雙心圓彭賽列閉合三角形的六心線恒定不變性探討

江蘇省南京市東南大學(211189) 徐文平

一、引言

一個任意三角形必定有唯一的內(nèi)切圓和外接圓,構(gòu)成了三角形內(nèi)切外接圓中圓問題,歐拉幾何定理和彭賽列三角形閉合定理均是關(guān)于三角形內(nèi)切外接雙心圓的幾何定理,聯(lián)合分析二者幾何特性能有什么新發(fā)現(xiàn)?當雙心圓彭賽列三角形閉合變換時,有什么關(guān)鍵的點和線是永恒不變啊?

研究表明：歐拉幾何定理的三角形內(nèi)切外接圓中圓,三角形內(nèi)切圓的切點三角形的垂心H,九點圓圓心V,重心G與原三角形內(nèi)心I、外心O以及位似中心S六點共線,進一步研究表明：雙心圓彭賽列三角形閉合變換時,六心線恒定不變(如圖1),如此巧妙幾何特性值得研究.

圖1

二、切點三角形的六心共線性質(zhì)簡證

三角形內(nèi)切圓的三個切點構(gòu)成一個新三角形被定義為切點三角形,研究發(fā)現(xiàn),三角形的切點三角形的垂心H,九點圓圓心V,重心G與原三角形內(nèi)心I、外心O以及位似中心S六點共線.證明如下：

引理1(歐拉線)三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心,依次位于同一直線上,這條直線就叫三角形的歐拉線,且外心到重心的距離等于垂心到重心距離的一半.

引理2(垂足三角形的性質(zhì))銳角三角形的垂心H必為其垂足三角形的內(nèi)心.

簡證由賽瓦定理可知,AD、BE和CF交于垂心H.因為△DEF是垂足三角形,所以AB⊥CF,AC⊥BE,BC⊥AD.因為BCEF四點共圓,所以∠1=∠3;因為ABDE四點共圓,所以∠2=∠4.

因為∠3+∠B=90°,∠4+∠B=90°,所以∠3=∠4,所以∠1=∠2.因此,EB平分∠DEF,引理2成立.

引理3(旁心三角形的性質(zhì))三角形的旁心三角形垂心H是原三角形的內(nèi)心.

圖2

簡證如圖2中,90°=∠1+∠AEF=∠3+∠B,所以∠AEF=∠B,90°=∠2+∠DEC=∠4+∠B,所以∠DEC=∠B=∠AEF.分析可知：因為AD平分∠EDF,AD與E、F兩點外角平分線的交于A點,所以,A點為△DEF旁心圓的一個圓心.同理可知,B、C兩點也是△DEF的旁心.因此,△ABC是△DEF是旁心三角形,H點是△ABC旁心三角形的垂心,又H點是△DEF原三角形的內(nèi)心,引理3成立.

引理4(銳角三角形的位似關(guān)系循環(huán)定理)銳角三角形的切點三角形的垂足三角形與原有三角形位似;銳角三角形的垂足三角形的切點三角形與原有三角形位似.其位似關(guān)系性質(zhì)可多重循環(huán)直至無窮,收斂于位似中心.

圖3

簡證△ABC內(nèi)切圓三邊的切點為D、E、F,△DEF為△ABC的切點三角形.△DEF三邊的垂足為P、Q、R,△PQR為△DEF的垂足三角形.△PQR內(nèi)切圓三邊的切點為X、Y、Z,△XY Z為△PDR的切點三角形.依據(jù)引理 3,∠EDF=∠FPQ,∠EDF=∠EPR,依據(jù)切點三角形性質(zhì),∠EDF=∠AFE=∠AEF,所以,∠EDF=∠FPQ=∠EPR=∠AFE=∠AEF,∠QPR=180°-∠FPQ-∠EPR=180°-2∠EDF=∠A.

同理：∠PQR=∠B,∠PRQ=∠C,所以△PQR～△ABC,因為,∠FPQ=∠AFE,內(nèi)錯角相等,△PQR與△ABC的三條對應邊平行,故△PQR～△ABC位似.銳角三角形的切點三角形的垂足三角形與原有三角形位似,證明成立.

同理可證：銳角三角形的垂足三角形的切點三角形與原有三角形位似.

分析可知,其位似關(guān)系性質(zhì)可多重循環(huán)直至無窮,收斂于位似中心.

引理5(六心共線)三角形內(nèi)切圓的切點三角形的垂心H,九點圓圓心V,重心G與原三角形內(nèi)心I、外心O以及位似中心S六點共線.

