磁流變阻尼器輸出阻尼力靈敏度分析*

安晨亮，馬金玉，王嘉維，權凌霄*

(1.北京航天發(fā)射技術研究所，北京 100076；2.北京精密機電控制設備研究所，北京 100076；3.燕山大學 機械工程學院，河北 秦皇島 066004)

0 引 言

振動是普通工業(yè)、航空航天等裝備領域中普遍存在的現象[1-2]，如果得不到有效控制，會嚴重影響裝備的壽命及可靠性，因此，振動控制技術研究十分重要[3]。

振動控制可以分為被動控制、主動控制、半主動控制和混合控制4類。近年來，隨著智能材料的快速發(fā)展，利用記憶合金、壓電陶瓷、電流變液及磁流變液等智能材料實現半主動振動控制逐漸得到重視，并形成了很多應用成果[4]。

磁流變阻尼器以磁流變液為主要阻尼材料，其結構簡單、響應速度快、阻尼力控制范圍較大，能夠適應寬頻振動信號的控制，且不需要過多的外部能源接入，具有更好的控制效果，并逐步得到廣泛應用[5]。雖然國內外學者對磁流變阻尼器原理，流變特性的研究和開發(fā)磁流變液新的應用等方面取得了豐碩的成果，但其輸出阻尼力變化對每一個的設計參數變化敏感程度的研究還較少。影響磁流變液輸出阻尼力的參數很多，其中包括阻尼器控制電流、活塞運動速度、勵磁線圈的匝數、活塞的有效長度等因素，依據實際工況條件，定性地分析每個參數對磁流變阻尼器輸出阻尼力的影響，并定量地掌握所有參數對阻尼特性的影響，結合結構參數優(yōu)化理論，可得到磁流變阻尼器結構參數優(yōu)化方法[6-7]。

磁流變阻尼器的數學模型較為復雜，采用傳統(tǒng)的分析方法難以反映出其非線性問題，使得各參數的定量分析結論難以獲取。靈敏度分析首先應用在數學領域中，主要用于分析參數變化引起微分方程解的變化。具體的分析方法是：將微分方程組的特征值、特征向量作為含有參數的多元函數，直接將它們對參數進行微分運算[8-9]。由于現代控制理論發(fā)展的需要，在諸多控制領域中引入靈敏度分析，研究外干擾對系統(tǒng)性能的影響，并取得了很好的分析效果。靈敏度分析是一種能定量分析系統(tǒng)各參數變化對系統(tǒng)特性影響權重的有效方法，將其運用于磁流變阻尼器能夠很好地解決這一難題。

本文將一階和二階輸出靈敏度應用于磁流變液振動控制系統(tǒng)的分析中，建立磁流變液輸出阻尼力的數學模型，研究一階和二階輸出靈敏度分析方法理論模型，進而求解出一階和二階輸出靈敏度分析方法的表達式，對比活塞運動速度和控制電流等10個參數靈敏度分析結果的異同點，進行理論分析，得出10個參數對輸出阻尼力的影響程度。

1 磁流變液輸出阻尼力的數學建模

1.1 研究對象

磁流變液阻尼器結構圖如圖1所示。

圖1 磁流變液阻尼器結構圖

當活塞內的勵磁線圈通入電流時，在活塞頭內部的導磁體會產生磁場，貫穿環(huán)形阻尼孔到外套筒再返回到活塞中，形成一閉合磁路。此時流經環(huán)形阻尼孔內的磁流變液發(fā)生磁化，致使活塞運動時產生較大的剪切屈服應力，從而形成一定的阻尼力，通過控制磁流變液阻尼器的電流可用來控制阻尼力大小。

為了得到更多影響磁流變液輸出阻尼力的參數，本文采用的數學建模方法以偽靜力模型和Bingham模型為基礎。為了計算方便，減少變量數，進行簡化：

(1)認為磁流變液不可壓縮；

(2)認為溫度對阻尼器性能影響很??；

(3)認為零場作用時磁流變液具有較低的黏度；

(4)認為鐵芯材料不存在剩磁，磁滯回線包含面積小，矯頑力低，且無渦流損失和磁滯損失。

1.2 流體微分方程推導

磁流變液流變特性可簡化為在兩相對運動的平板之間的流動，平板模型如圖2所示。

圖2 環(huán)形間隙中的流速分布圖g—兩平板之間的間隙；v—平板的相對運動速度

本研究建立如圖2所示的坐標系，磁流變液以體積流速Q在x方向上一維流動，在y方向不流動，由流體力學可得出微分方程：

(1)

