多情景多視角探究生產(chǎn)消費中的利潤最大化問題

楊文皓

（成都實驗外國語學(xué)校西區(qū)2019屆（1）班，四川 成都 610000）

一、引言

在生產(chǎn)生活中，盈利是其必然目的。而隨著時代的發(fā)展與進步，生產(chǎn)、營銷方式趨向多元化，新材料、新技術(shù)的產(chǎn)生使得盈利的方式發(fā)生了改變。這不禁引發(fā)筆者的思考：每一個生產(chǎn)過程和銷售過程有何不同，根據(jù)這些區(qū)別與限制，又該分別建立哪種模型、采用哪種方式盈利呢？

本文將對幾類常見的生活實際現(xiàn)象，立足高中數(shù)學(xué)知識，采取線性規(guī)劃、函數(shù)模型的建立并求極值、探究利潤最大化問題。

二、利潤最大化的多視角分析

（一）視角1：利用線性規(guī)劃探究利潤最大化

在生產(chǎn)過程中，材料資源、人力資源、效率之間的有機結(jié)合十分重要，在大量的生產(chǎn)實例中，資源始終是有限的，如何在有限的時間內(nèi)，以最少的人力，最低的材料成本，產(chǎn)生最大的利潤，值得我們探討。

實例：對材料進行初加工還是精加工，已成為當今生產(chǎn)的重點問題。某公司有材料a 300kg，有材料b 180kg，擬對材料a與材料b進行分配，已知1kg材料a，0.6kg材料b可生產(chǎn)1件粗加工產(chǎn)品，同時3kg材料a、2kg材料b可生產(chǎn)1件精加工產(chǎn)品。材料a每kg成本300元，材料b每kg成本100元，且生產(chǎn)一件粗加工產(chǎn)品需6天，1件產(chǎn)品人工費1天100元，產(chǎn)品售價2760元；生產(chǎn)一件精加工產(chǎn)品需10天，1件產(chǎn)品人工費1天200元，而產(chǎn)品售價高達7300元。限定在1200天內(nèi)完成生產(chǎn)，則該采取怎樣的分配策略才能使利潤最大？

分析：簡化問題，除去人工費與材料成本，計算利潤。

粗加工產(chǎn)品1件獲利：2760-6×100-1×300-0.6×100=1800元。

精加工產(chǎn)品1件獲利：7300-10×200-3×300-2×100=4200元，粗加工雖人力、物力、材料消耗小，但全進行粗加工，利潤比較小，不太可??；

精加工看似利潤較高，若全進行精加工，人力、物力、材料消耗大，不太可取。

數(shù)據(jù)整理：為了體現(xiàn)科學(xué)性與直觀性，現(xiàn)列出以下列聯(lián)表

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建立模型：設(shè)生產(chǎn)x件粗加工產(chǎn)品，y件精加工產(chǎn)品。

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可列出以下不等式：

甲材料消耗不超過300kg：x+3y≤300

乙材料消耗不超過180kg：0.6x+2y≤180

總生產(chǎn)時間不超過1200天：6x+10y≤1200

生產(chǎn)實際件數(shù)為整數(shù)：x∈N*，y∈N*

利潤為目標函數(shù)：Z=1800x+4200y

不等式組表示的可行域如圖所示：

由圖可得：當目標函數(shù)經(jīng)過點（100，60）時，直線截距最大，目標函數(shù)取得最大值：

Zmax=1800×200+4200×120=432000（元）

（二）視角2：利用變量的關(guān)系建立函數(shù)探究利潤最大化

在生產(chǎn)生活中，總會出現(xiàn)兩個相關(guān)量變化趨勢不同的情況，此時建立函數(shù)，統(tǒng)一變量之間的關(guān)系，利用函數(shù)求最值的辦法即能找到利潤最大值點。

實例：成都某旅行社旅游團以乘機形式出游，旅行社訂飛機總成本12000元，飛機最多乘坐45人，旅行團中每人的飛機票有如下收費方式：若旅行社的人數(shù)多于30人，則，旅行社給每張機票減免20元作為優(yōu)惠；若旅行社的人數(shù)在30人及以下，則每張機票按原價收費800元，則當機票的最大盈利為？

