何曉勤
近年來,在高考、??贾?,經(jīng)常會出現(xiàn)一類有關(guān)圓的問題,此類問題在條件中沒有直接給出有關(guān)圓方面的信息,而是隱藏在題目的條件中,需要我們通過分析和轉(zhuǎn)化,從點的軌跡出發(fā),得到圓或圓的方程,再利用圓的知識去求解,我們把此類問題稱為“隱形圓”的軌跡問題.那么,常見的“隱形圓”的軌跡問題有哪些類型呢?我相信大家在看完下文之后一定能得到滿意的答案.
一、利用圓的定義確定“隱形圓”
例1 如果圓(x-a)2+(y-a)2=4上總存在兩個點到原點的距離為1,則實數(shù)a的取值范圍是________.
分析 本題表面上好像是考查距離問題,但仔細(xì)分析可知,到原點的距離等于1的點的軌跡是以原點為圓心、半徑為1的圓,于是本問題可轉(zhuǎn)化為兩圓相交問題去處理.
總結(jié) 一般地,如果根據(jù)已知條件能推導(dǎo)出動點P到定點C的距離為大于等于0的常數(shù)r(即PC=r),則根據(jù)圓的定義可知,動點P的軌跡是以C為圓心、r為半徑的圓.
二、利用直徑所對的圓心角等于90。確定“隱形圓”
例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1:kx-y+2=0與直線l2:x+ky2=0相交于點P,則當(dāng)實數(shù)k變化時,點P到直線x-y-4=0的距離的最大值為____________.
分析 大家求解本題時的第一想法可能是聯(lián)立直線l1和l2的方程解出點P,再將點P到直線x-y-4=0的距離轉(zhuǎn)化為k的函數(shù)去求最值,但運算量很大;若仔細(xì)分析可知,動直線l1和l2分別過定點A和B,且互相垂直,即∠APB=90°,所以點P落在以AB為直徑的圓C上,從而可將問題轉(zhuǎn)化求圓C上的動點P到定直線x-y-4=0的距離的最值問題處理,
總結(jié) 一般地,若有∠APB =90°(即PA⊥PB,或kPA⊥kPB),則點P落在以AB為直徑的圓C上, 三、利用動點P到兩定點A,B的距離的平方和為定值確定“隱形圓”
例3 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:(x-a)2+(y-a+2)2=1,點A(o,2),若圓C上存在點M,滿足MA2+M02=10,則實數(shù)a的取值范圍是_____________.
分析 設(shè)出點M的坐標(biāo),由MA2+MO2=10可得M的軌跡方程,由軌跡方程可判斷點M的軌跡是圓,從而可將原問題轉(zhuǎn)化為兩圓有公共點問題處理,
解 設(shè)M(x,y),由MA2+M02=10,A(O,2),得x2+(y-1)2=4,而(x-a)2+(y-a+2)2=1,它們有公共點,則1≤a2+(a-3)2≤9,解得實數(shù)a的取值范圍是[0,3].
總結(jié) 一般地,若動點P到兩定點A,B的距離的平方和為定值(即PA2+PB2=定值),且點P的軌跡存在,則點P的軌跡為一個圓或一個點.
思考 若A,B,C,…為平面內(nèi)的定點,動點P滿足PA2+PB2+PC2+…一定值,且點P的軌跡存在,則點P的軌跡是什么?(答案:為一個圓或一個點)
變式 已知A(-1,4),B(2,1),圓C:(xa-a)2+(y-2)2=16,若圓C上存在唯一的點P,使得PA2+2PB2=24成立,則實數(shù)a的取值集合為_______.(參考答案:{-5,-1,3,7})
提示 由PA︽+2PB︽=24同樣可以得出點P的軌跡是一個圓,從而可轉(zhuǎn)化兩圓是相切的位置關(guān)系去處理.