知本求源 出奇制勝

郭磊

最近在微信朋友圈看到一篇短文：大爺買西紅柿挑了3個到秤盤，攤主秤了下：“一斤半3塊7.”大爺：“做湯不用那么多，”去掉了最大的西紅柿.攤主，“一斤二兩，3塊，”正當我想提醒大爺注意秤子時，大爺從容地掏出了七毛錢，拿起剛剛?cè)サ舻哪莻€大的西紅柿，扭頭就走，攤主當場無風凌亂，當大家都朝著一個固定的思維方向思考問題時，而你卻獨自朝相反的方向思索，這樣的思維方式就叫逆向思維也叫求異思維.

數(shù)學教學中逆向思維是解題常見方法之一，逆向思維方式對于提高學生數(shù)學能力以及今后成長過程具有舉足輕重的作用，所以在平時教學中要對學生點點滴滴逐漸滲透，培養(yǎng)學生綜合運用知識、能力，開拓學生思路，培養(yǎng)創(chuàng)造性學習是非常必要的.

1“圍魏救趙”式

圍魏救趙是三十六計中相當精彩的一種智謀，它的精彩之處在于，以逆向思維的方式，繞開問題的表面現(xiàn)象，從事物的本源上去解決問題，從而取得一招致勝的神奇效果.

例1計算1/2+1/2^2+1/2^3 +1/2^4+1/2^5+1/2^6+1/2^7+1/2^8+1/2^9+1/2^10.

該題如果采用正向思維計算比較繁瑣，但是如果我們繞開問題的表面現(xiàn)象，借助圖形，將面積為1的正方形進行分割，第一次將正方形分割成面積相等的兩部分，第二次將其中再分割成面積相等的兩部分，以此類推……每次分割后剩下的空白的面積就是1/2^n（如圖1）.

我們計算1/2+1/2^2+1/2^3 +1/2^4+1/2^5+1/2^6+1/2^7+1/2^8+1/2^9+1/2^10，的值可參照圖1，根據(jù)圖形逆向分析，實際就是用整個正方形面積1減去空白部分面積，所以1/2+1/2^2+1/2^3 +1/2^4+1/2^5+1/2^6+1/2^7+1/2^8+1/2^9+1/2^10=1-1/2^10

換種思路，逆向思考，問題就變得簡單易懂.

2“曹沖稱象”式

聰明的曹沖知道大象的體重不能直接去稱，就把稱大象的重量轉(zhuǎn)化為稱石頭的重量，轉(zhuǎn)換型逆向思維是指在研究一問題時，由于解決該問題的手段受阻，而轉(zhuǎn)換成另一種手段，或轉(zhuǎn)換思考角度思考，以使問題順利解決的思維方法.

例2從2，5，6，8這四個數(shù)中任選三個數(shù)，能夠構成三角形的有幾組？

解決該問題如果從正面去思考，任選三個數(shù)情況較為復雜，于是我們反過來思考，將問題在四個數(shù)中任選三個數(shù)轉(zhuǎn)化為每次有一個數(shù)不選，學生一下反應出來只有四種情況，結(jié)果就很清晰明了，如歷史上被傳為佳話的司馬光砸缸救落水兒童的故事，實質(zhì)上就是一個用轉(zhuǎn)換型逆向思維法的例子.

3“聲東擊西”式

聲東擊西在現(xiàn)實生活中被提及的頻率非常高，它以假動作欺敵，掩護主力在第一時間擊其要害.聲言出東，其實擊西，其實在數(shù)學解題過程中，同樣是存在聲言出東，其實擊西的的情況.

比如，甲乙兩人相距22.5km，分別以2.5km/h，Skm/h的速度相向而行，同時甲所帶的小狗以7.5km/h的速度奔向乙，小狗遇到乙后立即掉頭奔向甲，遇到甲后又奔向乙，小狗遇到乙后立即奔向甲……直到甲，乙相遇，求小狗所走的路程.

在這個問題中小狗來回的跑，如果從正面分析小狗的行程會使得問題變得復雜而難于解決，該題實質(zhì)是采用了聲東擊西的戰(zhàn)法，小狗來回跑動的時間較為復雜，實質(zhì)上該題是只要求兩人相遇的時間.你如果采用逆向思維，小狗的運動時間實質(zhì)為人的行程時間，再抓住路程=速度×時間這一概念本質(zhì)，那問題就變得簡單了，學生很容易得出問題的答案為22.5÷（2.5+5）×7.5= 22.5÷7.5×7.5= 22.5千米.

4“由果索因”式

平日在解題時，人們習慣于沿著事物發(fā)展的正方向去思考問題并尋求解決辦法，一般都是由所給條件直接向結(jié)論逼近，但有些問題，需要改變思考的角度，從反面去考慮，從結(jié)論往回推，以獲得簡捷的解題方法.

例3在Rt△ABC中，CD是AB邊上的高，垂足為點D，求證：1/AC2+1/BC2=1/CD2.

學生見到此題感覺無從下手，因為學生習慣了從題目條件出發(fā)去思考問題，其實，采取逆向思維，根據(jù)題目結(jié)論去倒推，問題便迎刃而解，先將結(jié)論的左邊進行通分得（AC2+BC2）/（AC2BC2）=1/CD2，因為△BC是直角三角形，根據(jù)勾股定理得AB2/AC2BC2=1/CD2.再將等式對角相乘得AC2BC2= AB2CD2，因為AC，BC，AB，CD都是正數(shù)，所以AC·BC= AB·CD，最后根據(jù)AABC的面積1/2AC·BC= 1/2AB·CD，便可得到AC·BC= AB·CD（如圖2），以此我們再倒推出結(jié)論.

5“溯本求源”式

溯本即追尋根本，求源即探求起源.

例4計算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）……（22048+1）.此題按運算順序直接計算很繁，若能觀察到題目的特點，該題是要考察學生對平方差公式的運用，但是平方差公式是（a+b）（a-b）= a2-b2，該題缺少了起始的2-1，所以采用逆向思維，把1看作2減1，則能很快計算出結(jié)果，

解原式=（2 -1）（2 +1）（2^2 +l）（2^4+1）（2^8+1）…… （2^2048+1）

= （2^2—1）（2^2+1）（2^4+1）（2^8+1） …… （2^2048+1）

=…=（264096一1）.

逆向思維，它是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式，將逆向思維應用于數(shù)學教學中，敢于“反其道而思之”，可以有效地幫助學生理解相關基礎知識、拓展學生的想象空間、克服學生的思維遲鈍現(xiàn)象進而發(fā)現(xiàn)新的解題思路，因此，在教學中，應加強逆向思維訓練，有意識地引導和培養(yǎng)學生的逆向思維的意識和習慣，幫助學生從正向思維過渡到正、逆雙向思維，進而提高學生分析問題和解決問題的能力.