建數(shù)學(xué)模型 促思維提升

李祿強(qiáng)

教學(xué)內(nèi)容：人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第五單元第62～63頁(yè)“方程的意義”。

教學(xué)目標(biāo)：

1.借助生活情境理解方程的意義——用含有未知數(shù)的等式表示兩件事情是等價(jià)的。

2.經(jīng)歷從生活情境到方程模型的建構(gòu)過(guò)程，感受方程思想的核心之一，即建模。

3.培養(yǎng)學(xué)生觀察、描述、分類、抽象、概括、應(yīng)用等能力。

教學(xué)重點(diǎn)：準(zhǔn)確地從生活情境中提煉方程模型，然后用含有未知數(shù)的等式來(lái)表達(dá)，理解方程的意義。

教學(xué)難點(diǎn)：理解方程的意義，即用數(shù)學(xué)符號(hào)表示兩件事情是等價(jià)的。

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)舊知，引入新課

師：同學(xué)們，我們?cè)谇懊鎸W(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)，接下來(lái)就讓我們用這部分內(nèi)容來(lái)解決下面的問(wèn)題。請(qǐng)同學(xué)們拿出老師給大家準(zhǔn)備的練習(xí)題，認(rèn)真完成。（出示練習(xí)題。）

這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是 平方厘米。

師：哪位同學(xué)能來(lái)解決第一道題？

生：長(zhǎng)方形的面積是50χ平方厘米。

一輛汽車從甲地開(kāi)往乙地，已經(jīng)行駛了b千米，還剩95千米。甲乙兩地相距 千米。

師：第二道題怎么解決呢？

生：甲乙兩地相距（b+95）千米

他們每天一共投報(bào) 份。

師：第三道題呢？

生：他倆每天一共投報(bào)（a+b）份。

師：剛才的幾位同學(xué)都匯報(bào)了他的答案，還有哪些同學(xué)的答案和他們是一致的，請(qǐng)舉手！

師：同學(xué)們能熟練地用含有字母的式子表示某一個(gè)量，我們這節(jié)課就在用字母表示某一個(gè)量的基礎(chǔ)上，繼續(xù)來(lái)學(xué)習(xí)新的內(nèi)容——方程的意義。

二、情境呈現(xiàn)，抽象模型

師：同學(xué)們，這節(jié)課我們要學(xué)習(xí)方程的意義，根據(jù)你的理解，你認(rèn)為什么是方程？

生1：我覺(jué)得方程里邊有字母。

師：你認(rèn)為方程和字母有關(guān)。

生2：我覺(jué)得方程就是其中有一個(gè)未知數(shù)，等號(hào)兩邊都是等量。

師：你認(rèn)為方程和等式有關(guān)。

生3：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

師：你真是一個(gè)善于預(yù)習(xí)的孩子。

師：方程真的是同學(xué)們說(shuō)的那樣嗎？今天就讓我們從最簡(jiǎn)單的問(wèn)題開(kāi)始研究。

師：同學(xué)們請(qǐng)看大屏幕，哪位同學(xué)能先大聲讀題，然后解答？

（出示：校合唱隊(duì)有男生12人，女生20人，校合唱隊(duì)共有多少人？）

生：12+20=32。

師：為了方便我們接下來(lái)的研究，算式后的單位名稱省略不寫(xiě)了。

師：12表示（生：男生人數(shù)），20表示（生：女生人數(shù)），32表示（生：總?cè)藬?shù)）。

師：那等號(hào)的左右兩邊表示的是一回事嗎？（生：是。）這么看來(lái)這個(gè)算式是根據(jù)：男生的人數(shù)+女生的人數(shù)=總?cè)藬?shù)。像這樣的數(shù)量間的相等關(guān)系，被稱為等量關(guān)系（板書(shū)：等量關(guān)系）。

師：當(dāng)已知條件發(fā)生變化時(shí)，這個(gè)問(wèn)題又應(yīng)該怎樣解答呢？你能用我們之前學(xué)過(guò)的知識(shí)解答這個(gè)問(wèn)題嗎？

（出示：校合唱隊(duì)有男生12人，女生a人。校合唱隊(duì)共有32人。女生有多少人呢？）

生：32-12=20。

師：你說(shuō)得真好。如果條件又發(fā)生了變化，你們還能解決嗎？

（出示：校合唱隊(duì)有男生b人，女生20人。校合唱隊(duì)共有32人，男生有多少人呢？）

生：32-20=12。

師：剛才，我們用3個(gè)不同的等量關(guān)系寫(xiě)出了3個(gè)不同的算式。同學(xué)們注意了，老師現(xiàn)在要提高要求，你能不能用加法算式來(lái)表示這兩道題呢？

生：12+a=32。

師：這里的a表示什么？

生：a表示女生的人數(shù)。

師：a在這里是一個(gè)未知數(shù)。這么看來(lái)，字母也可以像數(shù)一樣參與到運(yùn)算當(dāng)中。第二個(gè)算式應(yīng)該怎么寫(xiě)呢？