式中：u，v—磁流變液在x,y方向上的流動速度；?σxx/?x—磁流變液在x方向的壓力梯度；ρ—磁流變液的密度；t—時間變量。

為了簡化，將壓力梯度簡化為x方向按線性變化，則得到?σxx/?x=-Δp/l；當流動速度較低時，可不計慣性效應，則有?u/?t=0；令沿x方向的剪切應力τyx=τ，由于磁流變液流動的連續(xù)性，沿x方向的速度不變，則有?u/?x=0。

通過以上簡化，基于平面Poiseuille流動[10]，可將式(1)簡化為：

(2)

式中：l—阻尼通道的長度；Δp—阻尼通道兩端的壓差。

1.3 Bingbam流體流動分析

在外加磁場作用下，磁流變液表現為Bingham流體，在平行板間流動時，則有:

(3)

理論上剪切屈服強度與磁感應強度可近似描述如下[11]：

τy=152B-11.4

(4)

在平板模型中，磁流變液受到的剪切應力沿平板間隙是按線性分布的，因此，可以將磁流變液的流動分為3個區(qū)域，其流動速度分別用u1、u2和u3表示，其邊界條件分別為：

在區(qū)域①中，將τ代入控制微分方程(2)可得：

(5)

由邊界條件求解式(5)，可得到區(qū)域①的流速為：

(6)

同理，可求得區(qū)域②的流速為：

(7)

區(qū)域③的流速為：

(8)

利用控制微分方程(2)與邊界條件：τ(g/2)=0，求解出磁流變液剪切應力的分布為τ=Δp/(2l(2y-g))。

由τ(y1)=-τy，τ(y2)=τy，可得：

(9)

(10)

剛性流動區(qū)的厚度δ為：

雙及物構式(雙賓構式)是指在句法層面的動詞能同時攜帶間接賓語和直接賓語的語言形式，其結構可以碼化為［NSVN1N2］。雙及物構式的基本意義可以表述為“客體實際的、成功的轉移”，也就是“客體從初始領有者被傳遞給最終領有者的過程”。這就要求進入雙及物構式的動詞必須具有“給予”義，必須能支配三個名詞性成分，動詞后的“N1”應該是有生命的。但是我們發(fā)現，許多非“給予”類、非“三價”動詞也能進入雙及物構式；處于“N1”位置上的名詞也并非都是有生命的，這其中一定有什么因素在起作用，本小節(jié)就擬探討這個問題。

(11)

引入一個非量綱因子，即：

(12)

再將式(12)代入式(9，10)中，可得：

(13)

(14)

兩平板間隙中的磁流變液的體積流量Q關系式為[12]：

(15)

令：

根據流體力學連續(xù)性原理，磁流變液阻尼力為：

F=-ΔpA

(16)

并有以下關系式：

Q=Av

(17)

式中：A—活塞作用面積，A=(π/4)(D2-d2)，b=π(D+g)

1.4 磁路計算

為了簡化計算，假設阻尼器鐵芯的磁導率為一定值，并忽略漏磁效應和摩擦損失。

磁路的磁阻Rm，磁通φ和磁勢Ff有以下關系：

Ff=Rmφ

(18)

磁勢Ff又可以表示為：

Ff=NI(AT)

(19)

式中：N—線圈匝數；I—勵磁電流

磁感應強度關系式為：

B=μH

(20)

式中：B—磁感應強度；μ—鐵芯磁導率。

磁通量公式為：

φ=BS

(21)

式中：S—鐵芯的橫截面積。

綜合(18～21)，可得出磁場強度：

(22)

假設磁路平均長度為L(m)，相對磁導率為μR，則磁阻Rm可以表示為：

Rm=L/(μS)=(l/(μRμ0S))(AT/(Wb))

根據阻尼器鐵芯的結構特點，將磁路分為3個部分進行分析[13]，導磁體磁阻計算圖如圖3所示。

圖3 導磁體磁阻計算圖

區(qū)域①、區(qū)域②與區(qū)域③組成導磁體，與工作間隙組成閉合磁路。磁流變液的線圈電流是由勵磁電流和鐵損電流組成，當振動頻率不大時可將線圈電流看成勵磁電流，各區(qū)域的磁阻為：

(23)

(24)

(25)

磁流變液的磁阻近似為：

(26)

式中：μr—工作缸材料的磁導率；μMR—磁流變液的相對磁導率，μMR=2.5。

總磁阻可近似為：

Rm=Rm1+2Rm2+Rm3+RMR

(27)

綜上所述，可以得到阻尼力公式：

H3F3+H2F2+H1F+H0=0

(28)

