梁 毅，李晴晴，孫 昆，黨彥鋒，丁金閃

(西安電子科技大學(xué) 雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710071)

慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(Inertial Navigation System， INS)可不依賴外界信息而獲得彈體的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，較廣泛地用于中遠(yuǎn)程導(dǎo)彈制導(dǎo)中．但由于外部干擾和彈體結(jié)構(gòu)偏差，慣性制導(dǎo)誤差會(huì)隨時(shí)間積累，從而影響末端交接班精度．合成孔徑雷達(dá)(Synthetic Aperture Radar， SAR)[1]全天時(shí)、全天候工作的優(yōu)勢(shì)使其在軍事、民用等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，彈載合成孔徑雷達(dá)先獲取高分辨二維實(shí)時(shí)圖[2]，然后與預(yù)先制備好的基準(zhǔn)圖進(jìn)行匹配[3]得到場(chǎng)景中特征點(diǎn)的位置信息，從而解算出彈體位置，可以修正慣導(dǎo)誤差及彈道偏差，引導(dǎo)彈體飛向目標(biāo)區(qū)域．將制導(dǎo)技術(shù)和成像技術(shù)相結(jié)合的彈載合成孔徑雷達(dá)景象匹配制導(dǎo)已成為精確制導(dǎo)重要的發(fā)展方向之一．

針對(duì)彈體末制導(dǎo)階段定位問題，文獻(xiàn)[4]結(jié)合飛行運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，基于參數(shù)信息構(gòu)造了一個(gè)多項(xiàng)式模型用于平臺(tái)定位，但該方法依賴采樣時(shí)刻的平臺(tái)定位精度，不適合長(zhǎng)時(shí)間飛行軌跡的估計(jì)．文獻(xiàn)[5]建立了基于匹配點(diǎn)多普勒差和距離差的定位模型，但是俯沖階段速度矢量和波束視線組成的平面與數(shù)據(jù)錄取的平面不在同一平面內(nèi)，使得多普勒信息與匹配點(diǎn)不對(duì)應(yīng)，從而導(dǎo)致該模型不適合末制導(dǎo)彈體定位．文獻(xiàn)[6]以彈體實(shí)際位置為頂點(diǎn)構(gòu)建歐拉四面體模型，但該模型需要準(zhǔn)確的斜距信息，當(dāng)斜距存在誤差時(shí)，會(huì)導(dǎo)致定位誤差較大．文獻(xiàn)[7]利用彈載合成孔徑雷達(dá)的距離多普勒信息及慣導(dǎo)系統(tǒng)的測(cè)量值來確定彈體的經(jīng)緯度坐標(biāo)，但該方法只選取一個(gè)地面特征點(diǎn)，在慣導(dǎo)測(cè)量值誤差較大的情況下無法對(duì)定位結(jié)果進(jìn)行有效修正．針對(duì)彈載合成孔徑雷達(dá)定位參數(shù)，筆者詳細(xì)分析了末制導(dǎo)階段彈體定位模型，在利用景象匹配獲取合成孔徑雷達(dá)圖像中多特征點(diǎn)位置信息的基礎(chǔ)上，提出了一種基于高斯牛頓-遺傳混合算法的彈體定位新方法，提高了對(duì)定位參數(shù)誤差的魯棒性．

1 彈體定位模型

在彈載合成孔徑雷達(dá)導(dǎo)引頭末制導(dǎo)階段，為了使導(dǎo)彈具有一定的機(jī)動(dòng)轉(zhuǎn)彎時(shí)間，一般需要在大斜視情況下成像．為了提高實(shí)時(shí)性及簡(jiǎn)化處理流程，通常采用聚束或條帶模式進(jìn)行子孔徑成像以實(shí)時(shí)獲取目標(biāo)區(qū)域的二維圖像，然后進(jìn)行幾何形變校正，可得到地平面的合成孔徑雷達(dá)實(shí)時(shí)圖[8]．將實(shí)時(shí)圖與基準(zhǔn)圖進(jìn)行匹配可獲取特征點(diǎn)的經(jīng)緯度信息，進(jìn)一步解算彈體位置，對(duì)彈體飛行軌跡進(jìn)行修正．

