林建和，呂孝雷

(1 中國科學(xué)院電子學(xué)研究所 中國科學(xué)院空間信息處理與應(yīng)用系統(tǒng)技術(shù)重點實驗室，北京 100190； 2 中國科學(xué)院大學(xué)， 北京 100049)

合成孔徑雷達(dá)(synthetic aperture radar，SAR)利用載機(jī)在方位向的移動形成一個等效長天線。通過對接收回波進(jìn)行一定的處理改善垂直波束方向的分辨率，從而獲取地表二維圖像。成像處理算法分為頻域算法和時域算法，頻域算法成像效率較高(O(N2logN))，應(yīng)用較為廣泛，如RD(range doppler)，CS(chirp scaling)和ωK等算法。然而，對于機(jī)載SAR系統(tǒng)，頻域算法對不同算法、不同模式、不同斜視角、不同地形和不同波段等情況需要研究對應(yīng)的不同的運動補(bǔ)償方法[1-2](motion compensation，MOCO)，而且有許多繁瑣復(fù)雜的細(xì)節(jié)需要考慮，在現(xiàn)今SAR模式日益增多，需求日益多樣的情況下難以滿足通用化的需求;而時域算法的運動補(bǔ)償則更為通用化。另一方面，頻域補(bǔ)償算法由于存在波束中心假設(shè)和平地假設(shè)，其精度也比不上時域算法。時域算法最大的缺點是效率低，針對這一問題，一方面隨著處理器運算能力的提高逐漸得以克服，另一方面各類快速算法相繼被提出。

本文提出一種把FFBP和CMBP算法二者融合的快速BP算法，即基于方位調(diào)制的快速因子分解BP算法(chirp modulated fast factorized back projection，CMFFBP)。首先通過ωK算法對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，再人為引入一個線性調(diào)頻信號在二維頻域?qū)Ψ轿幌蜻M(jìn)行調(diào)制，在等效距離下利用FFBP算法的思想進(jìn)行后向投影。值得注意的是，F(xiàn)FBP算法利用的是真實距離，而所提算法利用的是等效距離。分析表明，在等效距離下，F(xiàn)FBP算法中極角的物理意義保持不變，空間上相鄰的點仍然有近似相等的等效距離。所以，能夠在等效距離下把原始數(shù)據(jù)投影到中心距離線上，從而結(jié)合兩種方法的優(yōu)勢，提高快速BP算法的效率。分析表明，所提算法能夠并行實現(xiàn)，通過多核CPU(central processing unit)或GPU(graphics processing unit)進(jìn)一步提高效率。在機(jī)載實時成像和衛(wèi)星在軌實時成像方面有一定的應(yīng)用潛力，因為載機(jī)或衛(wèi)星上的實時處理需要在硬件資源有限的條件下盡可能地提高速度，對算法效率要求較高。仿真和實測數(shù)據(jù)實驗均表明，所提方法和已有的兩類快速BP算法相比，在幾乎不損失精度的情況下明顯提高了效率。

1 SAR回波模型

本文限定回波模型建立在機(jī)載SAR基礎(chǔ)上，所提算法也適用于星載SAR的成像；假設(shè)SAR是條帶模式且為右正側(cè)視；假設(shè)成像場景中只有一個點目標(biāo)，由疊加定理，以下分析對多個目標(biāo)也是適用的；為便于分析，假設(shè)距離向和方位向所加的窗均為矩形窗。

如圖1，P是地面上的一個點目標(biāo)，假設(shè)其散射系數(shù)為1，SAR系統(tǒng)的實際航跡近似水平且勻速直線，實際航跡由于大氣影響相對于理想航跡存在一定的偏離。

圖1 SAR回波模型及運動補(bǔ)償示意圖Fig.1 SAR echo model and motion compensation

在某時刻，SAR天線位置處于實際航跡上的點T′，其相對于理想航跡上的點T在x和z軸方向有偏移(δxT,δzT)。SAR系統(tǒng)在T′位置接收線性調(diào)頻信號并經(jīng)解調(diào)和距離壓縮后，其信號形式為

s(t,η)=sinc(Br(t-τP(η)))·

(1)

