追根溯源，回歸課本

渠東劍

本學年我代高一的數學課，上學期發(fā)生的一幕，我至今記憶猶新.我的一些學生因此而改變了學習方法，數學學習重視課本，會用課本了，學習就能取得明顯的進步.

我相信，這個故事對大家肯定是有啟發(fā)的.

一、背景

在學習“函數的單調性”之后，我給學生布置了一道課本上的題作為書面作業(yè)題：

已知函數y=f（x）的定義域是[a，b]，a

當x∈[a，c]時，f（x）是單調減函數;

當x∈[c，b]時，f（x）是單調增函數.

求證：f（x）在x=c時求得最小值.

在批改作業(yè)時發(fā)現(xiàn)，小明同學的解答如下，其他大部分同學的證明與之類似：

如圖1，當x∈[a，c]時，f（x）是單調減函數;當x∈[c，b]時，f（x）是單調增函數，所以f（x）在x=c時取最小值.

你認為小明的證明正確嗎？

小明說的沒錯，畫出圖形說明他對題目是理解的，

問題是這樣的表述算證明嗎？怎樣證明呢？我決定和同學們一起回到課本中去.

二、經過

課外活動，我（記為D）把他們（記為S）叫到辦公室，并讓他們把課本帶著，下面是當時對話的要點：

D 首先要弄清楚“它是什么”，什么叫函數的最小值？

S 函數值沒有比它更小的了，它本身要是函數值.

D概念你可能是理解的.但是，你怎樣才能很清楚地說明這些呢？你還能以另一種形式表述嗎？比如用數學符號語言.

S這……（搖頭）

D 遇到搞不明白的問題怎么辦？

S 問老師啊.

D 老師不可能總在你身邊啊，除了問老師，還有什么辦法嗎？

S……哦，看課本.

D 那你們現(xiàn)在就——

（同學們馬上打開了課本，找到課本上的“最小值的概念”：一般地，設函數y=f（x）的定義域為A，如果存在x₀∈A，使得對于任意的x∈A，都有f（x）≥f（x₀），則稱f（x）在x₀處取得最小值f（x₀）

D課本上的定義找到了，你怎樣把定義用到具體的問題上去？

S …

D或者說，要證明本題的結論，必須要完成怎樣的過程？

（同學們進行了討論，把一般定義落實到具體的問題上，認識到要證明：對任意的x∈[a，b]，都有f（x）≥f （c），找到了解決問題的切入點.）

D 看來要先設任意的x∈[a，b]，下面怎樣證明呢？請結合題目具體條件分析.

S 由于已知“當x∈[a，c]時，f（x）是單調減函數;當x∈[c，b]時，.f（x）是單調增函數.”應該分x∈[a，c]和x∈[c，b]兩種情況.

D 當x∈[a，c]時，怎樣證明f （x）≥f（c）？“條件f（x）是單調減函數”怎樣利用呢？單調性的定義是什么呢？

（同學們又一次打開課本，再一次理解“……x₁2