圖1 彈體定位幾何模型

常用的彈體定位模型是以成像中心時(shí)刻彈體在地面的投影點(diǎn)作為成像坐標(biāo)系原點(diǎn)．為了使坐標(biāo)系的建立不依賴彈體的位置信息，筆者構(gòu)建一種如圖1所示的彈體定位幾何模型．在圖1中，以地面中任意點(diǎn)O為北天東坐標(biāo)系OX2Y2Z2(OY2軸為正北方向)與成像坐標(biāo)系OX3Y3Z3的公共原點(diǎn)．假設(shè)在一個(gè)子孔徑積累時(shí)間內(nèi)，彈體以初速V和加速度a從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)，在方位慢時(shí)間中心時(shí)刻，導(dǎo)彈位于Q點(diǎn)，其在地面投影點(diǎn)為Q′，波束中心射線與場(chǎng)景中心的交點(diǎn)為P1，Q點(diǎn)到特征點(diǎn)Pi的距離為Ri，彈體高度為h0，此時(shí)對(duì)應(yīng)的斜視角為θs，方位角為α(波束在地面投影與OY3方向的夾角)．定義γ為偏航角，使北天東坐標(biāo)系OX2Y2Z2繞Z軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)γ角，得到成像坐標(biāo)系OX3Y3Z3．

景象匹配后可得到一系列特征點(diǎn)Pi(i=1，2，…，n)的經(jīng)緯度，其中n表示特征點(diǎn)個(gè)數(shù)，幾何校正后可得到彈體中心時(shí)刻位置Q點(diǎn)到特征點(diǎn)的距離．由于筆者需要在成像坐標(biāo)系下構(gòu)建以斜距信息為基礎(chǔ)的非線性方程組，而經(jīng)景象匹配后，特征點(diǎn)的位置信息是由地心坐標(biāo)系下的經(jīng)緯度表示的，兩者信息不統(tǒng)一，無法直接構(gòu)建非線性方程組．因此，為了實(shí)現(xiàn)精確定位，需要進(jìn)行坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，將地心坐標(biāo)系下特征點(diǎn)的經(jīng)緯度信息轉(zhuǎn)換到成像坐標(biāo)系中以坐標(biāo)表示其位置信息．由于篇幅限制，具體的轉(zhuǎn)換關(guān)系不再贅述．

2 基于改進(jìn)高斯牛頓遺傳混合算法的定位新方法

假設(shè)特征點(diǎn)Pi的坐標(biāo)為[xi，yi，zi]T，待求彈體s的坐標(biāo)為[xm，ym，zm]T，以斜距信息構(gòu)建如下所示的數(shù)學(xué)模型:

(1)

解算該模型的方法主要分為兩類: 一類是以傳統(tǒng)牛頓法[9]為代表的經(jīng)典算法，具有快速的局部收斂能力，但計(jì)算量大; 一類是以傳統(tǒng)遺傳算法[10]為代表的智能進(jìn)化法，通過模擬自然進(jìn)化過程搜索最優(yōu)解，具有全局尋優(yōu)的能力．筆者綜合經(jīng)典算法和遺傳算法的優(yōu)點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種新的高斯牛頓-遺傳混合算法解算彈體位置坐標(biāo)，主要包括初始種群選取、適應(yīng)度函數(shù)設(shè)計(jì)、選擇、交叉、變異這5個(gè)步驟．其中，采用錦標(biāo)賽選擇作為選擇算子; 選擇結(jié)束后，保留適應(yīng)度最優(yōu)個(gè)體、剔除適應(yīng)度最差個(gè)體，避免當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體被后續(xù)算子破壞的可能性; 交叉操作可以增大種群的離散程度，筆者設(shè)置一個(gè)交叉因子對(duì)被選擇的個(gè)體進(jìn)行算術(shù)交叉．由于初始種群選取、適應(yīng)度函數(shù)設(shè)計(jì)和變異操作對(duì)最終結(jié)果影響最大，下面針對(duì)這3項(xiàng)進(jìn)行詳細(xì)說明．

