成旭華,姚建勇,樂貴高

(南京理工大學機械工程學院,290014,南京)

電液伺服系統(tǒng)具有動態(tài)響應快、體積小、輸出力/轉(zhuǎn)矩大及控制精確度高等突出優(yōu)點,在國防、航空航天、民用等領域得到了廣泛應用。電液伺服系統(tǒng)是一個典型的非線性系統(tǒng),包括各種非線性特性和建模不確定性,如摩擦非線性、電液伺服閥流量壓力非線性等非線性特性,電液伺服閥流量增益、泄漏系數(shù)、負載質(zhì)量、執(zhí)行機構(gòu)的黏性摩擦系數(shù)、液壓油彈性模量等未知參數(shù)以及外部干擾、未建模動態(tài)、死區(qū)等建模不確定性[1-2],這些非線性限制了電液伺服系統(tǒng)高性能控制器的發(fā)展。為了提高非線性系統(tǒng)的控制性能,越來越多的研究人員設計了各種非線性控制器[3-6],滑模[7]、自適應[8]、自適應魯棒[9-10]等方法相繼運用到液壓非線性運動控制中。

液壓系統(tǒng)中部分參數(shù)的不確定性比較大,如液壓油彈性模量可從100 MPa到1 400 MPa,泄漏系數(shù)可從1×10-13m5/(N·s)到1×10-10m5/(N·s)等。傳統(tǒng)自適應控制對參數(shù)自適應初值比較敏感,系統(tǒng)存在強參數(shù)不確定性時,初值的選取將影響系統(tǒng)的瞬態(tài)響應性能,甚至閉環(huán)穩(wěn)定性。針對此類問題,多模自適應控制被提出,且受到廣泛關注。文獻[11]針對線性系統(tǒng)建立含有多個固定模型和兩個自適應模型,提出一種有停留時間的切換策略,并分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。李曉理等設計了一種基于有界擾動分區(qū)的多模型自適應控制,解決了含有界擾動的離散時間系統(tǒng)輸出跟蹤問題,提高了系統(tǒng)控制性能[12]。邵彭真等設計了一種多模型切換自適應控制器,解決了軋機電液伺服系統(tǒng)在空載和負載兩種不同工況的切換控制。針對線性系統(tǒng),Han等提出一種二階多模型自適應控制[14],運用凸集的概念,減小了辨識模型的個數(shù),且具有一定的魯棒性能[15]。隨后,陳杰等提出非線性系統(tǒng)的二階多模型自適應控制[16-17],但沒有考慮存在外部干擾等不確定性的情況。自適應控制在存在外部干擾、未建模動態(tài)等不確定性時,系統(tǒng)跟蹤性能將會受到影響。

本文針對電液伺服系統(tǒng)的特點,建立了系統(tǒng)的數(shù)學模型以及多個辨識模型,在辨識模型中設計非線性魯棒項,以減小外部干擾等不確定性的影響,并基于反步法和李雅普諾夫分析法設計了一種考慮強參數(shù)不確定性和不確定非線性的多模型魯棒自適應控制器(MMRAC),使系統(tǒng)得到了漸進跟蹤的性能,提高了系統(tǒng)的瞬態(tài)響應性能。實驗結(jié)果證明了所設計控制器的有效性。

1 系統(tǒng)建模與問題描述

本文所研究的電液伺服系統(tǒng)如圖1所示,圖中右側(cè)的負載被伺服液壓缸驅(qū)動。控制器設計的目標是在電液伺服系統(tǒng)的輸出下使得負載位移盡可能地跟蹤任意指定的位移軌跡。電液伺服系統(tǒng)的動力學方程可以表示為

(1)

圖1 電液伺服系統(tǒng)示意圖

忽略伺服液壓缸的外泄漏,則伺服液壓缸的壓力動態(tài)方程為[1]

(2)