傳統(tǒng)的歐拉線是三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心,依次位于同一直線上,四心連線.分析三角形內(nèi)切圓的切點三角形可知,切點三角形的垂心H,九點圓圓心V,重心G與原三角形內(nèi)心I、外心O以及位似中心S六點共線.

圖4

簡證如圖4,△ABC是原三角形,△DEF是△ABC的切點三角形,△PQR是△DEF的垂足三角形.依據(jù)引理4,△PQR～△ABC位似,位似中心為S.因此,△ABC的外心O和△PQR的外心V以及位似中心S共線.(垂足三角形△PQR的外心V點就是切點三角形△DEF的九點圓圓心V點).

△PQR～△ABC位似,△ABC的內(nèi)心I和△PQR的內(nèi)心H以及S共線.(垂足△PQR的內(nèi)心H就是切點三角形△DEF的垂心H).對于切點三角形△DEF,依據(jù)歐拉線,切點三角形的垂心H,九點圓圓心V、重心G與其外心I四點共線.(切點三角形△DEF的外心I就是原三角形△ABC的內(nèi)心I).因此,切點三角形的垂心H,九點圓圓心V,重心G與原三角形內(nèi)心I、外心O以及位似中心S六點共線.三角形內(nèi)切圓的切點三角形的六心共線證明完畢.

三、雙心圓彭賽列三角形閉合轉(zhuǎn)換中六心線恒定不變性

研究表明：當雙心圓作彭賽列三角形閉合變換時,其切點三角形的六心線恒定不變,在幾何變換中發(fā)現(xiàn)了幾何特性點不變的現(xiàn)象,具有研究意義.證明如下：

引理6外接橢圓的任意六點形,間隔連接頂點形成二個三角形,在橢圓內(nèi)部可構(gòu)成一個六邊形,則內(nèi)部六邊形的三條對角線必定交于一點.

圖5

圖6

簡證如圖6,依據(jù)帕斯卡定理,XMY三點共線.對BDA,QGR用帕普斯定理,有NMY共線,對BED,QFG用帕普斯定理,有XNZ共線.則XNMZY五點共線,即XZY三點共線,引理6成立.

引理7(彭賽列三角形閉合定理)對于雙心橢圓K和C,假設存在一個內(nèi)切外接雙心圓的閉合三角形,則從外橢圓曲線K上任取一點P出發(fā),內(nèi)切外接雙心圓K和C三次后一定能閉合,稱為雙心橢圓彭賽列閉合三角形.

簡證布列安桑定理斷言六條邊和一條圓錐曲線相切的六邊形的三條對角線共點,如圖6,依據(jù)引理6和布列安桑定理,彭賽列閉合定理(N=3)成立.

引理8(歐拉幾何定理)設三角形的外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r,外心與內(nèi)心的距離為d,則有：d2=R2-2·r·R.

圖7

圖8

引理9任意雙心圓,小圓圓心為O點,在大圓上取二個點A和A1,過A點作小圓的切線交于B、C兩個切點,過A1點作小圓的切線交于B1、C1兩個切點,M為BC線段的中點,M1為B1C1線段的中點,則△OAA1～△OM1M.

證明如圖8,假設小圓半徑為r,依據(jù)射影定理可知：r2=OM·OA=OM1·OA1,則有：AA1MM1四點共圓,∠1=∠OMM1=∠OA1A;∠2=∠OM1M=∠OAA1,所以,△OAA1～△OM1M.

引理10(圓中圓定理)任意雙心圓,在大圓上取一個動點A,作小圓的切線交于B、C兩個切點,M為BC線段的中點,則M點的軌跡為一個圓.

簡證一如圖10,大圓上任意選取四點ABCD,做小圓切線,得到對應的極線中點A1B1C1D1四點.因為,ABCD四點共圓,即∠1+∠2+∠3+∠4=180°.依據(jù)引理9可知,分析A1B1C1D1四邊形,對角之和為180°,所以,A1B1C1D1四點共圓.

圖9

圖10

簡證二如圖11,大圓上任意A,做小圓切線,得到對應的極線中點M點.A1A2在雙心圓的兩個圓心連線上,A1、A2二點相對應的極線中點為M1和M2點.依據(jù)引理9可知,∠M=∠1+∠2=90°,依據(jù)題意,M1和M2點是M軌跡兩個圓心連線上的最左和最右端點.推理可知：M點的軌跡為一個圓,M1M2是M軌跡圓的直徑.

引理11雙心圓彭賽列三角形作閉合變換時,切點三角形的九點圓恒定不變.