式中：t為快時間；η為慢時間，定義η=0時，SAR最接近點目標(biāo)P；Br為距離向帶寬；TaP為點目標(biāo)P對應(yīng)的合成孔徑時間(嚴(yán)格來說，由于SAR偏離理想航跡，TaP和方位向時間η的偏離量(δxη,δzη)有關(guān)，但偏離量很小，可忽略)；c為光速;τP(η)=2rP(η)/c為雙程時間延遲；rP(η)可以表示為

(2)

2 CMFFBP算法

2.1 運動補(bǔ)償

機(jī)載SAR由于易受大氣影響，實際飛行時會偏離理想航跡，需要進(jìn)行MOCO。本文所提算法采用DMA[9](direct MOCO algorithm)對距離壓縮后的信號進(jìn)行運動補(bǔ)償，該方法采用平地假設(shè)和波束中心近似，其優(yōu)點是不像傳統(tǒng)兩階運動補(bǔ)償法中在距離徙動校正之后進(jìn)行距離向空變誤差補(bǔ)償，而能夠在距離徙動校正之前進(jìn)行。

根據(jù)文獻(xiàn)[9]，殘余運動誤差為

rres,P(η)=reP(η)-rref(η).

(3)

式中：rref(η)為參考斜距處的空不變運動誤差，與航跡偏離量有關(guān)。

殘余運動誤差分為距離空變誤差和方位空變誤差，分別為

rre,P(η)=reP′(η)-rref(η)，

(4)

rae,P(η)=reP(η)-reP′(η).

(5)

式中：P′如圖1所示，滿足rP(η)=rP′(η)，且其方位向和T′一樣。在頻域算法中，空不變和距離向空變的運動誤差之和為reP′(η)，由于reP′(η)不依賴于方位位置T(因為P′的方位位置和η是一樣的，可以通過P′確定其方位)，只依賴于在該方位位置的偏離量，所以可通過距離向插值重采樣和相位相乘得以補(bǔ)償。運動補(bǔ)償后的信號為

(6)

(7)

式中：rae,P(η)為方位空變誤差，是由于平地假設(shè)和波束中心近似帶來的，其誤差依賴于地形和孔徑。頻域算法對方位空變誤差的補(bǔ)償通常較繁瑣而且難以避免一些近似，如各種子孔徑或自聚焦算法[10-12]，而BP算法可以很好地解決這個問題，其逐點成像的過程保證可以將圖像空間中的方位向和航跡中的方位向分開，從而可以通過在后向投影過程中用真實距離rP(η)，不經(jīng)修改即可完成方位空變誤差的運動補(bǔ)償。通過引入外部數(shù)字高程模型(digital elevation model，DEM)，可以補(bǔ)償?shù)匦纹鸱鼛淼恼`差。

受時域算法運動補(bǔ)償思想的影響，文獻(xiàn)[5]提出利用BP算法實現(xiàn)對方位空變的補(bǔ)償，同時為避免BP算法效率低的問題，人為引入線性調(diào)頻項減少等效合成孔徑長度，很好地兼顧了效率和精度。

2.2 ωK和方位調(diào)制處理

標(biāo)準(zhǔn)ωK算法已經(jīng)很成熟了，故在此只給出主要推導(dǎo)結(jié)果。對式(6)運用駐定相位原理(principle of stationary phase，POSP)，其二維頻域為

(8)

式中：ft和fη分別為距離向和方位向頻率;BaP為P點位置的方位向帶寬。上述存在兩個近似，第一個是在運用POSP算方位向時頻關(guān)系時忽略了reP(η)，第二個是方位向帶寬BaP其實和ft，fη都有關(guān)系，上述兩個近似影響很小可忽略。

參考函數(shù)相乘，得

(9)

式中：Rref為參考斜距。

Stolt插值后，信號為

(10)

其中，

(11)

式(11)即為Stolt變換。

經(jīng)過CMBP算法的方位調(diào)制后，信號為

(12)

式中：a(0

(13)

(14)

其中，

(15)

由此，可以看出二維傅里葉變換前后的方位時間滿足關(guān)系

(16)

