宋良美，胡金輝

（武漢大學(xué)，湖北武漢430072）

一、引 言

存款是銀行的主要資金來源，是貸款的前提條件，銀行存款的規(guī)模制約著貸款規(guī)模，進(jìn)而影響銀行的經(jīng)營效率。科學(xué)預(yù)測儲戶的存款余額，對指導(dǎo)銀行等金融機(jī)構(gòu)經(jīng)營，乃至制定經(jīng)濟(jì)和貨幣政策，規(guī)劃產(chǎn)業(yè)投資策略和規(guī)模，保持國民經(jīng)濟(jì)健康發(fā)展等具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

灰色GM（1，1）模型目前已經(jīng)成為應(yīng)用最為廣泛的灰色預(yù)測模型，然而灰色GM（1，1）模型也存在諸多不足，如當(dāng)發(fā)展系數(shù)絕對值較大時，預(yù)測誤差偏大，模型穩(wěn)定性較差等。針對傳統(tǒng)灰色GM（1，1）存在的缺陷，許多學(xué)者對其進(jìn)行了改進(jìn)，雖然取得了一定的成效，但改進(jìn)方法僅僅局限于對原模型外圍的修正，以更好地擬合具有純指數(shù)律特征的數(shù)據(jù)序列，并不能從根本上消除模型自身缺陷所造成的誤差［1］［2］。然而在現(xiàn)實(shí)生活中，完全具有純指數(shù)律特征的數(shù)據(jù)序列不多，而更多的數(shù)據(jù)序列符合近似非齊次指數(shù)的規(guī)律，為了解決這一問題，一些學(xué)者提出了近似非齊次指數(shù)序列的離散灰色DGM （1，1，k）模型，對擬合具有非齊次指數(shù)分布規(guī)律的數(shù)據(jù)序列有一定效果。傳統(tǒng)的DGM（1，1，k）對單調(diào)性、凸凹一致性的非齊次指數(shù)分布數(shù)據(jù)序列有較好的效果，而對不具備這些特征的其他非齊次指數(shù)擬合效果也不夠理想，而自然界這類特征的數(shù)據(jù)序列比比皆是，無偏差DGM（1，1，k）模型從近似非齊次指數(shù)序列灰色預(yù)測模型的白微分方程入手，通過對灰導(dǎo)數(shù)和背景值兩個角度優(yōu)化，對傳統(tǒng)灰色DGM（1，1，k）模型進(jìn)行了根本性改進(jìn)，實(shí)現(xiàn)了對于非齊次指數(shù)數(shù)據(jù)序列的無偏擬合，適用于任意非齊次指數(shù)規(guī)律的數(shù)據(jù)序列的擬合與預(yù)測，使灰色 DGM（1，1，k） 預(yù)測精度得到了大幅提高［3］［4］。 本文運(yùn)用無偏差灰色 DGM（1，1，k）模型對上海市金融機(jī)構(gòu)各項(xiàng)存款余額進(jìn)行預(yù)測。

二、模型構(gòu)建

（一）灰色 GM（1，1）模型

設(shè)有一原始時間數(shù)據(jù)系列：

對原始數(shù)據(jù)系列進(jìn)行一次累加，生成數(shù)據(jù)系列：

x（1）（k）的緊臨均值生成序列：

灰微分方程：

式（1）為灰色 GM（（1，1）的基本模型。 其中，a 稱為發(fā)展系數(shù)，b 稱為灰色作用量。白化方程為：

記參數(shù) A=（a，b）T，A=（a，b）T的估計為A?=（a?，b?）T，利用最小二乘法可求出A?=（a?，b?）T，即：

式（5）即為預(yù)測方程，可用于預(yù)測原始系列X（0）（k）各發(fā)展階段發(fā)展趨勢，x?（0）（k）為原始系列 X（0）（k）的第 k 期預(yù)測值。

（二）灰色 GM（1，1，k）模型

灰色GM（1，1，k）模型主要針對具有非齊次指數(shù)分布規(guī)律的數(shù)據(jù)序列的預(yù)測問題，與 GM（1，1）的差別在于：GM（1，1）模型的白化方程為齊次微分方程；而 GM（1，1，k）模型的白化方程為齊次微分方程［5］［6］［7］。