其中：

H3=-((9/4)bg3-(3/2)ηbg3-6Avlη2-3blgvη2)/A3，

H2=((15/4)blτyg2+(13/4)bηlτyg2-(3/2)bηg3-

6bvτyl2η2)/A2，

2 磁流變液輸出阻尼力一階靈敏度

2.1 一階靈敏度函數推導

本文主要分析磁流變液輸出阻尼力對系統(tǒng)模型中10個參數的輸出靈敏度。系統(tǒng)各參數的輸出靈敏度方程的表達式為：

(29)

α取10個參數，即：α=[α1,α2,α3,α4,α5,α6,α7,α8,α9,α10]。

其中：磁流變液阻尼器控制電流α1和活塞運動速度α2可影響最終輸出阻尼力，其值可以根據實際工況而調整；勵磁線圈匝數α3、鐵芯的橫截面積α4，鐵芯的磁導率α5和磁流變液表觀粘度系數α6，均會影響剪切屈服應力，進而影響輸出阻尼力的大??；外筒和活塞杠之間的間隙α7，活塞阻尼環(huán)內徑α8的大小，活塞軸直徑α9的大小和活塞的有效長度α10的設定均會影響輸出阻尼力的大小。

筆者對阻尼力方程(28)中的阻尼力F對各參數α求一階偏導，通過Matlab軟件的仿真計算，可得到各參數的一階輸出靈敏度函數：

(30)

式中：A—活塞作用面積，b=π(D+g)；τy—磁致剪切屈服應力；η—磁流變液表觀粘度系數；I—磁流變液控制電流；g—外筒和活塞桿之間的間隙；v—活塞運動速度；l—活塞有效長度；F—磁流變液輸出阻尼力。

由于篇幅有限，本文僅給出控制電流的一階輸出靈敏度函數。

2.2 一階靈敏度函數仿真

基于計算出的一階輸出靈敏度方程，本研究在Matlab軟件主界面中進行編程。磁流變液輸出阻尼力輸出靈敏度函數曲線如圖4所示。

圖4 各參數的輸出靈敏度函數曲線圖

從圖4中可以看出：α2、α6和α10都會對系統(tǒng)輸出阻尼力變化產生影響[14]，其他7個參數在整個調整時間內都對系統(tǒng)動態(tài)產生較大影響，對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)影響相對較小，在采樣時間末會趨于穩(wěn)定。α2的變化會引起阻尼器內高壓腔流至低壓腔流量的變化從而導致阻尼力的變化，α6的改變會增加零磁場強度時的輸出阻尼力，α10的增加能使得磁流變液流過的阻尼孔長度變大而增加阻尼力，使磁阻變大導致磁場強度降低，進而導致磁流變液的剪切力減小，因而這3個參數都能持續(xù)對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)造成影響，最終沒有趨于穩(wěn)定。而其余參數的變化對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)影響相對較小，在采樣時間末趨于穩(wěn)定。

2.3 一階輸出靈敏度分析

圖4中，一階輸出靈敏度函數時程曲線描述了參數α對磁流變液阻尼器輸出阻尼力F影響的動態(tài)變化過程，為量化參數α變化對阻尼力F變化的影響程度，定義兩種靈敏度衡量指標。

將磁流變液阻尼器輸出阻尼力的變化量ΔF與參數變化之前最大阻尼力的百分比，用于衡量各個參數變化對阻尼力F的影響程度。該百分比的表達式為：

(31)

本研究把該百分比的最大值定義為峰值靈敏度指標，用s1表示，其表達式為：

(32)

(33)

通過定義兩種靈敏度衡量指標，可定量分析參數α的變化對磁流變液阻尼器輸出阻尼力F的影響程度。

根據式(31)計算得出各參數變化10%時，采用柱形圖的方式表達參數的一階輸出靈敏度的峰值靈敏度指標和均值靈敏度指標量化結果，如圖5所示。

圖5 各參數靈敏度指標

從圖5中可以看出：

(1)勵磁線圈匝數α3、鐵芯的磁導率α5和外筒和活塞之間的間隙α7所占比例較大，峰值靈敏度指標數值在40%以上，均值靈敏度指標數值皆大于60 N，可以看出這3個參數變化10%，可以使阻尼力的變化很大；

(2)鐵芯的磁導率α5的兩項靈敏度指標都很大，在設計磁流變液阻尼器時要首先考慮的因素，特別是其峰值靈敏度指標數值很大，說明該參數可以使得阻尼力變化瞬間變得很大，為避免阻尼力過大損壞磁流變液阻尼器，所以在選用磁芯材料時應該將鐵芯的最大磁導率作為選擇材料的主要依據。同時，勵磁線圈匝數α3和外筒和活塞之間的間隙α7的兩項靈敏度指標都很大，其參數也是在設計磁流變液阻尼器時需要著重考慮；