2.3 改進(jìn)的FFBP算法

本節(jié)首先介紹FFBP算法的原理，F(xiàn)FBP算法的核心思想是把距離壓縮后的數(shù)據(jù)投影到中心距離線上。如圖2，中心距離線由子孔徑中心點和子圖像中心點確定，子孔徑中心點坐標(biāo)是相鄰k(圖2中k=2)個航跡點坐標(biāo)的中心，子圖像中心點坐標(biāo)是像素網(wǎng)格劃分為M×N(圖2中M=N=2)個子圖像后每個子圖像的中心點。投影后的數(shù)據(jù)其孔徑數(shù)量為原來的1/k，有效減少了計算量，上述過程可以遞歸進(jìn)行以進(jìn)一步減少計算量。在不遞歸時為LBP算法，按上述過程遞歸且因子為2時為QBP算法，每一次遞歸都可以設(shè)定任意因子的為FFBP算法，其中，QBP和FFBP算法的效率可以逼近頻域算法。

圖2 中心距離線示意圖Fig.2 Illustration of the center range beam

FFBP算法首先把距離壓縮后的數(shù)據(jù)投影到中心距離線上。如圖2，以子孔徑中心點為極點，以航跡方向為極軸正方向，則子圖像所有點的極角都近似為中心距離線的極角，在中心距離線上設(shè)置一系列離散值ri，得

(17)

式中：rc=|PcT1|為子孔徑中心點到子圖像中心點的距離；t為子孔徑中心點到原始航跡點的沿方位向的長度；N為中心距離線上數(shù)據(jù)的采樣點數(shù)；Δr為中心距離線上的采樣間隔，通常要滿足距離向的奈奎斯特采樣條件；極角θ滿足

(18)

FFBP算法在極角上相當(dāng)于利用鄰近插值。

FFBP算法中的距離是真實地理距離，然而式(13)中的距離是通過式(14)定義的一種等效距離，CMFFBP算法是在改進(jìn)的FFBP算法基礎(chǔ)上實現(xiàn)的，式(14)中的vη等于當(dāng)前航跡點到零多普勒點的距離，所以式(17)中的rc應(yīng)由下式確定

(19)

其中，Δy=y0-y1。

由上，CMFFBP算法是CMBP和FFBP算法通過式(19)結(jié)合起來的一種算法。值得注意的是，式(17)中的θ依然由式(18)確定，因為FFBP算法是利用極角的最鄰近插值實現(xiàn)局部近似從而提高算法效率，而等效距離不影響極角的物理概念，它只是在極徑上進(jìn)行了映射。換句話說，在斜距平面真實距離下極角相差Δθ，極徑相差ΔR的兩個點，映射為斜距平面等效距離下極角相差依然為Δθ，只是極徑相差變?yōu)棣′，而FFBP算法其近似的來源在于極角，所以只要保持FFBP算法的極角的物理概念不變，其在等效距離下依然有效。

下面簡要介紹LBP算法[4]以更好地理解CMFFBP算法。如圖3，對距離線上的任一點ri，在合并的孔徑范圍內(nèi)每一個t，均可通過式(17)和式(19)得到Ri，根據(jù)Ri在相應(yīng)的距離壓縮后的數(shù)據(jù)插值，對這些插值結(jié)果在合并的k個航跡點中相干累加，從而把數(shù)據(jù)投影到中心距離線上，然后對像素網(wǎng)格任一點P，在其合成孔徑范圍內(nèi)每一子孔徑中心點T，根據(jù)|PT|在相應(yīng)的中心距離向上插值出相應(yīng)的值來，對這些值進(jìn)行相干累加得到點P的成像值，對像素網(wǎng)格中的所有點進(jìn)行上述過程得到最終的成像值。

圖3 LBP算法示意圖Fig.3 Illustration of the LBP algorithm

QBP算法[5]和FFBP算法不同于LBP算法的地方在于其運用了遞歸的思想進(jìn)一步減少其復(fù)雜度，LBP和QBP算法均可看作是FFBP算法的特殊情況，不再贅述。

2.4 非線性航跡及并行化分析

(20)

式(20)右邊即為式(5)中的方位空變誤差，可以通過插值得到。由此，方位空變誤差得以補(bǔ)償。上述過程可以遞歸進(jìn)行，隨著遞歸的進(jìn)行，子孔徑長度不斷增加，其偏移量應(yīng)該越大，但根據(jù)文獻(xiàn)[6]，其成像誤差并不會隨之增加，由此保證遞歸相對于非遞歸不會帶來成像質(zhì)量下降。

