類橢球體放礦理論實(shí)際散體速度方程和密度方程的構(gòu)建

李榮福 郭進(jìn)平 劉少青

（西安建筑科技大學(xué)材料與礦資學(xué)院，陜西西安710055）

類橢球體放礦理論是李榮福教授在實(shí)驗(yàn)觀察、回歸分析和理論研究的基礎(chǔ)上創(chuàng)立的［1］。類橢球體放礦理論創(chuàng)立時(shí)，實(shí)際散體速度方程和密度方程都是各自獨(dú)立給出的，雖然方程都通過了理論檢驗(yàn)，但論證欠充分。本研究主要討論實(shí)際散體速度方程和密度方程的構(gòu)建過程，進(jìn)一步證明類橢球體放礦理論創(chuàng)立時(shí)給出的實(shí)際散體速度方程和密度方程有堅(jiān)實(shí)的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)和充分的理論依據(jù)，說明類橢球體放礦理論體系是嚴(yán)密的，自身閉合的。

1 密度方程的構(gòu)建

1.1 密度經(jīng)驗(yàn)公式

密度經(jīng)驗(yàn)公式是根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果建立的符合實(shí)驗(yàn)規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)公式，大量的放礦實(shí)驗(yàn)可以得到以下結(jié)果［3］：①理論放出口（Q=0）放出體的密度為放出密度 ρo，松動(dòng)體Qs表面（Q=Qs）的密度為初始密度ρa(bǔ)；②移動(dòng)體表面各質(zhì)點(diǎn)介質(zhì)密度相等，為等密度面，其密度為 ρ，且有0≤Q≤Qs，ρo≤ρ≤ρa(bǔ)；③松動(dòng)體體積Qs是放出體體積Qf的C倍，即Qs=CQf，C是一個(gè)與放出條件和散體性質(zhì)相關(guān)的實(shí)驗(yàn)常數(shù)，稱為松動(dòng)范圍系數(shù)；④理想散體的松動(dòng)范圍與Qf值無關(guān)，且Qs→∞，并有松動(dòng)范圍內(nèi)各處密度均為初始密度 ρa(bǔ)，也是放出密度 ρo，即 ρ=ρo=ρa(bǔ)。

由以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，經(jīng)驗(yàn)公式應(yīng)滿足以下條件：Q=0時(shí)，ρ=ρo；Q=Qs時(shí)，ρ=ρa(bǔ)；0＜Q＜Qs時(shí)，ρo＜ρ＜ρa(bǔ)；Qs→∞ 時(shí)，ρ=ρo，Q 表面各處密度都相等。經(jīng)驗(yàn)公式還應(yīng)具有良好的可調(diào)性。

類橢球體放礦理論創(chuàng)建過程中，提出的符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果的密度經(jīng)驗(yàn)公式如下：

式中，α，ω均為與密度及其變化相關(guān)的實(shí)驗(yàn)常數(shù)。

1.2 類橢球體放礦理論的密度方程

類橢球體放礦理論的密度方程應(yīng)滿足質(zhì)量守恒定律的理論要求。根據(jù)質(zhì)量守恒定律得到松動(dòng)體質(zhì)量平衡方程式：

式中，Qs、Qf分別為松動(dòng)體體積和放出體體積；ρa(bǔ)為散體初始密度；ρc為松動(dòng)體Qs中散體的平均密度。

根據(jù)密度經(jīng)驗(yàn)式（1），得到松動(dòng)體Qs中散體的平均密度 ρc值為：

當(dāng)Q=Qs時(shí)，ρ=ρa(bǔ)，由密度經(jīng)驗(yàn)公式可知，初始密度 ρa(bǔ)值為：

由松動(dòng)體質(zhì)量平衡方程式（2）得：

代入 Qs=CQf和 ρa(bǔ)、ρc值得：

由于上式不存在變量，成立的必要條件是C=(1 +α )ω+1=α(ω +1)(1 +α)ω，故存在 ω=。也就是說密度經(jīng)驗(yàn)公式只有ω=時(shí)才能滿足質(zhì)量守恒定律的理論要求。因此，符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果又滿足理論要求的密度方程為：

式（3）表達(dá)的密度方程正是類橢球體放礦理論創(chuàng)立時(shí)給出的密度方程。它是一個(gè)由經(jīng)驗(yàn)公式上升為理論公式的密度方程。由密度方程式（3）的構(gòu)建過程可知，該密度方程具有堅(jiān)實(shí)的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)和充分的理論依據(jù)。

2 實(shí)際散體速度方程的理論表達(dá)式

類橢球體放礦理論創(chuàng)立時(shí)，在實(shí)際散體速度方程的構(gòu)建中，認(rèn)為實(shí)際散體速度是理想散體速度與速度阻滯系數(shù)之積，現(xiàn)論證其理論依據(jù)。

2.1 理論表達(dá)式的基礎(chǔ)方程［2，4-5］

類橢球體放礦理論根據(jù)理想散體的移動(dòng)過渡方程建立了理想散體速度方程式（4）和式（5）。

式中，VX、VR分別為理想散體垂直下移速度和徑向速度；X、R分別為圓柱面坐標(biāo)系的垂直坐標(biāo)和徑向坐標(biāo)；qo為單位時(shí)間放出體積；n、m、k均為與放出條件和散體性質(zhì)相關(guān)的實(shí)驗(yàn)常數(shù)。

由類橢球體放礦理論可知，移動(dòng)體體積方程為式（6），放出體體積方程為式（7），移動(dòng)跡線方程為式（8）：

式中，Q、Qf分別為移動(dòng)體和放出體體積；Xo、Ro分別為顆粒點(diǎn)移動(dòng)前的初始垂直坐標(biāo)和徑向坐標(biāo)；ρa(bǔ)、ρo分別為散體初始密度和放出密度；t為放出時(shí)間。