分析：設(shè)每張機票最終收費m元，旅行團的人數(shù)為x∈N，機票利潤為y，

將函數(shù)分為兩段討論處理：

當 1≤x≤30 時，y=800x-12000，m=800

當 30＜x≤45 時，y=（1400-20x）x-12000=-20x2+1400-12000，m=800-20（x-30）=1400-20x

分段討論函數(shù)的最值并取其最大值：

①函數(shù)在1≤x≤30單調(diào)遞增，

當 x=30時，ymax=800×30-12000=12000元

②當30＜x≤45時，令y′=-40x+1400＞0

可得30＜x＜35，即函數(shù)在30＜x＜35單調(diào)遞增，在35＜x≤45單調(diào)遞減

當x=35時，ymax=12500元

綜上所述：當旅行社有35人時，旅行社可獲得最大利潤12500元。

（三）視角3：利用統(tǒng)計與概率進行預(yù)測與決策，使得利潤最大化

當今消費形式大大改變，如何投消費者所好異常關(guān)鍵，精明的商家會根據(jù)以往的銷售結(jié)果進行評估，找到發(fā)展趨勢，并以此制定銷售計劃，在對變量的變化趨勢不明確甚至一無所知時，可以利用整理數(shù)據(jù)，通過了解數(shù)據(jù)的大致變化，利用求數(shù)學(xué)期望的形式進行預(yù)測與決策，適當調(diào)整售價、進價等銷售手段，實現(xiàn)利潤最大化。

實例1：樂山名食甜皮鴨是一類鹵制涼菜，夏天在筆者家鄉(xiāng)頗受人們歡迎，一般的甜皮鴨成本15元，售價25元一斤，第二天有剩余則以12元的價格處理回總部（甜皮鴨保存時間短，長時間放置喪失口感）。樂山某甜皮鴨銷售店打算從總部下訂單，每天送等量甜皮鴨，根據(jù)店主的經(jīng)驗，銷量（需求量）與當天的氣溫有關(guān)．如果氣溫不低于25℃，熱天涼菜銷量好，需求量為250只；如果最高氣溫位于在20℃到25℃范圍內(nèi)，需求量為150只；如果最高氣溫低于20℃，銷量較差，需求量為50只．六月份的生產(chǎn)計劃該怎樣進行決策，才能使得利潤最大？

分析：對于此類問題，不同的天氣對于不同需求需求與進貨量之間難以有機統(tǒng)一，變化不規(guī)則，可見生產(chǎn)生活是復(fù)雜的，不可片面研究，主觀臆斷。

