安徽省岳西中學(xué)(246600) 儲(chǔ)百六

筆者最近在數(shù)學(xué)通報(bào)2016年第2期上看到如下問題：

問題1(數(shù)學(xué)通報(bào)2285號(hào)問題)設(shè)a,b,c＞0且abc＞1,證明：函數(shù)f(x)=ax+bx+cx在[0,+∞)上為增函數(shù).

原解答中采用作差比較的方法證明,非常巧妙,不易想到.現(xiàn)在高中已有微積分的知識(shí),用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性已經(jīng)是常用方法,下面筆者先將其推廣,再通過舉例談?wù)勊暮唵螒?yīng)用.

一、問題的推廣

二、命題的簡單應(yīng)用

例1設(shè)a,b為實(shí)數(shù)且a+b=1,求證：對(duì)任意正整數(shù)n,

此題為2009年清華大學(xué)自主招生試題.文[2-4]中都給出了的證明方法,下面我用命題3給出它的另一證明,然后對(duì)其推廣

證明(1)若a,b有一個(gè)為負(fù)數(shù)或0時(shí),結(jié)論顯然成立.

(2)當(dāng)a,b均為正數(shù)但不相等時(shí),,構(gòu)造函數(shù)f(x)=(2a)x+(2b)x,由命題3得函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù).所以f(2n)＞f(1)=2,即(2a)2n+(2b)2n＞2,于是.

按此法該命題可輕松推廣為：