(1) 初始種群選?。畟鹘y(tǒng)遺傳算法往往對(duì)初始種群的選取不加約束，而遺傳算法的性能在很大程度上取決于初始種群選取是否恰當(dāng)[11]．針對(duì)此問題，預(yù)先設(shè)定一組彈體位置作為初始種群，結(jié)合圖1所示的幾何模型，當(dāng)彈體位于Q點(diǎn)時(shí)，根據(jù)多普勒信息、航跡信息及場(chǎng)景中心點(diǎn)的斜距信息，可求得彈體在成像坐標(biāo)系下的坐標(biāo)[xq，yq，zq]T為

(2)

其中，λ為波長(zhǎng)，fd為多普勒中心頻率，[x1，y1，z1]T為P1在成像坐標(biāo)系中的坐標(biāo)．由于多普勒信息和航跡信息均不可避免地存在誤差，因此上式得到的彈體坐標(biāo)也存在誤差，稱其為彈體粗坐標(biāo)．假設(shè)彈體真實(shí)位置位于以粗坐標(biāo)為中心、三維方向各偏移 ±Del(Del表示偏移量)的區(qū)間內(nèi)，即可得到

xm∈[xq-Del，xq+Del]，ym∈[yq-Del，yq+Del]，zm∈[zq-Del，zq+Del] ．

(3)

將式(3)作為初始種群的取值區(qū)間，可縮小搜索范圍．為了避免早熟，需要使個(gè)體的三維信息在各自的取值區(qū)間內(nèi)呈最無序狀態(tài)分布，而熵極大化準(zhǔn)則[11]通過尋找一個(gè)和已有的關(guān)于狀態(tài)集合的先驗(yàn)信息一致的概率分布能使誤差最小，是不確定狀態(tài)下最合理的判定尺度．由于在有限區(qū)間內(nèi)，均勻隨機(jī)取樣可以使樣本的熵值最大，故筆者在取值區(qū)間里均勻隨機(jī)選取一定數(shù)目的個(gè)體組成初始種群．

(2) 適應(yīng)度函數(shù)設(shè)計(jì)．傳統(tǒng)遺傳算法常以均方誤差函數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù)．由于筆者在變異過程里嵌入了高斯牛頓法，而高斯牛頓法需要通過不斷的對(duì)彈體坐標(biāo)迭代修正使其逐漸接近最優(yōu)解，因此為了保證混合遺傳算法在迭代過程中始終保持同一個(gè)進(jìn)化方向，筆者將適應(yīng)度函數(shù)設(shè)計(jì)為高斯牛頓法的彈體坐標(biāo)修正函數(shù)．令[xm0，ym0，zm0]T為個(gè)體代表的彈體位置s0的坐標(biāo)，彈體位置修正后記為s1．將式(4)在s0處進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開:

在小殘量情況下，可以忽略展開式(5)中的二階信息項(xiàng)．令lΔ=s1-s0，表示彈體坐標(biāo)修正函數(shù)，b為函數(shù)fi(xm，ym，zm)在s0處計(jì)算一階導(dǎo)的矩陣形式，把s0代入函數(shù)ri= [(xm-xi)2+ (ym-yi)2+ (zm-zi)2]1/2，可得到預(yù)測(cè)斜距值ri0，w表示實(shí)際斜距參數(shù)Ri與預(yù)測(cè)斜距的差值．對(duì)lΔ進(jìn)行最小二乘估計(jì):

lΔ=(bTb)-1bTw，

(6)

lΔ越小，表明彈體位置坐標(biāo)需要修正的程度越小，即越接近最優(yōu)值．

(3) 變異算子．傳統(tǒng)遺傳算法魯棒性差的原因之一是變異算子對(duì)個(gè)體的干擾方向過于隨機(jī)，優(yōu)秀的進(jìn)化機(jī)制應(yīng)具有使種群定向變異的能力，使種群朝著更優(yōu)的方向進(jìn)化又不至于發(fā)生早熟．考慮到常用的牛頓法局部收斂能力很強(qiáng)，但需要計(jì)算非常耗時(shí)的黑塞矩陣，不利于工程應(yīng)用．針對(duì)此問題，筆者將不需要計(jì)算黑塞矩陣的高斯牛頓法[12]作為遺傳算法的變異算子，在兼顧了高斯牛頓法局部收斂和遺傳算法全局尋優(yōu)的優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，大幅度減少了計(jì)算量，體現(xiàn)了收斂性、魯棒性和時(shí)間復(fù)雜度之間的平衡．

