崔 文 侯宇虹
(1.山東省文登第一中學 264400;2.山東省威海市南海高級中學 264400)
侯宇虹,高級教師,文登區(qū)教學能手,注重高考數(shù)學教學研究,教學經(jīng)驗豐富.
高考中常見等差和等比數(shù)列交匯考查的題目,此類題目因涵蓋知識點多,綜合性強,對化歸轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力要求較高,備考時需要多加重視.
分析根據(jù)a2,a4,a8成等比數(shù)列可以求出等差數(shù)列an中首項a1與公差d之間的關系,然后進行計算.
答案:3.
點評考查等比數(shù)列的定義,等差數(shù)列的通項公式.
例2 在等比數(shù)列an中,已知a1=1,a4=8,若a3,a5分別為等差數(shù)列bn的第2項和第6項,則數(shù)列bn的前7項和為( ).
A. 49 B. 70 C. 98 D. 140
分析分析出等比數(shù)列an的通項公式,就可以得到等差數(shù)列bn的通項公式,然后求和.
答案:B
點評考查等差、等比數(shù)列的通項公式,等差數(shù)列中序號與項之間的關系:若m+n=p+q,則am+an=ap+aq.
例3 (2017全國Ⅰ,文17)記Sn為等比數(shù)列an的前n項和,已知S2=2,S3=-6.
(1)求an的通項公式;
(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列.
分析(1)項數(shù)較少,可利用通項公式直接求出;(2)三項成等差數(shù)列,用“等差中項法”判斷.
故{an}的通項公式為an=(-2)n.
點評數(shù)列的通項公式或前n項和,部分項仍可成等差或等比數(shù)列,借此考查等差、等比數(shù)列的判定.
例4 設an是公比大于1的等比數(shù)列,Sn為數(shù)列an的前n項和,已知S3=7,且a1,a2,a3-1 成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列an的通項公式;
分析(1)利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列an的通項公式;(2)因為an為等比數(shù)列,所以bn=log4a2n+1為等差數(shù)列,然后求和.
(2)由(1)得a2n+1=22n=4n,
由于bn=log4a2n+1,n=1,2, …,
∴bn=log44n=n.
點評考查等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式、裂項相消法求和,相關知識、方法的綜合運用.
例5 設an是首項為a1,公差為-2的等差數(shù)列,Sn為其前n項和,若S1,S2,S4成等比數(shù)列,且bn=2an,求bn的前n項和Tn.
分析數(shù)列an為等差數(shù)列,分析可知bn=2an為等比數(shù)列,然后求和.
點評考查等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式,等比數(shù)列前n項和公式,數(shù)列知識綜合運用.
例6 已知數(shù)列an滿足:a1=1,nan+1-2an=2an,n∈N*.
分析(1)由定義法可證;(2)計算得出數(shù)列bn的通項公式,然后求和.
∴Sn=-2·20+1·21+4·22+…+3n-8·2n-2+3n-5·2n-1,
2Sn=-2·21+1·22+4·23+…+3n-8·2n-1+3n-5·2n,
∴-Sn=-2+321+22+…+2n-1-3n-5·2n
=-8+8-3n·2n
∴Sn=3n-8·2n+8.
點評“等差×等比”型的數(shù)列用錯位相減法求和,為高頻考點.
例7 已知{an}是遞增的等差數(shù)列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.
(1)求{an}的通項公式;
解(1)方程x2-5x+6=0的兩根為2,3,由題意得a2=2,a4=3.
點評“等差÷等比”型數(shù)列采用錯位相減法求和,為高頻考點.
分析保證n≤6和n>6時數(shù)列單調(diào)遞減,同時要a6>a7.
評注考察等差、等比數(shù)列的單調(diào)性,與函數(shù)的知識結(jié)合.
綜上所述,等差、等比數(shù)列交匯題目以基本量的計算和定義的考查為主,對運算能力要求較高.備考時需要注重基本方法的積累,并提升運算素養(yǎng).