對循環(huán)小數(shù)的粗淺研究

朱洪銘

摘 要：討論了兩數(shù)相除所得商的情況，證明了兩數(shù)相除若是除不盡，則商必定為循環(huán)小數(shù)，同時給出了推論，商若為循環(huán)小數(shù)，其循環(huán)節(jié)的長度與除數(shù)p有關(guān)，并且長度最長是p-1。利用計(jì)算機(jī)研究了1/p的循環(huán)節(jié)的情況，封裝了circle和circlen函數(shù)用以計(jì)算循環(huán)節(jié)及其長度。

關(guān)鍵詞：循環(huán)小數(shù)；循環(huán)節(jié)；循環(huán)節(jié)的長度

一、問題的提出

由人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊第33頁“想一想：兩個數(shù)相除，如果不能得到整數(shù)商，所得的商會有哪些情況？”引出了有限小數(shù)和無限小數(shù)的概念，而循環(huán)小數(shù)就是一種無限小數(shù)?？此祈樌沓烧?，但其中的一些問題卻遠(yuǎn)沒那么簡單。

教材給出兩題15÷16=0.9375，■，目的在于讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)如果兩數(shù)相除所得的商不是整數(shù)，則結(jié)果要么是有限小數(shù)，要么是無限小數(shù)。事實(shí)上在計(jì)算15÷16時，學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)這個商的小數(shù)位數(shù)挺多的，除到小數(shù)點(diǎn)后第4位才除盡，而在計(jì)算1.5÷7時，直至除到小數(shù)點(diǎn)后第8位才發(fā)現(xiàn)循環(huán)節(jié)，說明商是個循環(huán)小數(shù)，是一個無限小數(shù)。

為此難免引發(fā)如下疑問：1.5÷7的循環(huán)節(jié)已經(jīng)這么長了，那會不會有另外的除法算式，它的商的循環(huán)節(jié)會更長？會不會有的除法算式它的商連循環(huán)節(jié)都找不到，那商就變成了無限不循環(huán)小數(shù)了？兩個數(shù)的商若除不盡，結(jié)果真的會出現(xiàn)無限不循環(huán)的情況嗎？

學(xué)生也難免會提出這樣的問題，這時又該如何解釋呢？哪怕不面向?qū)W生，這些問題對于數(shù)學(xué)教師來講，也是有相當(dāng)?shù)难芯績r值的。

二、商的情況

用windows自帶的計(jì)算器計(jì)算了相當(dāng)數(shù)量的除法算式，發(fā)現(xiàn)商若除不盡，結(jié)果都為循環(huán)小數(shù)，不免引發(fā)猜想“兩數(shù)相除若除不盡，則商必定為循環(huán)小數(shù)”。此猜想可轉(zhuǎn)化為如下命題：

“有兩數(shù)a，b（a，b為任意有限小數(shù)或整數(shù)，且a，b都不為0），已知a÷b=c，若c為無限小數(shù)，則c必為循環(huán)小數(shù)。”

下面給出證明：

證明：由a÷b=c，根據(jù)商不變的性質(zhì)，必能轉(zhuǎn)化為q÷p=c（q、p為整數(shù)）

在q÷p的過程中，由余數(shù)的定義可知，余數(shù)必定小于p（若q

定理1兩數(shù)相除若除不盡，則商必定為循環(huán)小數(shù)。

推論1兩整數(shù)q，p（q，p均不為0），若q÷p的商為循環(huán)小數(shù)，則其循環(huán)節(jié)的長度至多為p-1位。

三、循環(huán)節(jié)的長度

由推論1可知兩數(shù)相除循環(huán)節(jié)的長度只與除數(shù)有關(guān)，因此這里只研究被除數(shù)是1，除數(shù)是整數(shù)的情況。利用windows自帶的計(jì)算器計(jì)算1/p（1≤p≤30）的結(jié)果，整理如下表：