(3)由于文章篇幅有限，當參數變化1%和20%時，參數變化引起的輸出阻尼力變化趨勢與參數變化10%結論相同。

3 磁流變液輸出阻尼力二階靈敏度

3.1 二階靈敏度函數推導

由于本文只為求解得出單個參數對阻尼特性的影響權重，將阻尼力F對參數α的二階輸出靈敏度函數定義為：

(34)

其物理意義為參數αi的變化對參數αi的變化引起的阻尼力F的變化率的變化產生的影響，亦即αi對?F/?αi產生的影響。

為對比一階靈敏度的分析結果，二階輸出靈敏度函數求解的仿真條件與一階求解時相同，在Matlab主界面中進行編程，基于二階輸出靈敏度特殊表達式(34)計算得出靈敏度函數。對阻尼力方程(28)中的阻尼力F對個參數α求二階偏導，可得到各參數的二階輸出靈敏度函數：

(35)

3.2 二階靈敏度函數仿真

磁流變液輸出阻尼力二階輸出靈敏度函數曲線如圖6所示。

從圖6可以看出：除了活塞運動速度α2、磁流變液表觀粘度系數α6和活塞的有效長度α10在采樣時間內對系統(tǒng)的動態(tài)與穩(wěn)態(tài)均產生影響之外，其他7個參數在整個調整時間內都對系統(tǒng)動態(tài)產生較大影響，在采樣時間末開始趨向于平穩(wěn)，這與一階輸出靈敏度分析結果相近。

二階輸出靈敏度分析方法的兩項靈敏度衡量指標可表示為：

(36)

(37)

為研究其與一階輸出靈敏度分析方法的異同點，筆者將參數變化10%，將得到的系統(tǒng)各參數的兩項靈敏度對比柱形圖合并，如圖7所示。

圖6 各參數的輸出靈敏度函數曲線圖

圖7 參數變化10%兩項靈敏度指標對比柱形圖

從圖7中可以看出：

(1)勵磁線圈匝數α3、鐵芯的磁導率α5和外筒和活塞之間的間隙α7對阻尼力變化最大值的百分比較大，該結論與一階輸出靈敏度分析方法所得結果相吻合；

(2)一階輸出靈敏度的兩項靈敏度衡量指標值與參數變化量成正比關系，而當考慮二階輸出靈敏度時，兩項靈敏度衡量指標值卻與參數變化量不成成正比關系，這是泰勒展開式決定的；

(3)兩種靈敏度分析方法根據兩項靈敏度衡量指標，量化所得結果變化規(guī)律是相似的。二階輸出靈敏度分析方法雖然相比一階輸出靈敏度分析方法精度更高，但是其求解難度大為提高，并且考慮到當參數變化較小時，兩種靈敏度分析結果較為相近，所以當參數變化量較小時可只求解一階輸出靈敏度，得到參數對系統(tǒng)的影響程度。然而當參數變化量較大時，必須考慮二階泰勒展開式的影響。因為一階泰勒展開式能大概分析出各參數對阻尼力變化量影響權重趨勢，而二階泰勒展開式是對一階泰勒展開式的補充，使得其分析結果更為準確，該結論與軌跡靈敏度泰勒展開式分析結論相一致。

4 結束語

本文以磁流變液為研究對象，使用一階輸出靈敏度和二階輸出靈敏度兩種靈敏度分析方法，研究了磁流變液的10個參數靈敏度，力求為磁流變液的優(yōu)化設計及振動控制算法的完善提供基礎。

本文以偽靜力模型和Bingham流體模型為基礎建立了磁流變液阻尼力的數學模型，在此基礎上推導出了一階輸出靈敏度和二階輸出靈敏度的函數表達式，對10個參數進行了靈敏度仿真分析。當參數變化量相同時，活塞運動速度、鐵芯的橫截面積、磁流變液的表觀粘度系數、活塞軸直徑和活塞的有效長度5個參數使得磁流變液阻尼力變化較小，磁流變液阻尼器的控制電流和活塞阻尼環(huán)內徑引起阻尼力變化相對較大，而勵磁線圈匝數、鐵芯的磁導率和外筒和活塞之間的間隙引起阻尼力變化很大，設計磁流變液阻尼器時需要著重考慮。

本研究所得到的理論模型和分析方法可為磁流變液阻尼器阻尼力建模、磁流變液阻尼器的設計及半主動振動控制算法的完善提供參考。