例析數(shù)學思維在解答地理計算題中的妙用

河南 李躍進

眾所周知，地理是一門綜合學科，兼有自然科學和人文科學的思維方法。數(shù)學是自然科學的基礎(chǔ)，它的思維方法又滲透在中學的各個學科中，因此，用數(shù)學思維解答地理計算題，可以收到事半功倍的效果。筆者一些典型題目進行了認真研究，受益匪淺。現(xiàn)本文以幾道題目為例簡要介紹幾種數(shù)學思維在解答地理解計算題中的妙用，以當引玉之磚，供讀者參考。

一、數(shù)學公式求解法

數(shù)學公式是人們在研究自然界時所發(fā)現(xiàn)的不同事物之間數(shù)量關(guān)系的一種表達方法，它確切地反映了事物內(nèi)部和外部的聯(lián)系。由于數(shù)學公式是根據(jù)一定的規(guī)則或標準、由公理和定理嚴密地演繹推理得出來的結(jié)論，因此它的科學性是不容懷疑的。對于自然地理中規(guī)律性強的地理計算題，運用數(shù)學公式求解法往往十分有效。例如，正午太陽高度、晝夜長短、晨昏線、時間與日期、陡崖高度、球面距離等計算公式，平時要多注意積累與自然地理相關(guān)的數(shù)學公式，并且正確使用與數(shù)學相關(guān)的計算公式。

【例1】(2015年浙江卷·11)下圖為某地地方時12時的太陽周年位置軌跡示意圖。

若甲、乙兩個位置的太陽高度之和為90°，則乙位置太陽高度為

( )

A．47° B．43° C．23.5° D．21.5°

【解析】本題考查正午太陽高度的季節(jié)變化規(guī)律，主要利用某地一年內(nèi)的正午太陽高度最大差值計算公式。假設某地一年內(nèi)的最大正午太陽高度為Hmax、最小正午太陽高度為Hmin，則該地一年內(nèi)的正午太陽高度最大差值為Hmax-Hmin?？梢苑譃閮煞N情況：若該地位于南北回歸線以外，則Hmax-Hmin=黃赤交角×2=47°；若該地位于南北回歸線之間，則Hmax-Hmin=黃赤交角+當?shù)鼐暥?。由圖可知，甲、乙兩個位置的太陽高度分別是該地一年內(nèi)的最大正午太陽高度為Hmax和最小正午太陽高度為Hmin，因此Hmax+Hmin=90°；由題意可知，該地一年內(nèi)無陽光直射現(xiàn)象，應位于南北回歸線以外，因此Hmax-Hmin=47°；由Hmax+Hmin=90°、Hmax-Hmin=47°可求得Hmax=68.5°、Hmin=21.5°。故選D項。

二、算術(shù)表達求解法

算術(shù)表達式是指數(shù)學課程中由數(shù)字和運算符號組成的式子，可以簡單清晰地記錄或描述計算過程和內(nèi)容。地理計算題的已知條件往往會涉及一些相關(guān)的地理概念，這些概念有的是教材中已經(jīng)學過的，如氣溫垂直遞減率、人口自然增長率、城市人口比重等；有的則是材料給出的情境概念，如人口紅利、城市首位度、產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)偏離度、勞動力利用效率等。在解答與地理概念相關(guān)的計算題時，將地理概念轉(zhuǎn)化為算術(shù)表達式，可以有效理清解題思路，從而化繁為簡。

【例2】(2015年山東卷·8)日照時數(shù)指太陽在某地實際照射的時間。圖們江是中國與朝鮮的界河。下圖為圖們江流域日照時數(shù)年內(nèi)變化柱狀圖。日照百分率為一個時段內(nèi)某地日照時數(shù)與理論上最大的日照時數(shù)的比值(﹪)。

該流域3月份的日照百分率約為

( )

A．53% B．62% C．70% D．78%

【解析】本題考查區(qū)域日照百分率計算和讀圖分析能力。題目中核心概念的數(shù)學表達式為：日照百分率=實際日照時數(shù)/理論日照時數(shù)。由圖可知，圖們江流域3月份的實際日照時數(shù)約為230小時，解答該題的關(guān)鍵是求出圖們江流域3月份的理論日照時數(shù)。理論日照時數(shù)就是白晝時間長短，3月份在春分日(3月21日)附近，全球各地大致晝夜平分，每天的理論日照時數(shù)約為12小時，整個3月份的理論日照時數(shù)約為12小時×31=372小時。因此，該流域3月份的日照百分率=(230小時/372)×100%小時=62%。故選B項。

