善用幾何直觀，彰顯問(wèn)題本質(zhì)

繆小明

摘 要 幾何直觀是指憑借圖表、線段圖等，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形有機(jī)結(jié)合，是抽象思維與形象思維的有機(jī)結(jié)合，充分展現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，以期突破數(shù)學(xué)理解上的難點(diǎn)。其實(shí)，幾何直觀是數(shù)形結(jié)合思想的最好體現(xiàn)，通過(guò)圖形的直觀性質(zhì)，來(lái)闡明數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化，實(shí)現(xiàn)代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的互相轉(zhuǎn)化，互相滲透，為研究和探索數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)辟了一條重要的途徑。幾何直觀是解決問(wèn)題的有效方法，是探究知識(shí)本源的重要過(guò)程。

關(guān)鍵詞 幾何直觀 問(wèn)題本質(zhì)

中圖分類號(hào)：G633.63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

如：《比賽場(chǎng)次》（六上）一課中的例題：有五位同學(xué)進(jìn)行乒乓球單打比賽，每?jī)扇酥g都且只進(jìn)行一場(chǎng)比賽，一共要舉行幾場(chǎng)比賽？

（1）我們可以列表來(lái)分析：

（2）我們可以用示意圖來(lái)分析：

（3）我們可以用線段圖來(lái)分析：

以上三種幾何直觀都不重復(fù)計(jì)算場(chǎng)數(shù)：A與其他四人，各打一場(chǎng)計(jì)4場(chǎng)；B與除A以外的其他三人，各打一場(chǎng)計(jì)3場(chǎng)；C與除A、B以外的其他兩人各打一場(chǎng)計(jì)2場(chǎng)；D與最后一人E，打一場(chǎng)；一共打：4+3+2+1=10（場(chǎng)）。

那么，如果重復(fù)計(jì)算，結(jié)果又會(huì)怎樣呢？我們借用下圖來(lái)幫助分析：

從圖上我們可以看出來(lái)，每位同學(xué)實(shí)際上場(chǎng)4次，只是由于每場(chǎng)比賽是兩個(gè)人同時(shí)上場(chǎng)，所以需要的場(chǎng)數(shù)是：5？？=10（場(chǎng)）。這種幾何直觀理解題意的本質(zhì)與前面三種完全不同，解決問(wèn)題的方法也與前面的不同。

又如，《雞兔同籠》一課中的例題：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)有8個(gè)頭，從下面數(shù)有26只腳，雞和兔各幾只？

（1）可以列表來(lái)解決：

先考慮雞兔一樣多的情況，共有24只腳，與實(shí)際的26只腳比，少了2只，所以兔子的數(shù)量應(yīng)更多一點(diǎn)，進(jìn)而得出答案：籠子中有雞3只，兔子5只。

（2）可以用假設(shè)法來(lái)解決：（我們只講一種情況）。

假設(shè)籠子里全是雞（這里我認(rèn)為假設(shè)無(wú)論是雞還是兔子都只有2只腳更好一點(diǎn)），可以用示意圖幫助理解：

上圖可以幫助孩子們理解：不管是雞或兔，都先以2只腳算，共8？=16（只），與實(shí)際26只腳比少了10只，少的原因同學(xué)們一下就發(fā)現(xiàn)了。每只兔子有4只腳，卻被假設(shè)成2只腳，少了兩只腳，所以兔的只數(shù)是：10鰨？-2）=5（只），那么雞的只數(shù)：8-5=3（只）。

（3）這里介紹一種新的假設(shè)法（書(shū)本里沒(méi)有）：如圖所示：

假設(shè)雞和兔同時(shí)抬起兩只腳，共抬起16只腳，此時(shí)，雞變成了飛翔雞，兔變成了雙腳蹦蹦兔，著地的10只腳全是兔子的，那么兔的只數(shù)：（26-8？）？=5（只），雞的只數(shù)：8-5=3（只）。

上面三種幾何直觀，一是運(yùn)用列表法推定；二、三種方法似乎有異曲同工之妙，算式一樣，但理解問(wèn)題的角度不同，對(duì)孩子們來(lái)說(shuō)，第三種理解起來(lái)較為簡(jiǎn)單。

最后：《等積變形》一類課例：（六下）圓柱和圓錐體積的計(jì)算課

對(duì)于這類教學(xué)內(nèi)容，老師采用的最好辦法，就是把孩子帶進(jìn)實(shí)驗(yàn)室，選擇合適的實(shí)驗(yàn)器材，讓孩子親自動(dòng)手，在實(shí)驗(yàn)中觀察，在觀察中理解，在理解中想出解題的方法。

如：一個(gè)底面直徑是10厘米的圓柱形容器里，盛了7厘米高的水柱，將一塊不規(guī)則的鐵塊浸沒(méi)在水里，這時(shí)水深9厘米，求這塊鐵塊的體積是多少？

教師可以準(zhǔn)備實(shí)驗(yàn)材料，讓孩子親身體驗(yàn)這一事實(shí)，他們很快就能理解：鐵塊的體積=上升水柱的體積，從而求出結(jié)果。

又如：給一把直尺，怎樣測(cè)出一個(gè)礦泉水瓶的最大容積（如圖1）？

在具體的教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生們想了各種各樣的方法：

（1）干脆將瓶子里的水裝滿，然后倒進(jìn)一個(gè)長(zhǎng)方體的容器里，測(cè)出長(zhǎng)方體容器內(nèi)部的長(zhǎng)和寬，以及水的深度，直接求出水的體積，即瓶子的最大容積。

（2）干脆先把瓶子埋在一個(gè)長(zhǎng)方體沙坑里，再取出瓶子，最后量出沙坑里沙的高度下降了多少，以及沙坑的長(zhǎng)和寬，算出下降部分沙的體積，即瓶子的最大容積。

我一直鼓勵(lì)孩子們：非常注重用轉(zhuǎn)化的思想來(lái)解決問(wèn)題，可我們題目中沒(méi)有長(zhǎng)方體容器，沒(méi)有沙坑，也沒(méi)有多余的水啊。有同學(xué)舉手說(shuō)：圖1中裝水的部分體積是很容易求的，只要測(cè)出底面直徑和水柱的高，用求圓柱體積的方法就行了，只是上面空的部分的體積不好求？不知是誰(shuí)說(shuō)了一句：把瓶子倒過(guò)來(lái)。一石激起千層浪，同學(xué)們恍然大悟：正放時(shí)上面空的部分的體積不就等于倒過(guò)來(lái)后上面空的圓柱的體積嗎？

解決這道題的關(guān)鍵點(diǎn)：無(wú)論正放或倒放，瓶子的容積不變，瓶子里水的體積不變，瓶子里空的部分體積不變，正放時(shí)上部空的不規(guī)則體積可以用倒放時(shí)上部空的圓柱體積代替。同學(xué)們很快就能理解這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)：瓶子的最大容積=正放時(shí)水柱的體積+倒放時(shí)上部空?qǐng)A柱的體積。

總之，幾何直觀主要是借助于圖表、示意圖、線段圖，實(shí)驗(yàn)操作等方法幫助學(xué)生，直觀地理解數(shù)學(xué)，借助于具體形象的幾何圖形或?qū)嵨?，產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知，充分彰顯問(wèn)題的本質(zhì)，最終幫助學(xué)生打開(kāi)思維的大門，是啟迪智慧的一把萬(wàn)能鑰匙。