GM（1，1，k）模型有多種構(gòu)建形式，本文按照文獻(xiàn)［6］的方法構(gòu)建。

設(shè)原始時間序列 X（0）（k）的微分方程為：

則稱為離散型非齊次灰色預(yù)測模型，記為傳統(tǒng) GM（1，1，k）。 其中，a、b、c為常數(shù)系數(shù)。

方程：

為 GM（1，1，k）的白化方程。

令 A=（a，b，c）T，則利用最小二乘法可得到參數(shù) A 的估計為：［8］

從而得到GM（1，1，k）的離散時間響應(yīng)序列為：

式中，C1為常數(shù)。 若以為初始條件，則常數(shù)式（9）可變?yōu)闉椋?/p>

進(jìn)行一次累減還原為原始的預(yù)測值為：

（三）無偏差灰色 GM（1，1，k）模型

雖然GM（1，1，k）模型結(jié)果為非齊次指數(shù)函數(shù)，但如果采用傳統(tǒng)形式進(jìn)行參數(shù)估計，則即使模擬具有完全非齊次指數(shù)函數(shù)規(guī)律序列，仍然會存在較大誤差。其主要原因來自于模型基本形式和白化微分方程參數(shù)間的跳躍替代關(guān)系。無偏差GM（1，1，k）從灰導(dǎo)構(gòu)建入手，通過調(diào)整模型基本形式來克服傳統(tǒng)GM（1，1，k）模型的不足。無偏差 GM（1，1，k）直接利用一次累加數(shù)據(jù)序列建模。

設(shè)有一原始時間數(shù)據(jù)序列：

對原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行一次累加，生成數(shù)據(jù)序列：

方程：

稱為非齊次灰色預(yù)測模型，記為無偏差 GM（1，1，k），其中，a、b、c 為常數(shù)系數(shù)。 若 NGM（1，1，k）的白化方程為［4］：

則稱：

為GM（1，1，k）模型的無偏參數(shù)估計形式，使用該式進(jìn)行參數(shù)估計的GM（1，1，k）模型稱為無偏非齊次灰色預(yù)測模型的直接建模法。

令 D=（d1，d1，d1）T，則可得到參數(shù) D 的無偏差估計為：

于是，可以得到無偏GM（1，1，k）預(yù)測模型的參數(shù)估計值為：

從而得到無偏差 GM（1，1，k）模型離散時間響應(yīng)序列為［4］：

式中，C2為常數(shù)。 若以為初始條件，則常數(shù)則式 （17）可變?yōu)椋?/p>

進(jìn)行一次累減還原為原始的預(yù)測值為：

三、上海市各項(xiàng)存款余額預(yù)測

圖1 上海市金融機(jī)構(gòu)各項(xiàng)存款余額統(tǒng)計數(shù)據(jù)

圖1為2007-2017年上海市金融機(jī)構(gòu)各項(xiàng)存款余額統(tǒng)計數(shù)據(jù)。從圖1可知，上海市金融機(jī)構(gòu)各項(xiàng)存款余額整體呈上升趨勢，但年增幅不盡相同，前些年增幅較慢，近幾年增幅較快。從數(shù)據(jù)分布特點(diǎn)看，上海市金融機(jī)構(gòu)各項(xiàng)存款余額數(shù)據(jù)分布呈非齊次指數(shù)性，采用無偏差GM（1，1，k）模型預(yù)測較為合適。

以2007-2017年上海市金融機(jī)構(gòu)各項(xiàng)存款余額統(tǒng)計數(shù)據(jù)為樣本，即原始時間數(shù)據(jù)序列建立不同的灰色預(yù)測模型對其進(jìn)行預(yù)測。

1. 經(jīng)典 GM（1，1）模型預(yù)測

為使數(shù)據(jù)變平滑，對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行對數(shù)變換，即x=ln（y），其中，y為原始數(shù)據(jù)序列。 根據(jù)式（3）求得參數(shù) A=（a，b）T的估計為：