三、集合理論求解法

集合是指具有某種特定性質(zhì)的具體的或抽象的對象匯總成的集體，這些對象稱為該集合的元素；交集是指由若干個集合的相同元素組成的集合，這些相同元素稱為該交集的元素。對于同時滿足多個條件的地理計算題，運用集合理論求解法往往十分有效。例如，某道地理計算題讓求“此時赤道上和北京在同一日期的東半球的白晝范圍”，就可以把赤道上東半球的范圍、白晝的范圍和北京在同一日期的范圍看作三個集合，那么本題所求的范圍就是這三個集合的交集。

【例3】(2015年全國新課標卷Ⅱ·8)1996年我國與M國簽訂海洋漁業(yè)發(fā)展合作規(guī)劃，至2010年我國有20多家沿海漁業(yè)企業(yè)(總部設在國內(nèi))在M國從事漁業(yè)捕撈和漁業(yè)產(chǎn)品加工，產(chǎn)品除滿足M國需求外，還遠銷其他國家，下圖示意M國的位置。

如果都以當?shù)貢r間8：00—12：00和14：00—18：00作為工作時間，在M國的中資企業(yè)若在雙方工作時間內(nèi)向其總部匯報業(yè)務，應選在當?shù)貢r間的

( )

A．8：00—9：00 B．11：00—12：00

C．14：00—15：00 D．17：00—18：00

【解析】本題考查地球運動的地理意義(區(qū)時計算)。由題意可知，所選的時間范圍應該是企業(yè)總部工作時間和中資企業(yè)工作時間兩個集合的交集。由圖可知，位于M國的中資企業(yè)使用的時間是0時區(qū)區(qū)時，而位于我國的企業(yè)總部使用的時間是東8區(qū)區(qū)時，因此中資企業(yè)使用的時間比企業(yè)總部使用的時間晚8個小時。當位于我國的企業(yè)總部處于工作時間(8：00—12：00和14：00—18：00)時，位于M國的中資企業(yè)的當?shù)貢r間應該是0：00—4：00和6：00—10：00。故選A項。

四、比例關(guān)系求解法

比例是指數(shù)學上表示兩個或多個比相等的式子，其基本性質(zhì)是兩個外項積等于兩個內(nèi)項積，運用該性質(zhì)可以求得比例中的未知項。對于兩個比能組成比例的地理計算題，運用比例關(guān)系求解法往往十分有效。例如，某道地理計算題讓求“在圖上距離3.6厘米表示實際距離1 080千米的地圖上，4.8厘米表示的實際距離是多少千米”，就可以根據(jù)比例尺的概念先確定圖上距離與實際距離的比均相等，然后再列出比例關(guān)系3.6∶1 080=4.8∶X，從而求出4.8厘米表示實際距離X=1 440千米。

【例4】(2015年重慶卷·12)馬爾代夫是以旅游業(yè)為支柱產(chǎn)業(yè)的著名島嶼。2014年12月4日，馬累海水淡化廠設備摧毀導致該島淡水供應中斷。應馬爾代夫政府請求，中國政府及時向其提供了飲用水等物資和資金援助。下圖是馬爾代夫部分區(qū)域示意圖。

中國一架滿載飲用水的飛機緊急從廣州飛往馬累，若北京時間12：00出發(fā)，經(jīng)4小時到達馬累。機長身高為1.8m，到達時其在機場地面的身高影長接近于(tan55°≈1.43，tan65°≈2.14)

( )

A．0.6 m B．1.2 m C．1.8 m D．2.4 m

【解析】本題考查正午太陽高度角的計算和應用。解答本題需要以下四個步驟：(1)計算飛機到達馬累機場時的當?shù)氐胤綍r(13：00)，(2)計算該日馬累的正午太陽高度(66°)，(3)計算飛機到達馬累機場時的太陽高度(55°)，(4)計算機長在機場地面的身高影長(1.2m)。其中，第三步運用到了比例關(guān)系求解法。具體解法為：①確定馬累該日的太陽高度變化范圍。由地球運動規(guī)律可知，馬累位于赤道附近，一天內(nèi)太陽高度的變化范圍約為正午太陽高度的4倍。②確定具有比例關(guān)系的兩個比。馬累的太陽高度變化之比與時間變化之比具有比例關(guān)系，設馬累該日的正午太陽高度為H，在T小時內(nèi)馬累太陽高度的變化為X，則有X：4H=T：24。③確定馬累1小時內(nèi)的太陽高度變化范圍。在X：4H=T：24中，H=66°，T=1小時，可求得X=11°。④確定飛機到達馬累機場時的太陽高度。馬累該日的正午太陽高度為H=66°，飛機到達馬累機場時的當?shù)氐胤綍r為13：00，此時馬累機場的太陽高度約為66°-11°=55°。由tan55°≈1.43，機長身高1.8m可計算出影長約為1.2m，故選B項。

