示的方向.

此題運用了補集方法，當一個數(shù)學問題從正面難以解決時，可以將問題轉(zhuǎn)化到其反面入手去解決.

三、系統(tǒng)化策略，深化數(shù)學思想

由于數(shù)學思想方法往往隱含在知識里，體現(xiàn)在知識的發(fā)生、應用過程中.學生數(shù)學思想方法的形成要經(jīng)歷一個從模糊到清晰的較長過程，學生個體掌握數(shù)學思想方法比理解知識、形成技能更加不同步，因此，數(shù)學思想方法教學比數(shù)學知識教學更加困難.數(shù)學思想方法具有系統(tǒng)性，需要教師立足學生學習的整個過程，就高中階段而言，教師應該立足于數(shù)學思想方法的高度，以提示數(shù)學思想方法為主線，設計并實施每一節(jié)的教學，尤其在每章小結(jié)的教學中，更是應該將貫穿該章的數(shù)學思想方法作為核心內(nèi)容.“數(shù)學的學術形態(tài)，是形式化的演繹體系，數(shù)學教學的任務是將這種學術形態(tài)轉(zhuǎn)換為學生易于接受的教育形態(tài).教育形態(tài)的靈魂，就是數(shù)學思想方法.系統(tǒng)化地滲透和貫徹，實現(xiàn)由淺到深、循序漸進的培養(yǎng)，形成系統(tǒng)的方法.”（張奠宙）

數(shù)學思想方法大體上可分為三種類型.第一類是宏觀型思想方法，包括抽象概括、化歸、數(shù)學模型、數(shù)形結(jié)合、歸納猜想等，其中抽象概括、數(shù)學模型、歸納猜想方法常常與數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)現(xiàn)過程緊密聯(lián)系，是將現(xiàn)實世界進行數(shù)學化的重要方法.化歸是我們處理數(shù)學問題的一種基本思路，具有很強的思維導向功能.數(shù)形結(jié)合方法則反映了各科之間的內(nèi)部聯(lián)系和統(tǒng)一性，體現(xiàn)了人們對數(shù)學的總體認識.第二類是邏輯型思想方法，包括分類、完全歸納法、反證法、演繹法、特殊化方法等，這類方法都具有確定的邏輯結(jié)構(gòu).例如，演繹法，其主要形式是三段論，具有精確的邏輯表達結(jié)構(gòu).第三類是技巧型思想方法，包括換元、配方、待定系數(shù)等方法.這類方法常常用于具體解題，具有一定的操作步驟.

數(shù)學思想方法的掌握，必須經(jīng)過長期領會，點點滴滴地積累的過程，所以，數(shù)學思想方法的教學貴在堅持，以收滴水穿石之效.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2010.

[2]張奠宙，過伯祥，方均斌，等.數(shù)學方法論稿（修訂版）：第2版[M].上海：上海教育出版社，2012.

[3]上海市黃浦區(qū)數(shù)學方法論研究小組.關于數(shù)學思想方法訓練序的研究[J].數(shù)學教育學報，1994（2）：38-42.