生：b+20=32。

師：這里b又表示什么？

生：b表示男生的人數(shù)。

師：觀察這3個(gè)算式，它們有什么共同的地方？

生1：總?cè)藬?shù)都一樣。

生2：它們的等量關(guān)系都是一樣的。

師：他們的左邊都是男生人數(shù)加女生人數(shù)，右邊都是表示總?cè)藬?shù)。所以，可以用等號(hào)連接。像這樣用等號(hào)連接的算式，在數(shù)學(xué)中被稱為等式。（圈出所有等號(hào)，在等號(hào)下出示等式。）

師：剛才我們從文字中找到了等量關(guān)系，并根據(jù)同一個(gè)等量關(guān)系列出了3個(gè)等式。其實(shí)在我們實(shí)際生活中的很多方面，也都存在著這樣的等量關(guān)系。（出示天平。）

師：大家看，這是一個(gè)天平，現(xiàn)在的天平處于一個(gè)平衡的狀態(tài)，同學(xué)們想一下，天平在什么情況下才能平衡呢？

生：左右兩邊的重量相等的時(shí)候。

師：當(dāng)天平的左邊重量（師晃動(dòng)左手）和天平右邊的重量（師晃動(dòng)右手），相等的時(shí)候（師晃動(dòng)雙手），天平就會(huì)平衡。

師：請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察天平接下來(lái)發(fā)生的變化，你能用一個(gè)等式來(lái)表示天平現(xiàn)在的狀態(tài)嗎？

生：50+50=100 。

師：同學(xué)們注意看，接下來(lái)天平將再次發(fā)生變化，你還能用等式來(lái)表示天平的狀態(tài)嗎？

生：100+χ=250。

師：這個(gè)等式的左邊表示什么？右邊呢？

生：等式的左邊表示杯子的重量+水的重量，右邊表示它們的總重量。

師：所以水杯的重量+水的重量=砝碼的重量。

師：我們能從天平中找到等量關(guān)系，并根據(jù)等量關(guān)系列出等式，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們看這個(gè)實(shí)物圖，根據(jù)實(shí)物圖你能列出怎樣的等式呢？（出示情境圖。）

生： 3χ=2.4。

師：在這個(gè)等式中，等式左邊表示什么？右邊又表示什么？

生：等式左邊表示3本書(shū)一共多少錢(qián)，右邊也表示3本書(shū)的總錢(qián)數(shù)。

師：所以它們也是相等的。

師：在這個(gè)情境圖中，大括號(hào)在這里相當(dāng)于等式中的什么？（生：等號(hào)。）

師：我們?cè)趯?shí)物圖中同樣找到了等量關(guān)系，那在線段圖中呢？

生： χ+73=166。

師：在這個(gè)圖示中，什么相當(dāng)于等號(hào)呢？（生：下邊的大括號(hào)。）

三、引導(dǎo)分類，構(gòu)建概念

師：我們剛才從文字、天平、實(shí)物圖和線段圖中找到等量關(guān)系，并根據(jù)等量關(guān)系分別列出了這7個(gè)等式。

師：在這7個(gè)等式中，有幾個(gè)就是我們今天要認(rèn)識(shí)的方程，你能把它們找出來(lái)嗎？

等式

（1）12+20=32

（2）12+a=32

（3）b+20=32

（4）50+50=100

（5）100+χ=250

（6）3χ=2.4

（7）χ+73=166

生：第2、3、5、6、7個(gè)等式是方程。

師：大家和他找得一樣嗎？你們和老師想的也都是一樣的，它們確實(shí)都是方程，那你們認(rèn)為什么是方程呢？

生1：因?yàn)檫@5個(gè)等式中都有未知數(shù)。

生2：這5個(gè)算式兩邊都相等。

師：是的，像這樣含有未知數(shù)的等式，叫做方程。

師：作為一個(gè)方程，它必須要含有未知數(shù)，而且還要是等式。如果用韋恩圖來(lái)表示方程和等式之間的關(guān)系的話，大的這個(gè)集合表示等式，小的這個(gè)集合就表示方程。從這個(gè)韋恩圖中，我們可以清楚地看到方程一定是等式，而等式不一定是方程。

四、出示練習(xí)，鞏固新知

師：我們現(xiàn)在知道了什么是方程，接下來(lái)我們來(lái)判斷一下，下邊哪些式子是方程。（出示練習(xí)題。）

1.下邊哪些式子是方程？

①33+47=80 ②x+15>72

③6（y+2）=42 ④3m+32=47

⑤21<17+10 ⑥6x+2y=42

師：請(qǐng)同學(xué)們把自己認(rèn)為是方程的等式找出來(lái)，跟你的同桌互相交流一下，為什么你認(rèn)為它是方程。（同桌交流。）

師：哪位同學(xué)來(lái)匯報(bào)一下你找的結(jié)果？

生：我認(rèn)為第3個(gè)、第4個(gè)、第6個(gè)是方程，因?yàn)樗鼈兌际堑仁?，還含有未知數(shù)。

師：同學(xué)們請(qǐng)看第2個(gè)等式，它為什么不是方程？

生：因?yàn)樗皇堑仁健?/p>

師：它確實(shí)不是一個(gè)等式，而是一個(gè)不等式。

師：我們能準(zhǔn)確地判斷一個(gè)等式是不是方程，那能不能寫(xiě)出幾個(gè)方程呢？哪位同學(xué)愿意到黑板上寫(xiě)一個(gè)方程？寫(xiě)完的同學(xué)，同桌之間互相檢查。