2.2 實(shí)際散體速度方程的理論表達(dá)式建立

已知Q是X和R的函數(shù)，根據(jù)微分運(yùn)算法則有：

根據(jù)式（4）可進(jìn)一步得到：

式（9）為實(shí)際散體速度方程的理論表達(dá)式，它表明實(shí)際散體速度是理想散體速度與

設(shè)

其中，β稱為速度阻滯系數(shù)，式（10）是速度阻滯系數(shù)的理論表達(dá)式。

實(shí)際散體速度方程的理論表達(dá)式（9）則可轉(zhuǎn)換成速度阻滯系數(shù)β的表達(dá)形式：

由式（10）可知，速度阻滯系數(shù) β與散體場(chǎng)密度及其變化相關(guān)，它表明由于實(shí)際散體密度場(chǎng)的不均勻性和不定常性的性質(zhì)，使得散體移動(dòng)場(chǎng)中的散體顆粒存在投入運(yùn)動(dòng)滯后和速度減慢的阻滯現(xiàn)象。實(shí)驗(yàn)研究表明，實(shí)際散體放出時(shí)產(chǎn)生二次松散現(xiàn)象，造成散體移動(dòng)場(chǎng)中各處密度都發(fā)生變化，使得散體顆粒運(yùn)動(dòng)滯后和受阻而減速。實(shí)際散體在放出口處（Q=0），不再產(chǎn)生二次松散，也無速度阻滯現(xiàn)象（β=1）。松動(dòng)體表面各處（Q=Qs），受速度阻滯最大，速度變?yōu)榱悖é?0）。在移動(dòng)場(chǎng)中隨移動(dòng)體Q增大則 β值減小，且有0＜Q＜Qs，1＞ β＞0。理想散體由于不產(chǎn)生二次松散，沒有速度阻滯現(xiàn)象（β=1）。

式（11）表明實(shí)際散體速度是理想散體速度與速度阻滯系數(shù)之積。式（11）正是類橢球體放礦理論創(chuàng)立時(shí)給出的實(shí)際散體速度的表達(dá)式。

由以上論證可知，類橢球體放礦理論創(chuàng)立時(shí)提出的速度阻滯系數(shù)概念，并認(rèn)為實(shí)際散體速度是理想散體速度與速度阻滯系數(shù)之積的觀點(diǎn)是正確的且有理論基礎(chǔ)的。

3 類橢球體放礦理論實(shí)際散體速度方程

類橢球體放礦理論創(chuàng)立時(shí)，其實(shí)際散體速度方程中給出的速度阻滯系數(shù)理論依據(jù)，且與速度阻滯系數(shù) β的理論表達(dá)式（10）不同，下面對(duì)此進(jìn)一步論證。

3.1 類橢球體放礦理論的速度阻滯系數(shù)

由上節(jié)得到式（10）所示的速度阻滯系數(shù)的理論表達(dá)式，現(xiàn)根據(jù)類橢球體放礦理論的密度方程和移動(dòng)體質(zhì)量平衡方程來求算速度阻滯系數(shù)。

當(dāng)放出量為放出體Qf時(shí)，放出前位于Qo處的移動(dòng)體Qo移動(dòng)到Q，根據(jù)質(zhì)量守恒定律可建立移動(dòng)體質(zhì)量平衡方程式：

式（13）為類橢球體放礦理論的移動(dòng)過渡方程，對(duì)式（13）兩端進(jìn)行微分運(yùn)算得：

式（14）是根據(jù)速度阻滯系理論表達(dá)式和密度方程、移動(dòng)過渡方程求得的速度阻滯系數(shù)。式（14）也正是類橢球體放礦理論創(chuàng)立時(shí)給出的速度阻滯系數(shù)，可見速度阻滯系數(shù)有充分的理論根據(jù)。

由式（14）可知，當(dāng) Q=0時(shí)，β=1；Q=Qs時(shí)β=0；0＜Q＜Qs時(shí)，1＞β＞0；Qs→∞ 時(shí)，β=1。該理論公式給出的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)完全相符。

3.2 類橢球體放礦理論實(shí)際散體的速度方程

將式（4）、式（14）代入式（11）得到類橢球體放礦理論垂直下移速度方程：

由實(shí)際散體速度的理論表達(dá)式（5）和速度阻滯系數(shù)式（14）得到類橢球體放礦理論實(shí)際散體徑向速度V′R方程式。

式（15）、式（16）表達(dá)的速度方程正是類橢球體放礦理論創(chuàng)立時(shí)給出的類橢球體放礦理論的實(shí)際散體速度方程。實(shí)際散體速度方程和密度方程都通過了理論和實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，成為類橢球體放礦理論體系重要的理論方程。

4 結(jié)論

通過上述的理論推導(dǎo)和分析，可到以下結(jié)論：

（3）根據(jù)速度阻滯系數(shù)理論表達(dá)式和密度方程、移動(dòng)體質(zhì)量平衡方程得到的速度阻滯系數(shù)為，它正是類橢球體放礦理論創(chuàng)立時(shí)給出的速度阻滯系數(shù)，論證為此提供了充分的理論依據(jù)。

（4）本研究構(gòu)建的密度方程和實(shí)際散體速度方程與類橢球體放礦理論創(chuàng)立時(shí)給出的密度方程和實(shí)際散體速度方程完全相同，從理論上進(jìn)一步證明了密度方程和實(shí)際散體速度方程都是正確的，能通過理論和實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。