由上表可知，當(dāng)p=2、4、5、8、10、16、20、25時，1/p都除得盡，結(jié)果為有限小數(shù)，循環(huán)節(jié)長度為0。當(dāng)p=7、17、19、23、29時，1/p的結(jié)果不僅為循環(huán)小數(shù)，并且循環(huán)節(jié)長度達(dá)到最長p-1。而此時這些p的值都為質(zhì)數(shù)。但并不是所有的質(zhì)數(shù)p都具有這樣的性質(zhì)，如p=2、5時，1/p為有限小數(shù)；p=11、13時，1/p雖為循環(huán)小數(shù)，但循環(huán)節(jié)長度并未達(dá)到p-1。

細(xì)心觀察后發(fā)現(xiàn)，2、4、5、8、10、16、20、25這些數(shù)，要么只含有質(zhì)因數(shù)2，要么只含有質(zhì)因數(shù)5，要么同時含有質(zhì)因數(shù)2和5但不含其他質(zhì)因數(shù)，也就是說這些p都可以寫成2a5b（a，b為整數(shù)，且不同時為0）的形式，因此猜想當(dāng)p形如2a5b（a，b為整數(shù)，且不同時為0）時，1/p的結(jié)果為有限小數(shù)。下面給出證明：

證明：已知■=0.5，■=0.2，因此（■）n與（■）n必為有限小數(shù)，若a=b，則1/p=■=■，■為有限小數(shù)。若a>b，則1/p=■=■=■，因■與■都為有限小數(shù)，所以1/p為有限小數(shù)。若a

定理2當(dāng)正整數(shù)p形如2a5b（a，b為整數(shù)，且不同時為0）時，則1/p的結(jié)果為有限小數(shù)。

由上表可知，若p為除2、5外的質(zhì)數(shù)，1/p的循環(huán)節(jié)會較長，有可能會達(dá)到p-1最大。由定理1的證明過程可知，只要能計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后第p位，必然能找到1/p的循環(huán)節(jié)。那么對于更大的質(zhì)數(shù)p該采取什么辦法呢？利用數(shù)學(xué)軟件Mathematica，比如計(jì)算1/541保留600位有效數(shù)字，結(jié)果如下：

但是要用肉眼找到這個循環(huán)節(jié)卻也是不容易的，此時有必要設(shè)計(jì)一段程序用以計(jì)算循環(huán)節(jié)和循環(huán)節(jié)的長度。

這里采用了ActionScript語言設(shè)計(jì)程序，具體代碼如下：

■

利用函數(shù)circle和circlen就可計(jì)算當(dāng)p為質(zhì)數(shù)（2、5除外）時1/p的循環(huán)節(jié)與循環(huán)節(jié)的長度。

因?yàn)槭菙?shù)組，所以循環(huán)節(jié)的每一位用“，”隔開，循環(huán)節(jié)長為540，達(dá)到最長，與先前在mathematica中計(jì)算的結(jié)果吻合。

此外還可以通過函數(shù)circlen來篩選質(zhì)數(shù)表，找出那些使得1/p的循環(huán)節(jié)長達(dá)到最長p-1的那些質(zhì)數(shù)p。以100以內(nèi)質(zhì)數(shù)表（2、5除外）為例：

篩選結(jié)果如下：

符合條件的質(zhì)數(shù)有7、17、19、23、29、47、59、61、97

但大部分質(zhì)數(shù)p都不能使1/p的循環(huán)節(jié)長度達(dá)到p-1。

四、未解決的問題

1.雖然利用程序可以求出1/p的循環(huán)節(jié)及其長度，但是如果對于足夠大的質(zhì)數(shù)p，能否找到一種純數(shù)學(xué)的算術(shù)方法來求得1/p的循環(huán)節(jié)長度，這個到目前為止沒有結(jié)論。

2.質(zhì)數(shù)始終是非常神秘的，究竟哪些質(zhì)數(shù)p，能使得1/p的循環(huán)節(jié)長度達(dá)到p-1，這些質(zhì)數(shù)p究竟有著怎樣的規(guī)律，這個研究起來更是困難。

參考文獻(xiàn)：

[1]張世德.循環(huán)小數(shù)的奇妙性質(zhì)[J].河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2002，30（3）：11-14.

[2]潘承洞，潘承彪.初等數(shù)論[M].北京：北京大學(xué)出版社，1992：232-248.