式中:Vt為伺服液壓缸的總?cè)莘e;βe為有效油液彈性模量;Ct為內(nèi)泄漏系數(shù);QL為負載流量;q(t)為建模誤差。

采用高響應的電液伺服閥,則閥芯位移xv與控制輸入u近似為比例環(huán)節(jié),即xv=kiu,因此得到電液伺服閥流量方程

(3)

(4)

(5)

對于確定的液壓系統(tǒng),有以下合理的假設。

假設1系統(tǒng)的指令信號yd(t)=x1d(t)∈C3且有界;實際液壓系統(tǒng)在一般工況下滿足0

假設2系統(tǒng)參數(shù)不確定性θ的范圍已知,即

θp∈Ωpθ{θp:θpmin≤θp≤θpmax}

(6)

式中:θpmin=[θp1min,θp2min,θp3min,θp4min]T、θpmax=[θp1max,θp2max,θp3max,θp4max]T是向量θp已知的上下界,θp3min>0。

(7)

在控制器設計分析過程中,將用到以下引理。

引理1?x∈R,a>0,有

0≤xtanh(x/a)≤|x|

(8)

引理2?x≥0,y>0或x>0,y≥0有

x/x+y≤1

(9)

2 控制器的設計

2.1 辨識模型及參數(shù)自適應的設計

對系統(tǒng)進行在線辨識,根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)方程(5)設計多個辨識模型如下

(10)

如上所示,各辨識模型的形式是一樣的,只是參數(shù)估計的初值不同。

(11)

式中:j=1,2,3,4表示為第幾個參數(shù);τij為參數(shù)自適應函數(shù),在后續(xù)控制器設計中決定其具體形式。

給定如下參數(shù)自適應率

(12)

式中Γ>0為正定對角矩陣。

對于任意的參數(shù)自適應函數(shù)τi,不連續(xù)映射式(12)滿足以下性質(zhì)

P1θi∈Ωθi{θi:θpmin≤θi≤θpmax}

(13)

(14)

2.2 控制器的設計

基于各個辨識模型,用反步設計方法設計相應的控制器ui。

定義emi1=xi1-x1d,則

(15)

令αi1為xi2的虛擬控制輸入,定義αi1與xi2的誤差為emi2=xi2-αi1,則

(16)

設計虛擬控制輸入

(17)

式中k1>0為可調(diào)增益。

將式(17)代入式(16)得

(18)

令αi2為xi3的虛擬控制輸入,定義αi2與xi3的誤差為emi3=xi3-αi2,則

(19)

設計虛擬控制輸入

(20)

式中k2>0為可調(diào)增益。

將式(20)代入式(19)得

(21)

對emi3求導,得到其動態(tài)方程如下

(22)

基于式(22)設計控制器

ui=uia+uis

(23)

式中k3>0為可調(diào)增益。

將控制器式(23)代入式(22)得

(24)

2.3 切換策略的設計

對系統(tǒng)進行在線辨識并基于辨識模型設計控制器,其動機是通過辨識模型的穩(wěn)定使得被控對象穩(wěn)定。因此,如果使用多個辨識模型,具有最佳性能的模型也將產(chǎn)生最佳的控制性能。為了提高系統(tǒng)控制性能,需要在任何時刻有可靠的辨識性能指標。本文采用的切換方案是對基于系統(tǒng)辨識誤差的指標函數(shù)進行監(jiān)視,每次切換時選擇對應于指標函數(shù)值最小的辨識模型的控制器作為系統(tǒng)的當前控制輸入。

本文選擇的性能指標函數(shù)為

(25)

式中:α>0、β>0為對應項的權重,分別決定實時和歷史辨識誤差在性能指標中的權重。

切換函數(shù)

S(t)=sub(Ji(t)=Jmin(t),i=1,2,…,N)

u=us(t)

(26)

式中:sub(·)為取下標函數(shù);Jmin(t)為t時刻各個辨識模型的性能指標函數(shù)中的最小值。將基于性能指標函數(shù)最小的辨識模型設計的控制器切換為當前控制器,即u=us(t),且切換間隙Tmin>ε,ε為任意小的數(shù),以防止無限切換。