五、區(qū)間限定求解法

區(qū)間是指數(shù)學上能表示在數(shù)軸上的不等式解集的一種表示方法，根據(jù)是否包含端點可以分為閉區(qū)間、開區(qū)間、左閉右開區(qū)間、左開右閉區(qū)間。對于含最大值和最小值的地理計算題，運用區(qū)間限定求解法往往十分有效。例如，某道地理計算題讓求“等高距為50米的等高線地形圖中，有4條等高線重疊的陡崖的可能相對高度”，就可以先求出陡崖相對高度的最大值(250米)和最小值(150米)，然后確定陡崖相對高度的限定范圍[150，250)，從而求出可能的相對高度。

【例5】(2015年全國新課標卷Ⅰ·6)甘德國際機場(下圖)曾是世界上最繁忙的航空樞紐之一，當時幾乎所有橫跨北大西洋的航班都要經(jīng)停該機場補充燃料。如今，橫跨北大西洋的航班不再需要經(jīng)停此地。

一架從甘德機場起飛的飛機以650千米/小時的速度飛行，1小時后該飛機的緯度位置可能為

( )

A．66.5°N B．60°N

C．53°N D．40°N

【解析】本題考查地球與地圖中的球面距離計算。解答本題需要以下四個步驟：(1)確定飛機跨越緯度的最大值。若飛機沿經(jīng)線飛行則跨越緯度范圍最大，飛機飛行速度為650千米/小時，由“緯度1°所跨實際距離約110千米”可知，1小時后飛機跨越的緯度約6°。(2)確定飛機跨越緯度的最小值。若飛機沿緯線飛行則跨越緯度范圍最小，由于飛機沿緯線飛行時緯度沒有發(fā)生變化，因此1小時后飛機跨越的緯度為0°。(3)確定飛機跨越緯度的區(qū)間范圍。飛機沿經(jīng)線飛行時跨越緯度范圍最大(約6°)，沿緯線飛行時跨越緯度范圍最小(0°)，由題意可知，飛機的飛行方向不確定，因此飛機飛行1小時跨越緯度的區(qū)間范圍是[0°，6°)。(4)確定1小時后飛機緯度位置的區(qū)間范圍。由圖可知，甘德機場的緯度約為48°N，由于飛機飛行1小時跨越緯度的區(qū)間范圍是[0°，6°)，因此1小時后飛機緯度位置的區(qū)間范圍是(42°N，54°N)。故選C項。

六、畫數(shù)軸求時間法

“時區(qū)和日界線”在日常生活和國際交往中應用廣泛，屬于對生活有用的地理知識，既是地理教學的重點和難點，也是歷年高考的高頻考點。解答這部分時間計算問題難度一般比較大，需要學生具有較強的空間想象能力，但如果用畫數(shù)軸的方法來求解，就會收到事半功倍的效果。數(shù)軸是一條規(guī)定了原點、方向和單位長度的直線，用畫數(shù)軸的方法解答時間計算問題的好處主要有：(1)圖示直觀形象，使復雜的空間簡單化，學生容易理解和掌握；(2)不跨越日期變更線，不需要考慮日期問題，大大的減少了學生做題出錯的可能。

【例6】(2015年江蘇卷·3)北京時間2015年2月19日零點鐘聲敲響時，某工程師在南極長城站參與了中央電視臺春節(jié)聯(lián)歡晚會微信搶紅包活動。下圖為長城站位置示意圖。

工程師微信搶紅包的當?shù)貢r間是

( )

A．2月18日12時 B．2月18日20時

C．2月19日4時 D．2月19日12時

【解析】本題考查地球運動的地理意義(區(qū)時計算)。由圖可知，長城站位于60°W附近，當?shù)貢r間是西4區(qū)區(qū)時；由題意可知，開展微信搶紅包時東8區(qū)區(qū)時是2月19日0時。由東8區(qū)區(qū)時求西4區(qū)區(qū)時，可以用畫數(shù)軸的方法來求解。如下圖所示：(1)畫數(shù)軸。畫一數(shù)軸，先標注原點(即0時區(qū))和正方向(即向右)，再標注已知時區(qū)和未知時區(qū)的位置，即東8區(qū)和西4區(qū)的位置，以原點為界東時區(qū)為正、西時區(qū)為負。(2)算距離。計算已知時區(qū)和未知時區(qū)在數(shù)軸上的距離(用S表示)，即S=東8區(qū)-西4區(qū)=12個時區(qū)，相當于數(shù)軸上8到-4之間的距離，相鄰兩個時區(qū)的區(qū)時相差1小時。(3)畫箭頭。由已知時區(qū)向未知時區(qū)畫一箭頭，即由東8區(qū)指向西4區(qū)，箭頭指向負方向。(4)算區(qū)時。若箭頭指向負方向則未知區(qū)時=已知區(qū)時-S，若箭頭指向正方向則未知區(qū)時=已知區(qū)時+S，因此西4區(qū)區(qū)時=東8區(qū)區(qū)時-12小時=2月19日0時-12小時=2月18日12時。故選A項。