圖11

圖12

簡證如圖12,彭賽列三角形△ABC閉合變換為三角形△A1B1C1,相應的切點三角形△DEF變換為切點三角形△D1E1F1,切點三角形的中位線三角形△PQR變換為中位線三角形△P1Q1R1.PQRP1Q1R1六點均是切線極線的中點,依據(jù)引理9可知,PQRP1Q1R1六點共圓于圓V.依據(jù)九點圓定義,切點三角形△DEF和切點三角形△D1E1F1具有相同的九點圓.因此,雙心圓彭賽列三角形作閉合變換時,切點三角形的九點圓恒定不變.

定理12(六心連線不變性)雙心圓彭賽列三角形作閉合變換時,切點三角形的垂心H,九點圓圓心V,重心G與原三角形內(nèi)心I、外心O以及位似中心S六點共線,六心線恒定不變.

簡證如圖13,在雙心圓中,△ABC彭賽列三角形閉合變換到△A1B1C1的位置.△ABC的切點三角形為△DEF,△DEF的垂足三角形為△PQR.△A1B1C1的切點三角形為△D1E1F1,△D1E1F1的垂足三角形為△P1Q1R1.△PQR和△P1Q1R1的外接圓分別是△DEF和△D1E1F1的九點圓.

圖13

依據(jù)引理 11可知,切點三角形△DEF和切點三角形△D1E1F1具有相同的九點圓.因此,△PQR和△P1Q1R1具有相同外接圓,圓心V相同.雙心圓彭賽列三角形閉合變換時,△DEF和△D1E1F1切點三角形的九點圓圓心V位置不變,半徑均為圓I半徑的一半.因為,切點三角形為△DEF和切點三角形△D1E1F1的二組六心線中,其中三點是恒定不變(九點圓圓心V、原三角形內(nèi)心I、外心O在命題中是固定的).

因為,切點三角形的九點圓圓心V,重心G,垂心H,外心I四點共線,且HG=2IG,IG=2V G,IH=2IV,這些點互相之間比例關(guān)系恒定的.因此,雙心圓彭賽列三角形閉合變換時,切點三角形的九點圓心V和外心I恒定不變,所以,重心G,垂心H也恒定不變.所以,切點三角形為△DEF和△D1E1F1二組六心線中五點完全重合,五心恒定不變(九點圓圓心V,重心G,垂心H和原三角形內(nèi)心I、外心O).因為,△PQR和△P1Q1R1的外接圓相同,六點共圓.又依據(jù)引理4可知,△ABC與△PQR位似,△A1B1C1與△P1Q1R1位似,二者位似比相同.所以,六邊形ABCA1B1C1與六邊形PQRP1Q1R1位似.因此,雙心圓彭賽列三角形閉合變換時,△ABC與△PQR位似關(guān)系轉(zhuǎn)變成為△A1B1C1與△P1Q1R1位似,二者的位似中心S點相同.定理12證明完畢.

三、彭賽列雙心圓切點三角形的六心位置

雙心圓彭賽列三角形閉合變換時,切點三角形的垂心H,九點圓圓心V,重心G與原三角形內(nèi)心I、外心O以及位似中心S六點共線,且方向和位置恒定不變.在幾何變換中發(fā)現(xiàn)了幾何特性點不變的現(xiàn)象,具有重要研究意義.

彭賽列三角形閉合特性是僅僅取決于彭賽列雙心圓,即取決于雙心圓大圓半徑R、小圓半徑r,因此,六心之間的距離也僅僅取決于彭賽列雙心圓的半徑r、R兩個參數(shù).

1.雙心圓圓心距離d

依據(jù)歐拉幾何定理：d2=R2-2·r·R=f1(r,R).式中的d為三角形大圓圓心O和小圓圓心I之間的距離.

2.九點圓圓心V,垂心H和重心G的位置

九點圓半徑為三角形外接圓半徑的一半,如圖14,,依據(jù)引理11的簡證方法二得.依據(jù)射影定理,

圖14

圖15

3.位似中心S的位置

如圖15,雙心圓彭賽列三角形閉合變換時,所有切點三角形的九點圓相同,九點圓和大圓的位似中心S點,就是雙心圓彭賽列三角形閉合變換時所有位似三角形的位似中心S點.假設距離IS為x,則,整理得：.

4.思考

1)彭色列三角形閉合變換時,原三角形的旁心也在六心線上.

2)彭色列三角形閉合變換時,所有切點三角形的三條邊長的平方之和是恒定不變,即