3 定位誤差分析

3.1 特征點(diǎn)個(gè)數(shù)與位置選取

在理論上，根據(jù)數(shù)學(xué)模型式(1)求解彈體位置坐標(biāo)時(shí)只需要3個(gè)特征點(diǎn)．但彈載合成孔徑雷達(dá)景象匹配過程中通常存在匹配誤差，即使在精準(zhǔn)匹配的情況下，幾何形變校正后得到的斜距信息也存在誤差，因此需要利用多個(gè)特征點(diǎn)構(gòu)建非線性方程組來克服匹配誤差和斜距誤差的影響．如果選取過多的特征點(diǎn)構(gòu)建非線性方程組，會(huì)造成方程組過于龐大，計(jì)算復(fù)雜度高，難以滿足實(shí)時(shí)性的要求．經(jīng)過大量的仿真實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，選用5～10個(gè)特征點(diǎn)構(gòu)建方程組，既可以精確地解算出彈體位置，又可以滿足實(shí)時(shí)性需求．

在筆者所提方法中，特征點(diǎn)的位置選取關(guān)系到非線性方程組能否快速收斂．在圖像輸出的斜距矩陣中，場(chǎng)景中心點(diǎn)對(duì)應(yīng)的斜距誤差最小，故實(shí)際應(yīng)用時(shí)，先選取場(chǎng)景中心點(diǎn)P1作為一特征點(diǎn)，然后選取另一特征點(diǎn)Pi，使之滿足∠P1QPi值最大，如圖1所示．依此類推，在P1點(diǎn)周圍選取合適個(gè)數(shù)的特征點(diǎn)構(gòu)建方程，可得到方程組的最優(yōu)解．

3.2 斜距誤差與匹配誤差對(duì)定位精度的影響

(7)

對(duì)式(7)等號(hào)兩邊求全微分，可得

(8)

將式(8)等號(hào)兩邊移位變形后，可寫成矩陣形式A·SΔ=N·LΔ，記

(9)

于是，彈體平臺(tái)位置誤差SΔ=(ATA)-1ATN·LΔ，誤差協(xié)方差矩陣U(SΔ)為

4 仿真數(shù)據(jù)驗(yàn)證

為驗(yàn)證筆者所提方法對(duì)彈體定位的有效性，下面通過仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行說明．如3.1節(jié)分析，在仿真中選取5個(gè)特征點(diǎn)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，具體的仿真參數(shù)如表1所示．令Δx、Δy、Δz分別表示斜距或匹配存在誤差時(shí)彈體坐標(biāo)相比于真實(shí)位置的三維偏差，定義定位誤差為 (Δx2+ Δy2+ Δz2)1/2．

表1 仿真參數(shù)

4.1 斜距誤差對(duì)定位精度的影響

由式(10)可知，斜距誤差會(huì)影響彈體定位精度．設(shè)定6組不同的場(chǎng)景中心斜距，在每一組場(chǎng)景中心斜距下選取5個(gè)不同的特征點(diǎn)，具體選取規(guī)則見3.1節(jié)．其中，每個(gè)特征點(diǎn)對(duì)應(yīng)的斜距誤差服從均值為4、方差為1的高斯隨機(jī)分布，圖像分辨率為 3 m，采用傳統(tǒng)方法[4]和文中方法得到的定位誤差如圖2(a)所示．可以看出，文中方法定位精度優(yōu)于傳統(tǒng)方法，且隨著斜距的減小，定位精度逐漸變高，能滿足彈體在末制導(dǎo)階段對(duì)定位精度的要求．