CMFFBP算法主要運算量集中在距離壓縮后的數(shù)據(jù)投影到中心距離線以及對每一個像素點在中心距離線上進(jìn)行插值和相干累加上，這部分的運算量可以通過并行得以減少。首先分析距離壓縮后的數(shù)據(jù)投影到中心距離線部分，一方面不同的中心距離線沒有先后關(guān)系，能夠同時對多條中心距離線進(jìn)行投影，另一方面每一條中心距離線上的一系列離散值ri對應(yīng)的回波值的計算過程也沒有先后關(guān)系，因此，把數(shù)據(jù)投影到中心距離線的這部分計算能夠并行化。其次，對每個像素點在中心距離線上進(jìn)行插值和相干累加這部分運算和原始BP算法的思想是一致的，容易通過并行實現(xiàn)。綜上，CMFFBP算法易于并行化處理，可通過多核CPU或GPU進(jìn)一步提高成像效率。

3 算法流程

根據(jù)第2節(jié)算法原理的推導(dǎo)，CMFFBP算法流程如下：

1)對接收到的回波進(jìn)行解調(diào)和距離壓縮，單點目標(biāo)結(jié)果如式(1)所示(以下表達(dá)式均為單點目標(biāo)情況)；

2)運用DMA對距離壓縮后的信號運動誤差的空不變分量和距離向空變分量進(jìn)行補(bǔ)償，補(bǔ)償后的結(jié)果如式(6)所示，運動誤差剩下方位向空變向量，為進(jìn)一步提高精度，對DMA運動補(bǔ)償后的信號進(jìn)行方位重采樣，以補(bǔ)償沿方位向速度不均勻帶來的誤差；

3)對DMA補(bǔ)償和方位重采樣后的信號進(jìn)行二維傅里葉變換，參考函數(shù)相乘，Stolt插值，結(jié)果如式(10)所示；

4)在二維頻域?qū)tolt插值后的信號進(jìn)行方位調(diào)制，調(diào)制后的信號如式(12)所示；

5)對方位調(diào)制后的信號進(jìn)行二維逆傅里葉變換，變換后的信號如式(13)所示；

6)把等效距離壓縮式(13)信號投影到中心距離線上，此時子孔徑中心點和子圖像中心點的距離根據(jù)式(19)計算，極角通過式(18)計算；

7)對像素網(wǎng)格的每一像素點，根據(jù)該像素點到子孔徑中心點的距離在中心距離線上插值，在合成孔徑范圍內(nèi)對這些值進(jìn)行相干累加，得到最終聚焦的圖像。

上述流程可用圖4表示，其中第3步為標(biāo)準(zhǔn)ωK算法中的處理步驟，第6步和第7步為FFBP算法步驟(此時利用的是等效距離)，運動補(bǔ)償體現(xiàn)或隱含在在第2步、第6步和第7步中。值得注意的是，流程中FFBP算法特指LBP算法，一般的FFBP算法可以在此基礎(chǔ)上遞歸形成新的中心距離線。

圖4 CMFFBP算法流程圖Fig.4 Flow chart of the CMFFBP algorithm

4 仿真和實測實驗結(jié)果與分析

為驗證所提算法的有效性，選擇一個由中國科學(xué)院電子學(xué)研究所研制的C波段機(jī)載SAR系統(tǒng)進(jìn)行相關(guān)實驗，主要參數(shù)如表1所示。為便于比較，設(shè)計點目標(biāo)仿真實驗和實測數(shù)據(jù)實驗，分別利用CMBP、FFBP和CMFFBP算法進(jìn)行實驗，并對成像質(zhì)量和成像效率進(jìn)行比較分析。

