賀萬一

(安徽省宿州市宿城一中 234000)

知識的交匯點(diǎn)是高考試題命題的熱點(diǎn)，因此立足學(xué)科素養(yǎng)，聚焦知識交匯，是至關(guān)重要的.本文以數(shù)列與不等式的交匯為背景，研究了四種交匯題型，希望能夠給學(xué)生們帶來啟示和幫助.

一、恒成立問題

例1 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn=t(Sn-an+1)(t為常數(shù),且t≠0,t≠1)．

(1)求an的通項(xiàng)公式；

解析(1)當(dāng)n=1時(shí),S1=t(S1-a1+1),得a1=1．當(dāng)n≥2時(shí),由Sn=t(Sn-an+1),即(1-t)Sn=-tan+t①，得(1-t)Sn-1=-tan-1+t②.

點(diǎn)評求解數(shù)列與不等式結(jié)合恒成立條件下的參數(shù)問題時(shí)，可采用分離參數(shù)進(jìn)行求解.通過分離參數(shù)后可得m≥f(x)或m≤f(x)恒成立.此時(shí)即求m≥f(x)max或m≤f(x)min.

二、證明問題

例2 數(shù)列an滿足a1=1，an+1=3an+2n．

(1)求證數(shù)列an+2n是等比數(shù)列；

解析(1)由an+1=3an+2n，有an+1+2n+1=3(an+2n)，又a1+2=3，所以an+2n是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

點(diǎn)評數(shù)列中的不等式證明問題，可采用比較法、分析法與綜合法、放縮法等.在近年的數(shù)列考查中，難度一般不大.

三、不等式有解問題

例3 已知等差數(shù)列an滿足：a1=2，且a1，a2，a5成等比數(shù)列.

(1)求a2，a5的值；

(2)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn>60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由.

解析(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，依題意，2，2+d，2+4d成等比數(shù)列，故有(2+d)2=2(2+4d)，化簡得d2-4d=0，解得d=0或d=4.

當(dāng)d=0時(shí)，an=2，a2，a5的值均為2；當(dāng)d=4時(shí)，an=2+(n-1)·4=4n-2，則a2=6，a5=18.

(2)當(dāng)an=2時(shí)，Sn=2n. 顯然2n<60n+800，此時(shí)不存在正整數(shù)n，使得Sn>60n+800.

綜上，當(dāng)an=2時(shí)，不存在滿足題意的n；當(dāng)an=4n-2時(shí)，存在滿足題意的n，且其最小值為41.

點(diǎn)評不等式有解問題，同函數(shù)不等式的有解問題一樣，實(shí)質(zhì)也是最值問題.因此可以利用轉(zhuǎn)化思想，考慮數(shù)列的單調(diào)性，即可破解.

四、新定義題型

(1)若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n,且具有性質(zhì)P(t),則t的最大值為____；

故t的最大值為2.

點(diǎn)評高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型是通過給出一個(gè)新概念,或約定一種新運(yùn)算,或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景.解決此類問題弄清楚題目所給的新概念、新運(yùn)算、新模型的含義至關(guān)重要，再根據(jù)題目要求,運(yùn)用所學(xué)知識基本可以順利求解.