圖2 傳統(tǒng)方法和文中方法的定位誤差比較

4.2 匹配誤差對(duì)定位精度的影響

景象匹配方法選取不當(dāng)或圖像形變均會(huì)造成匹配誤差，影響彈體定位．假設(shè)圖像距離向和方位向分辨率相同，且各存在5個(gè)分辨單元的匹配誤差．采用彈體到場(chǎng)景中心點(diǎn)的斜距為 23 521 m 的這組特征點(diǎn)，在不考慮斜距誤差的情況下，設(shè)定不同的分辨率，使用傳統(tǒng)方法[4]和文中方法得到的定位誤差如圖2(b)所示．可以看出，在相同仿真參數(shù)的情況下，文中方法的定位精度優(yōu)于傳統(tǒng)方法的．即使當(dāng)分辨率較低、匹配誤差較大時(shí)，文中方法仍然能得到較好的定位結(jié)果．

4.3 定位方法收斂性分析

將收斂性定義為迭代次數(shù)和定位精度的收斂性，其中迭代次數(shù)收斂性以相同定位精度下不同算法需要的迭代次數(shù)來衡量，定位精度收斂性以相同迭代次數(shù)下不同算法的定位精度來衡量．選擇了傳統(tǒng)遺傳算法、傳統(tǒng)牛頓-遺傳混合算法與文中方法進(jìn)行比較．假設(shè)圖像分辨率為 3 m，彈體到場(chǎng)景中心點(diǎn)的斜距為 23 521 m，5個(gè)特征點(diǎn)對(duì)應(yīng)的斜距誤差服從均值為 4 m、方差為 1 m 的高斯隨機(jī)分布．實(shí)驗(yàn)中個(gè)人計(jì)算機(jī)的配置為Intel: 1.8 GB，8 GB 內(nèi)存，Win7操作系統(tǒng)．下面驗(yàn)證其收斂性．

(1) 驗(yàn)證迭代次數(shù)的收斂性．根據(jù)4.1節(jié)中圖2(a)的結(jié)果，在相同的仿真條件下，令定位精度達(dá)到 16 m 時(shí)終止迭代．表2給出了不同算法對(duì)應(yīng)的迭代次數(shù)，可以看出，相比于其他兩種傳統(tǒng)方法，文中方法可以快速收斂．

表2 定位方法收斂性分析

圖3 運(yùn)行1 000次的各方向結(jié)果

(2) 驗(yàn)證定位精度的收斂性．設(shè)置迭代次數(shù)為 1 000 次，表2還給出了不同算法對(duì)應(yīng)的定位精度．可以看出，在有限次迭代后，相比于其他兩種傳統(tǒng)方法，文中方法可以快速地得到更高的定位精度．

仿真結(jié)果表明，傳統(tǒng)遺傳算法和傳統(tǒng)牛頓-遺傳混合算法的收斂性均較差;文中方法不論在迭代次數(shù)收斂性還是定位精度收斂性上都具有明顯的優(yōu)勢(shì)，能夠?qū)崟r(shí)實(shí)現(xiàn)彈體精確定位．

4.4 定位方法魯棒性分析

假設(shè)仿真參數(shù)與4.3節(jié)的仿真參數(shù)相同，重復(fù)試驗(yàn) 1 000 次，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示．可以看出，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，文中方法只出現(xiàn)1次不收斂的情況，其他試驗(yàn)均能達(dá)到較高的定位精度，證明筆者所提方法具有很好的魯棒性．

5 結(jié) 束 語

針對(duì)彈體末制導(dǎo)俯沖階段的定位問題，提出了一種基于高斯牛頓-遺傳混合算法的彈體定位方法．首先構(gòu)建了以場(chǎng)景中任意點(diǎn)為成像坐標(biāo)系原點(diǎn)的彈體定位模型，在景象匹配的基礎(chǔ)上，利用多特征點(diǎn)對(duì)應(yīng)的斜距信息構(gòu)建了非線性方程組; 然后針對(duì)常用方法收斂速度慢及魯棒性差的問題，詳細(xì)分析了文中方法在初值種群的選取、適應(yīng)度函數(shù)的設(shè)計(jì)和變異操作方面的改進(jìn)，通過混合算法迭代得到了彈體在成像坐標(biāo)系中的準(zhǔn)確位置，從而實(shí)現(xiàn)了實(shí)時(shí)修正慣導(dǎo)誤差和彈體飛行軌跡;最后進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了文中方法的有效性和實(shí)用性．