表1 SAR主要參數(shù)Tabel 1 The main parameters of SAR system

4.1 仿真實驗結(jié)果與分析

為使仿真結(jié)果最大程度地接近實測結(jié)果，仿真使用的航跡為真實SAR飛行航跡，其在2 500 m的飛行距離中沿x正負(fù)方向相對于理想航跡的最大偏離量分別為0.44和-0.35 m，沿z正負(fù)方向相對于理想航跡的最大偏離為0.18和-0.22 m，其航跡偏離量如圖5所示。用3種算法，即CMBP、FFBP。和CMFFBP算法對仿真的回波進(jìn)行處理，算法運行在Microsoft Visual Studio 2008平臺下。為便于衡量成像質(zhì)量，成像過程中方位向和距離向所加的窗均為矩形窗，設(shè)置9個點目標(biāo)，位置如圖6所示。通過對成像的結(jié)果進(jìn)行點目標(biāo)分析，可以定量計算點目標(biāo)的沖激響應(yīng)寬度(impulse response width，IRW)，峰值旁瓣比(peak sidelobe rate，PSLR)，積分旁瓣比(integration sidelobe rate，ISLR)和運行時間，從而比較各個算法的效率和精度，仿真參數(shù)中式(12)的方位調(diào)制系數(shù)a=0.1，成像區(qū)域大小為4 096像素×4 096像素。

圖5 SAR飛行沿方位向的偏離Fig.5 SAR deviations along the x-and z-directions

圖6 點目標(biāo)分布示意圖Fig.6 Distribution of point targets

點目標(biāo)成像幅度圖如圖7所示，可以看出9個點目標(biāo)均已聚焦成像，從9個點中選擇圖6的A點，對其周圍的32×32鄰域進(jìn)行二維sinc升采樣，升采樣倍數(shù)為32。CMBP、FFBP和CMFFBP算法升采樣的等值線、距離向剖面圖和方位向剖面圖分別如圖8～圖10所示，從中可以看出3種算法的成像結(jié)果均幾乎呈理想的二維sinc信號。進(jìn)一步的定量表明，CMBP、FFBP和CMFFBP算法的距離向IRW分別為0.269、0.269和0.269 m，和理想值(表1中SAR參數(shù)距離向分辨率)0.266 m幾乎完全一致；方位向IRW分別為0.353、0.376和0.367 m，和理想值0.336 m也基本一致。CMBP、FFBP和CMFFBP算法的距離向峰值旁瓣比分別為-13.24、-13.25和-13.16 dB，和理想值-13.26 dB(矩形窗的理論值)幾乎完全一致；方位向峰值旁瓣比分別為-13.08、-13.33和-14.12 dB，和理想值-13.26 dB也基本一致。同時，可以發(fā)現(xiàn)，3種算法的成像質(zhì)量基本一致。為更進(jìn)一步評估點目標(biāo)成像質(zhì)量，選擇圖6中的A、B、C、D和E5個點目標(biāo)在3種算法下的IRW、PSLR和ISLR值分別列在表2～表4中，從這3個表可以看出，3種算法成像質(zhì)量均逼近理想點目標(biāo)，因此，CMFFBP算法相對于另外兩種算法在精度上的損失基本可以忽略。

圖7 點目標(biāo)成像結(jié)果Fig.7 The imaging results of point targets

在a=0.1時，CMBP、FFBP和CMFFBP算法的運行時間分別為7.059、11.655和3.701 min，可以看出，CMFFBP算法相對于CMBP算法提高47.6%，相對于FFBP算法提高68.2%。為進(jìn)一步比較3種算法的效率，計錄不同的a值下3種算法的運行時間，如表5和圖11所示，可以看出，當(dāng)a比較小(如a=0.01)時，CMBP和CMFFBP運行時間基本一致，隨著a值的增大，CMBP和CMFFBP算法的運行時間隨a的增加呈近似線性關(guān)系，但是CMBP算法的斜率比較大，說明CMFFBP算法的效率比CMBP高，隨a的增加，效率提高得越顯著；從圖11還可看出，當(dāng)a小于0.78時，CMFFBP算法比CMBP和FFBPN算法的效率高，當(dāng)a接近1時，由于此時方位調(diào)制并未明顯減少等效合成孔徑長度， CMFFBP算法由于前期的ωK預(yù)處理，會比FFBP算法稍微多運行一點時間。總的來說，CMFFBP算法在a<0.4時相對于CMBP和FFBP算法，效率明顯提高。