根據(jù)式（4）得到時間響應(yīng)式為：

根據(jù)式（5）求得歷年上海市金融機(jī)構(gòu)各項(xiàng)存款余額的擬合值，見表1。

2. 傳統(tǒng) GM（1，1，k）模型預(yù)測

根據(jù)式（9）求得參數(shù) A=（a，b）T的估計為：

根據(jù)式（10）得到時間響應(yīng)式為：

據(jù)式（11）求得歷年上海市金融機(jī)構(gòu)各項(xiàng)存款余額的擬合值，結(jié)果如表1所示。

3. 無偏差 GM（1，1，k）模型預(yù)測

根據(jù)式（15）求得參數(shù) D=（d1，d1，d1）T的估計為：

根據(jù)式（17）得到時間響應(yīng)式為：

據(jù)式（18）求得歷年上海市金融機(jī)構(gòu)各項(xiàng)存款余額的擬合值，見表1。

表1 三種灰色預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果對比

圖2 上海市存款余額測結(jié)果及比較

從表1可知，經(jīng)典GM（1，1）預(yù)測模型的平均預(yù)測誤差為5．21783%；傳統(tǒng) GM（1，1，k）預(yù)測模型的平均預(yù)測誤差為 6．03711%；無偏差 GM（1，1，k）預(yù)測模型的平均預(yù)測誤差為4．93302%。無偏差 GM（1，1，k）模型的平均預(yù)測誤差比經(jīng)典GM（1，1）模型的平均預(yù)測誤差降低5．45840%，比傳統(tǒng) GM（1，1，k）模型的平均預(yù)測誤差降低18．23207%。表面看來預(yù)測減小幅度不大，我們來觀察近期誤差。對于2017年值的預(yù)測，無偏差 GM（1，1，k）預(yù)測為 3．98888%，比經(jīng)典 GM（1，1）的 7．40050%減小 45．96473%，比傳統(tǒng) GM（1，1，k）的9.15224%減小56.30709%，而預(yù)測模型的價值在于對未來事物的發(fā)展趨勢的準(zhǔn)確預(yù)估，前期誤差并不重要，后期誤差才是衡量模型性能的真正指標(biāo)，從這個角度看，無偏差 GM（1，1，k）預(yù)測模型的優(yōu)勢還是十分明顯的。傳統(tǒng) GM（1，1，k）模型的預(yù)測誤差之所以比經(jīng)典GM（1，1）模型預(yù)測略高，是因?yàn)榻?jīng)典 GM（1，1）模型進(jìn)行了對數(shù)變換處理，而傳統(tǒng) GM（1，1，k）模型是直接用原始數(shù)據(jù)建模。由無偏差 GM（1，1，k）模型預(yù)測得到2018年上海市金融機(jī)構(gòu)各項(xiàng)存款余額為130104.9819億元。三種模型的預(yù)測結(jié)果比較如圖2所示。

四、結(jié) 語

改革開放以來，我國經(jīng)濟(jì)持續(xù)高速發(fā)展，綜合國力和國際地位得到大幅提升。人們?nèi)罕姷氖杖牒蜕钏讲粩嗵岣撸瑐€人資產(chǎn)也在不斷增長，企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益提高，社會財富積累不斷增加。各地存款額余額節(jié)節(jié)攀升，充分反映了我國小康社會取得的輝煌成就。儲戶存款是國家經(jīng)濟(jì)建設(shè)的重要資金來源之一，充分吸納儲戶存款不僅必要也是為滿足民眾之需必須而為之事。保持存款余額在適度的水平，對經(jīng)濟(jì)社會的發(fā)展十分必要，但存款余額不是越高越好，如果過高，反而對經(jīng)濟(jì)社會的發(fā)展不利：其一，抑制了有效消費(fèi)，大部分儲戶把錢存到銀行，并不是錢真的多得花不完，更多的是出于無奈，寧愿過緊日子把錢贊起來，以備不時之需，這不利于供給側(cè)結(jié)構(gòu)改革政策的實(shí)施，不利于擴(kuò)大內(nèi)需實(shí)現(xiàn)新舊動能的轉(zhuǎn)換，也不利于經(jīng)濟(jì)的可持續(xù)發(fā)展；其二，高儲蓄率容易致使經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)失衡。如果總儲蓄大于總投資，多余的部分只能靠出口消化，導(dǎo)致重走出口導(dǎo)向型的經(jīng)濟(jì)模式老路，有悖于我國經(jīng)濟(jì)新常態(tài)特征；其三，增加了銀行的運(yùn)營風(fēng)險。銀行是要為儲戶付利息的，存款余額較高的情況下，如果銀行貸不出去或者貸出去收不回，銀行將會遭受損失，需要承擔(dān)一定的風(fēng)險。研究地區(qū)存款余額，對當(dāng)?shù)亟鹑跈C(jī)構(gòu)合理組織安排業(yè)務(wù)活動，政府部門制定和調(diào)整投資、消費(fèi)、貨幣等經(jīng)濟(jì)政策和措施具有重要的參考價值。

由于上海市金融機(jī)構(gòu)各項(xiàng)存款余額數(shù)據(jù)序列呈非齊次性指數(shù)、非凸凹一致性的特點(diǎn)，傳統(tǒng)的灰色預(yù)測方法誤差大，效果不理想，文中運(yùn)用無偏差DGM（1，1，k）模型預(yù)測上海市金融機(jī)構(gòu)各項(xiàng)存款余額，契合其數(shù)據(jù)分布特點(diǎn)，克服傳統(tǒng)的灰色預(yù)測方法的不足，取得了滿意的效果。平均預(yù)測誤差為4.93302%，比傳統(tǒng)GM（1，1，k）模型的平均預(yù)測誤差6.03370的降低了18.23207%，比經(jīng)典GM（1，1）模型平均預(yù)測誤差5.21738%降低了5.45840%。尤其是近期預(yù)測精度較高，2017 年的預(yù)測誤差比傳統(tǒng) GM（1，1，k） 模型和經(jīng)典 GM（1，1）模型分別下降了56.30709%和45.96473%。由無偏差 GM（1，1，k）模型預(yù)測得到2018年上海市金融機(jī)構(gòu)各項(xiàng)存款余額為130104.9819億元。