一類非線性分?jǐn)?shù)階微分方程正解的存在性*

施 敏

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210023)

1 問(wèn)題的提出

分?jǐn)?shù)階微積分理論是當(dāng)今數(shù)學(xué)界的一個(gè)熱點(diǎn)話題，它在流體力學(xué)、生物進(jìn)化、高分子材料和圖像處理等領(lǐng)域有極其重要的應(yīng)用.伴隨著非線性科學(xué)的發(fā)展，研究分?jǐn)?shù)階微分方程及其邊值問(wèn)題，對(duì)解決非線性問(wèn)題的意義越來(lái)越大.目前，很多學(xué)者[1-4]采用非線性分析的方法(如不動(dòng)點(diǎn)定理和Leray-Schauder度理論等)探討分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題1個(gè)或多個(gè)正解的存在性.受文獻(xiàn)[1]的啟發(fā)，筆者將研究如下具有積分邊值條件的Caputo型非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問(wèn)題：

(1)

其中：0<λ

2 預(yù)備知識(shí)

定義1[5]函數(shù)f:[0,+∞)→R的α(α>0)階Caputo型微分定義為

其中[α]為實(shí)數(shù)α的整數(shù)部分.

定義2[5]函數(shù)f:[0,+∞)→R的α(α>0)階Riemann-Liouville型積分定義為

等式右邊在(0,+∞)上是逐點(diǎn)定義的.

定義3[5]函數(shù)f:[0,+∞)→R的α(α>0)階Riemann-Liouville型導(dǎo)數(shù)定義為

等式右邊在(0,+∞)上是逐點(diǎn)定義的.

引理3[7]設(shè)n<α

(2)

(3)

證明根據(jù)引理2，問(wèn)題(2)中的等式CDαu(t)+y(t)=0等價(jià)于

由條件u(0)=u′(0)=…=u(k-1)(0)=u(k+1)(0)=…=u(n)(0)=0，可得

因此

(4)

從而解得

(5)

將(5)式代入(4)式，可得

引理3得證.

引理4[1]設(shè)n<α

(1)對(duì)于?t,s∈[0,1],λ≠k+1，有G(0,s)=G(t,1)=0；

(2)對(duì)于?s∈[0,1]，有G(1,s)=0當(dāng)且僅當(dāng)λ=0；

(3)對(duì)于?s∈(0,1)，有G(1,s)>0當(dāng)且僅當(dāng)λ∈(0,k+1)；

(4)對(duì)于?t∈(0,1)，有G(t,0)>0當(dāng)且僅當(dāng)λ∈[0,k+1)；

(5)對(duì)于?t,s∈(0,1)，有G(t,s)>0當(dāng)且僅當(dāng)λ∈[0,k+1)；

引理5設(shè)n<α

證明首先考慮0≤t≤s≤1的情況.令

由0≤t≤s≤1,n<α

然后考慮0≤s≤t≤1的情況.令

由0≤s≤t≤1,n<α

斷言h(t,s)>tk,?0

對(duì)一切0v,?0tk,?0

引理5得證.

(ⅰ)‖(Tu)(t)‖≥‖u(t)‖,u(t)∈P∩?Ω1,且‖(Tu)(t)‖≤‖u(t)‖,u(t)∈P∩?Ω2;

(ⅱ)‖(Tu)(t)‖≤‖u(t)‖,u(t)∈P∩?Ω1,且‖(Tu)(t)‖≥‖u(t)‖,u(t)∈P∩?Ω2.

3 主要結(jié)果及其證明

并記

定理1算子T:P→P是全連續(xù)的.

和

因此T(P)?P.

然后由函數(shù)G(t,s)和f(t,u(t))的連續(xù)性可知算子T:P→P是連續(xù)的.

故集合T(Ω)在X中有界.對(duì)于?u(t)∈Ω，有

定理1證畢.

定理2假定如下條件之一成立：

則問(wèn)題(1)在P中至少有1個(gè)解.

定理2證畢.