2.4 控制性能及穩(wěn)定性分析

定義系統(tǒng)真實位移和系統(tǒng)給定指令的誤差z=xp1-x1d。

定理對于電液伺服系統(tǒng)式(5),取參數(shù)自適應函數(shù)

τi=φei3

(27)

式中:φ=[-xp2,-xp3,-gu,-1]T。

取M的自適應率

(28)

式中γ>0為參數(shù)自適應增益。

選取λ1,λ2,λ3,k1,k2,k3使得如下定義的矩陣為正定矩陣

則控制器式(23)及切換函數(shù)式(26)保證閉環(huán)系統(tǒng)中所有信號均有界,可獲得漸近穩(wěn)定跟蹤,即當t→∞時,z→0,并且提高了系統(tǒng)的瞬態(tài)響應性能。

證明假設某一時刻控制器為ui,取李雅普諾夫函數(shù)為

(29)

對其求導得

(30)

將參數(shù)自適應率式(11)(28)代入式(30)得

(31)

式中Ei=[emi1,emi2,emi3ei1,ei2,ei3]T。

(32)

對式(32)兩邊進行積分,得

(33)

z=xp1-x1d=(xi1-x1d)-

(xi1-xp1)=emi1-ei1

(34)

由上述證明過程可知,每一個控制器都可以使系統(tǒng)穩(wěn)定。因此,控制器式(23)和切換函數(shù)式(26)可以使得系統(tǒng)任意時刻都是穩(wěn)定的,即t→∞時,z→0,且把離真實系統(tǒng)最近的辨識模型所設計的控制器切換為系統(tǒng)當前控制器,提高了系統(tǒng)的瞬態(tài)響應性能。

3 實驗結(jié)果及分析

建立如圖2所示的閥控電液位置伺服系統(tǒng),其系統(tǒng)參數(shù)與文獻[3]相同。系統(tǒng)的供油壓力Ps=10 MPa,Pr=0.08 MPa,采樣時間為0.5 ms。

圖2 電液位置伺服系統(tǒng)實驗平臺

對比以下5種控制器以驗證所提出控制器的有效性。

(1)MMRAC。本文所提出的多模型魯棒自適應控制器,控制器參數(shù)k1=1 000,k2=200,k3=50,λ1=1 000,λ2=400,λ3=100,γ=0.05,Γ=diag[20 000,0.2,1×10-5,50]。建立了4個辨識模型,θ1(0)=[-1×105,-100,15,0]T,θ2(0)=[-5×105,-500,30,0]T,θ3(0)=[-1×106,-1 000,50,0]T,θ4(0)=[-2×106,-2 000,90,0]T,Mi(0)=10,δ(t)=10 000/(t2+1)。取α=1,β=1,初始控制器選為u2。

(2)魯棒自適應控制器(RAC)。傳統(tǒng)的RAC,參數(shù)自適應初值θ(0)=[-5×105,-500,30,0]T,其余參數(shù)同MMRAC。

(3)多模型自適應控制器(MMAC)。與MMRAC的區(qū)別在于辨識模型中沒有非線性魯棒項,控制器參數(shù)同MMRAC。

(4)PI控制器?？刂破鲄?shù)kp=8 000,ki=2 000。

(5)VFPI控制器。該控制器是速度前饋PI控制器,速度增益kv選為0.028 1 V·s/mm,這種控制結(jié)構(gòu)在工業(yè)中被廣泛使用,其增益與PI控制器相同。

