級(jí)數(shù)求和中的裂項(xiàng)法研究

薛利敏，田亞麗

(1.渭南師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院，陜西 渭南714099;2.渭南高新中學(xué)，陜西渭南714000)

無(wú)窮級(jí)數(shù)是微積分學(xué)的一個(gè)重要組成部分，它是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算最有力的工具，在實(shí)際問(wèn)題和理論研究中有著廣泛應(yīng)用。［1］無(wú)窮級(jí)數(shù)就是對(duì)數(shù)列u1，u2，…，un，…進(jìn)行無(wú)限求和的前n項(xiàng)部分和(Sn=u1+u2+…+un)數(shù)列收斂，S叫作這個(gè)級(jí)數(shù)的和。文獻(xiàn)［2－5］等大部分教材都把級(jí)數(shù)用定義求和當(dāng)作例子，因?yàn)檫@個(gè)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)部分和數(shù)列 Sn{ }可以用裂項(xiàng)相消法求出其表達(dá)式。然而，能用定義求其和的級(jí)數(shù)非常少，原因是不容易求出級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)部分和數(shù)的具體表達(dá)式。本文采用裂項(xiàng)相消法求一些級(jí)數(shù)的和，首先給出部分一般性的級(jí)數(shù)求和公式，然后，利用這些公式求出更多級(jí)數(shù)的和。在證明這些級(jí)數(shù)求和公式時(shí)，要用到一個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié)論:設(shè)等差數(shù)列

1 主要結(jié)果

1.1 裂項(xiàng)相消法求級(jí)數(shù)的和

定理1設(shè)等差數(shù)列 { an}的公差d≠0，則級(jí)數(shù)

根據(jù)定理1，我們?nèi)菀椎玫较旅婕?jí)數(shù)的求和公式。

在定理2中，特別地，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列 an{ }= n{}時(shí)，則有下面級(jí)數(shù)的求和公式。

在推論1中，分別取k=1、k=2和k=3，我們?nèi)菀椎玫较旅婕?jí)數(shù)的求和公式。

設(shè)數(shù)列 { an}為等差數(shù)列，數(shù)列 { bn}為等比數(shù)列，不妨稱(chēng)級(jí)數(shù)為差比型級(jí)數(shù)，對(duì)于差比型級(jí)數(shù)可以通過(guò)裂項(xiàng)相消法求出其前n項(xiàng)部分和數(shù)列 { Sn}通項(xiàng)的具體表達(dá)式，進(jìn)而求出差比型級(jí)數(shù)的和。

1.2 裂項(xiàng)公式法求級(jí)數(shù)的和

2 應(yīng)用舉例

3 結(jié)語(yǔ)

根據(jù)上面的討論，我們通過(guò)裂項(xiàng)法得到了4個(gè)定理和5個(gè)推論，進(jìn)一步得出了2個(gè)重要結(jié)論:(1)形如(其中:.P1(n)是n的1次多項(xiàng)式的級(jí)數(shù)能求和;(2)形如Pm(n)是n的m次多項(xiàng)式)的級(jí)數(shù)能求和。根據(jù)這些公式和結(jié)論以及裂項(xiàng)法，我們還可以求出其他級(jí)數(shù)的和。