為了保證數(shù)據(jù)的普遍性，統(tǒng)計了近三年六月份每天的氣溫，整合數(shù)據(jù)并作出如圖頻數(shù)分布表：

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每天的銷售情況可分為 x=250、150、50（只）

估計不同天氣下的銷售情況概率為：

氣溫不低于 25℃：P（x=250）=（36+20+4）/90=2/3

氣溫在[20，25）：P（x=150）=20/90=2/9

氣溫低于 20℃：P（x=50）=（2+8）/90=1/9

則銷量x的分布列為：

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設(shè)進貨量為m（斤），利潤為W（元）

由于銷量在50—250之間，故m范圍只需為：50≤m≤250（只）

①當50≤x≤150時：

氣溫低于20℃，則可以原價25元售出50斤，其余以12元回收總部：

W=25×50+12（m-50）-15m=650-3m

氣溫高于20℃時無論是在[20，25）還是大于25℃均可賣完，則全以原價25元售出150斤：

W=25m-15m=10m

則總利潤的數(shù)學(xué)期望為：EW=1/9×（650-3m）+（2/3+2/9）×10m=77/9m+650/9

②當150≤x≤250時：

氣溫低于20℃，則可以原價25元售出50斤，其余以12元回收總部：

W=25×50+12（m-50）-15m=650-3m

氣溫在[20，25）℃，則則可以原價25元售出150斤，其余以12元回收總部：

W=25×150+12（m-150）-15m =1950-3m

氣溫不低于25℃均可賣完，則可以原價25元售出250斤：

W=25m-15m=10m

則總利潤的數(shù)學(xué)期望為：EW=1/9×（650-3m）+2/9×（1950-3m）+2/3×10m

=17/3m+4550/9

綜上：當m=150只時，EW有最大值12200/9元

故應(yīng)將150只作為進貨決策。

三、視角評價

本文從三個生活中常見的例子出發(fā)，用不同的數(shù)學(xué)方法試圖去解釋其背后的數(shù)學(xué)原理，使得我們可以用嚴肅的觀點去理解身邊發(fā)生的事件，用理性的思維去理解事件背后的規(guī)律。對同一個問題，本文給出了一種典型的數(shù)學(xué)分析方法，并不是說僅僅只有這樣的方法才可以去探究，從事件不同的角度去理解，就會有不同的方法來建立數(shù)學(xué)模型。本文的方法可以用來參考。

在視角1中，對于分配資源、投料等實際調(diào)度問題，且不可主觀臆斷，采取極端生產(chǎn)方式并不能達到利潤最大化，而利用數(shù)學(xué)建模，采取線性規(guī)劃，可以求出最優(yōu)解所在位置，更加準確地進行參考。

線性規(guī)劃具有較好的幾何直觀性，可以在條件約束的情況下，對目標方位進行圖形化描述，根據(jù)幾何意義和邊界條件，進行直觀的求解，并且能迅速的找出目標點。因此該方法是類似于條件極值的一種思維方法。

在視角2中，對于多變量的盈利問題，我們應(yīng)找到量與量之間的變化與制約關(guān)系，進而借助函數(shù)武器求極值，找到利潤最大值點，在實際問題中還要考慮函數(shù)模型的定義域，做到準確、有實際意義。

該方法將極值放在函數(shù)的觀點之中，借助函數(shù)的靈活性，從具體上升到抽象去研究極值點的存在與否，用函數(shù)的研究方法去解決利潤問題，利潤最大化的問題實際上就是函數(shù)的極大值是否存在，在什么條件下存在的問題。

在視角3中，對于實際銷售方案類決策問題，往往各個量的變化方向不明確，受外界影響較大，此時應(yīng)該根據(jù)以往的數(shù)據(jù)進行分析與統(tǒng)籌，采取數(shù)學(xué)期望或利用樣本的回歸直線大致估計發(fā)展趨勢，較為準確的判斷利潤最大值點的位置。

對決策類問題，由于條件之間的關(guān)系不如線性規(guī)劃類清晰，因此需要根據(jù)已知的數(shù)據(jù)，提取關(guān)鍵信息，具體的方法包括利用概率論觀點進行參數(shù)估計，或者對已知數(shù)據(jù)進行函數(shù)擬合，根據(jù)擬合出的函數(shù)進行推測，這樣的方法在沒有明確的數(shù)學(xué)規(guī)律的情況下，是比較有效的科學(xué)的分析方法。

四、總結(jié)與展望

利潤最大化的方式遠不止這幾種，在發(fā)展的時代中，大數(shù)據(jù)統(tǒng)計、分析正走進我們生活，利用好所學(xué)的數(shù)學(xué)知識幫助我們實現(xiàn)利潤最大化即彰顯了數(shù)學(xué)之美，又與時代和生活息息相關(guān)。我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中更應(yīng)該注意與生活的聯(lián)系，脫離題海，真正把數(shù)學(xué)代入社會，我們必將感受到數(shù)學(xué)的獨特魅力。

下一步的工作，是綜合利用不同的數(shù)學(xué)工具，對問題從不同的角度去分析，用多種方法不同角度分析的好處，是可以互相印證方法的科學(xué)性和評價結(jié)果的可信度。隨著數(shù)學(xué)方法的發(fā)展，分析具體問題的途徑也會越來越靈活。