梁燕

一、追本溯源，升維類(lèi)比

你了解向量共線定理的意義和作用嗎？

我們可以這樣理解向量共線定理：直線上存在無(wú)數(shù)個(gè)向量（共線向量），我們通過(guò)選定直線上一個(gè)非零向量α，而其他向量b均可用α唯一表示（即存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得b=λα成立）.這樣，共線的所有向量的運(yùn)算都可以轉(zhuǎn)化為向量α（基本向量）的運(yùn)算，就將直線上復(fù)雜的向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有關(guān)一個(gè)向量的簡(jiǎn)單問(wèn)題了.

共線定理中僅需一個(gè)基本向量即可表示直線上的所有向量.從直線（一維）到平面（二維），類(lèi)比猜測(cè)很有可能是兩個(gè)向量，借助物理知識(shí)（力的分解與合成）作圖后我們可以確定.類(lèi)比共線向量定理，可得平面向量基本定理：

若向量e₁，e₂是兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)的任意一個(gè)向量α，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ₁和λ₂，使得α=λ₁e₁十λ₂e₂.其中不共線的向量叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

從向量共線定理到平面向量基本定理，實(shí)現(xiàn)了從低維向量空間（一維）到高維向量空間（二維）的轉(zhuǎn)化，在三維甚至多維空間，大家猜猜還有什么結(jié)論？（可參考選修2-1）

二、對(duì)比歸納，透徹理解

向量共線定理和平面向量基本定理作為平面向量中的兩大重要定理，它們?cè)趦?nèi)容和表達(dá)形式上有著怎樣的區(qū)別與聯(lián)系呢？

聯(lián)系：在平面向量基本定理中，特別地，若λ₁=O或λ₂=O時(shí)，就變成了向量共線定理，因此也可說(shuō)，向量共線定理是一維的向量基本定理.從向量共線定理到平面向量的基本定理，是向量的分解從一維到二維的延伸.

由向量共線定理可知，任意一個(gè)向量都可以用一個(gè)與它共線的非零向量線性表示，且這種表示形式是唯一的；平面向量基本定理，其實(shí)質(zhì)在于同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個(gè)不共線向量的線性組合.這兩個(gè)定理都可以看成在一定范圍內(nèi)的向量分解的“唯一性”定理.

區(qū)別：它們的表示形式不同，向量共線定理是指與。共線的任意向量都可以表示為λα的形式；平面向量基本定理是指平面內(nèi)的任意向量可以表示為λ₁e₁與λ₂e₂和的形式，

三、靈活轉(zhuǎn)化，回歸基本

向量既能反映對(duì)象間的數(shù)量關(guān)系，又能體現(xiàn)其位置關(guān)系，運(yùn)算簡(jiǎn)潔而又利落，思維明快而富有創(chuàng)意，用向量方法無(wú)疑是解決幾何問(wèn)題的一把“利劍”，下面試舉幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明.

點(diǎn)評(píng) 利用平面向量的基本定理解決平面幾何問(wèn)題的關(guān)鍵是選定適當(dāng)?shù)幕?，基底選擇不唯一，而選擇基底應(yīng)遵循以下的原則：盡量選取兩個(gè)已知的向量；盡量選擇能將已知量、已知空間位置關(guān)系及所求量、所證的未知關(guān)系集中的兩個(gè)向量；盡量選擇共點(diǎn)或者具有垂直關(guān)系的兩個(gè)向量.