采用最大跟蹤誤差Me、平均跟蹤誤差μ、跟蹤誤差的標準差σ等指標[6]來評估以上5種控制器的性能。

為驗證所提出算法的有效性,選取兩種不同工況進行實驗驗證。

工況1:取系統(tǒng)指令x1d=10arctan(sin(πt))·[1-e-t]/0.785 4 (mm),該指令保證了假設1的條件。MMRAC作用下系統(tǒng)位置跟蹤、控制器輸入、伺服液壓缸兩腔的壓力值、切換函數(shù)分別如圖3～圖6所示,5種控制器作用下系統(tǒng)位置跟蹤誤差如圖7所示。5種控制器作用下最后兩周期的性能指標如表1所示。

圖3 MMRAC作用下系統(tǒng)的位置跟蹤

圖4 MMRAC的控制輸入

圖5 伺服液壓缸兩腔的壓力值

圖6 MMRAC控制器切換圖

由位置跟蹤誤差圖7及表1中后兩周期的性能指標可以看出,MMRAC的各項性能指標均最優(yōu)。由于RAC參數(shù)自適應初值選取得不合適,導致其跟蹤性能較差,而MMRAC采用了多個辨識模型,其瞬態(tài)響應較RAC有了明顯的提高。與MMAC相比,MMRAC通過在辨識模型中加入非線性魯棒項,抑制了外部干擾、未建模動態(tài)等不確定性的影響,提高了系統(tǒng)辨識的精度。由于MMRAC基于更為準確的辨識模型設計相應控制器,從而提高了系統(tǒng)的控制性能。從圖6可以看出,MMRAC的初始控制輸入為u2,在經(jīng)過一個采樣周期后,系統(tǒng)的控制輸入切換到u1,而后面S(t)的值不再變化,說明已經(jīng)切換到最佳的控制器。PI控制器對模型不確定性有一些魯棒性,其跟蹤誤差比其他4種控制器都要差。VFPI控制器中加入了速度前饋,利用速度前饋消除主要的模型動態(tài),同時通過大的反饋增益抑制其他未考慮的因素,但其性能指標仍不如MMRAC。

圖7 工況1下各控制器位置跟蹤誤差比較圖

控制器MeμσPI0.265 10.136 60.079 1VFPI0.062 50.021 20.013 3RAC0.195 30.071 60.046 9MMAC0.054 90.018 50.011 6MMRAC0.038 60.017 90.007 6

工況2:為了進一步驗證算法的有效性,選取系統(tǒng)指令x1d=30arctan(sin(0.4πt))[1-e-t]/0.785 4 (mm)。5種控制器的位置跟蹤誤差如圖8所示,最后兩周期的性能指標如表2所示。

同樣,從實驗結(jié)果可以看出,MMRAC的各項性能指標均優(yōu)于其他4種控制器,從而進一步驗證了所提出算法的有效性。

圖8 工況2下各控制器位置跟蹤誤差比較圖

控制器MeμσPI0.230 30.134 10.062 1VFPI0.055 10.016 00.012 2RAC0.190 90.069 60.042 1MMAC0.045 70.008 50.007 1MMRAC0.032 90.007 80.005 7

4 結(jié) 論

本文針對電液伺服系統(tǒng)存在的強參數(shù)不確定性和不確定非線性,設計了一種多模型魯棒自適應控制器。通過設計多個含有非線性魯棒項的辨識模型對系統(tǒng)進行在線辨識,并基于辨識模型設計相應的控制器。采用基于辨識誤差的性能指標函數(shù)作為切換依據(jù),選取最佳辨識模型及控制器,并把該控制器作為當前控制器,解決了傳統(tǒng)自適應控制對參數(shù)自適應初值敏感的問題,提高了系統(tǒng)的瞬態(tài)響應性能。通過辨識模型中的非線性魯棒項,減小了干擾、未建模動態(tài)等不確定非線性的影響。運用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論,證明了控制器的穩(wěn)定性。實驗結(jié)果表明,通過設計多個含有非線性魯棒項的辨識模型,可以有效抑制建模不確定性的影響,提高系統(tǒng)跟蹤精度,與MMAC相比,穩(wěn)態(tài)精度提高了28%左右,驗證了本文所提算法的有效性。