圖8 CMBP算法點目標(biāo)分析Fig.8 The point target analysis of the CMBP algorithm

圖9 FFBP算法點目標(biāo)分析Fig.9 The point target analysis of the FFBP algorithm

圖10 CMFFBP算法點目標(biāo)分析Fig.10 The point target analysis of CMFFBP algorithm

表2 CMBP算法的點目標(biāo)成像質(zhì)量參數(shù)Table 2 The point target quality parameters of CMBP algorithm

表3 FFBP算法的點目標(biāo)成像質(zhì)量參數(shù)Table 3 The point target quality parameters of the FFBP algorithm

表4 CMFFBP算法的點目標(biāo)成像質(zhì)量參數(shù)Table 4 The point target quality parameters of the CMFFBP algorithm

表5 不同參數(shù)a下的CMBP，F(xiàn)FBP和CMFFBP算法的運行時間Table 5 Running time of the CMBP, FFBP, and CMFFBP algorithms at different a values min

圖11 CMBP，F(xiàn)FBP和CMFFBP算法的運行時間隨a增加的變化圖Fig.11 Running time of the CMBP, FFBP, and CMFFBP algorithms vs. the a parameter

綜上，仿真結(jié)果表明，CMFFBP算法相對于CMBP和FFBP算法在幾乎沒有損失精度的情況下， 顯著提高成像效率。

4.2 實測實驗結(jié)果與分析

利用實測SAR數(shù)據(jù)驗證所提算法的有效性，SAR參數(shù)如表1所示，航跡偏離量如圖5所示，測試數(shù)據(jù)大小為4 096像素×4 096像素，a=0.01。3種成像算法的成像結(jié)果如圖12所示，可以看出，三者均能對場景清晰成像。為進(jìn)一步比較三者的成像質(zhì)量，對圖12中白色矩形框區(qū)域進(jìn)行放大顯示，如圖13所示，可以看到，其聚焦質(zhì)量良好，三個算法的成像質(zhì)量基本一致，所以，CMFFBP算法相對于CMBP和FFBP算法在成像精度上沒有明顯損失。在成像效率上，CMBP、FFBP和CMFFBP算法的運行時間分別為3.806、12.219和2.98 min，和表5中a=0.01基本吻合，因此，CMFFBP算法的效率優(yōu)于另外兩種快速BP算法。

圖12 CMBP, FFBP和CMFFBP成像結(jié)果Fig.12 The imaging results of CMBP, FFBP, and CMFFBP algorithms

圖13 圖12白色矩形框區(qū)域的放大圖Fig.13 Enlarged views of the three white rectangular areas in Fig. 12

綜上，實測數(shù)據(jù)實驗表明，所提算法能對實測數(shù)據(jù)進(jìn)行高質(zhì)量聚焦，其成像質(zhì)量和CMBP以及FFBP算法幾乎相同，表明其在提高成像效率的同時并未對成像質(zhì)量造成明顯影響，至此，通過仿真和實測數(shù)據(jù)驗證了所提算法的有效性，其在精度和效率均能取得令人滿意的效果。

5 總結(jié)

本文從兩類快速BP算法入手，設(shè)法使得兩類快速算法的優(yōu)勢結(jié)合起來，進(jìn)一步提高算法的運行效率，其中CMBP算法利用方位調(diào)制技術(shù)實現(xiàn)孔徑的壓縮，使得等效合成孔徑長度按給定因子壓縮，相當(dāng)于使合成孔徑長度變短，從而減少運算量；FFBP算法通過引入中心距離線的概念把相鄰孔徑合并，相當(dāng)于減少合成孔徑范圍內(nèi)的孔徑點數(shù)；而CMFFBP算法把上述二者結(jié)合起來，一方面減少合成孔徑長度，另一方面減少合成孔徑范圍內(nèi)孔徑點數(shù)量，從而進(jìn)一步減少計算量，值得注意的是，F(xiàn)FBP算法能夠通過遞歸實現(xiàn)，所以CMFFBP算法也能夠利用遞歸進(jìn)一步減少計算量，本文沒有對此展開。通過仿真和實測數(shù)據(jù)實驗，所提算法相對于CMBP和FFBP算法其成像質(zhì)量幾乎沒有下降，而效率明顯提高，驗證了該算法的有效性。