師：大家看他們寫(xiě)的是不是方程？（生：是。）為什么是方程？（生：它們都是含有未知數(shù)的等式。）

師：從同學(xué)們寫(xiě)出的方程我們可以看出來(lái)，方程可以有這么多的形式?？磥?lái)同學(xué)們對(duì)于方程有了一定的了解，讓我們一起回到課前用字母表示數(shù)的3道題，首先看第一題，老師補(bǔ)充了一個(gè)條件，你能不能根據(jù)等量關(guān)系列出方程？（課件呈現(xiàn)：這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是3500平方厘米。）

這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是3500平方厘米。

生1：50x=3500。

生2：等量關(guān)系：長(zhǎng)×寬=長(zhǎng)方形的面積。

師：同學(xué)們請(qǐng)看第二道題，你也能根據(jù)等量關(guān)系列出方程嗎？（課件呈現(xiàn)：一輛汽車從甲地開(kāi)往乙地，已經(jīng)行駛了b千米，還剩95千米。甲乙兩地相距260千米。）

生：b+95=260，根據(jù)等量關(guān)系：已經(jīng)行駛的路程+還剩的路程=總路程。

師：只要我們有足夠的已知條件，能找到等量關(guān)系，就能列出方程。同學(xué)們請(qǐng)注意，第三道題有變化了。請(qǐng)同學(xué)們自己補(bǔ)充一個(gè)條件，列出方程。（課件呈現(xiàn)。）

自己補(bǔ)充一個(gè)條件，列出方程。

生：王叔叔和李阿姨一天一共投報(bào)80份。列出的方程是a+b=80。

師：我們先來(lái)看他列的這個(gè)方程，他列的是不是一個(gè)方程？（生：是。）但是同學(xué)們，你們感覺(jué)他補(bǔ)充的這個(gè)條件怎么樣??？

生：每天投報(bào)80份有點(diǎn)太少了。

師：你的意思就是不符合我們的生活實(shí)際。那你能幫他改一個(gè)更大的數(shù)嗎？

生：他們每天一共投報(bào)200份。

師：那根據(jù)這個(gè)條件，應(yīng)該怎么列方程呢？

生： a+b=200。

師：其他同學(xué)還補(bǔ)充了不同的條件嗎？

師：同學(xué)們請(qǐng)看老師寫(xiě)出的這個(gè)方程，你知道這個(gè)方程表示的意義嗎？[7（a+b）=1400]。

生：他們7天一共投報(bào)1400份。

師：那你還能像老師這樣補(bǔ)充條件再列出一個(gè)方程嗎？

生：我補(bǔ)充的條件是31天一共投報(bào)6200份，我列出的方程是：31（a+b）=6200。

師：你真是個(gè)善于思考的孩子。

五、總結(jié)

師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們坐好。今天我們初步學(xué)習(xí)了有關(guān)方程的知識(shí)，同學(xué)們回憶一下：

1.什么是方程？

2.方程是根據(jù)什么來(lái)的？

生1：方程是通過(guò)等量關(guān)系得來(lái)的。

生2：方程是把未知數(shù)帶入到等量關(guān)系中。

師：所以說(shuō)，無(wú)論這個(gè)方程是簡(jiǎn)單還是復(fù)雜，它的背后一定隱藏著一個(gè)等量關(guān)系。

師：同學(xué)們，你們知道嗎？方程也有著悠久的歷史。請(qǐng)看視頻。（出示視頻。）正是由于笛卡爾確定了方程的基本形式，所以才有了我們現(xiàn)代的方程，而我們今天學(xué)習(xí)的方程只是最簡(jiǎn)易的方程，在以后的學(xué)習(xí)中我們還會(huì)學(xué)到更復(fù)雜的方程。（課件出示。）

這是我們以后會(huì)學(xué)到的一元二次方程：

x2+2x+1=4

這是二元一次方程組：

2x+3y=23x-2y=1

這是二元二次方程組：

x2+y2=54x2-2y=10

而這個(gè)就是數(shù)學(xué)界最偉大的發(fā)明——?dú)W拉公式

歐拉公式eпi+1=0是數(shù)學(xué)里最令人著迷的一個(gè)方程，被數(shù)學(xué)家們?cè)u(píng)為“上帝創(chuàng)造的方程”。

由此可見(jiàn)方程的偉大之處。

其實(shí)方程還有許許多多的奧秘等待著我們?nèi)ヌ剿鳎信d趣的同學(xué)可以在課后自己去搜集一些有關(guān)方程的資料。這節(jié)課我們就上到這里。下課！

反思：

本節(jié)課是建立在學(xué)生能夠用字母表示數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的?！胺匠痰囊饬x”教學(xué)無(wú)論是教材還是以往教學(xué)實(shí)踐，無(wú)一例外都是借助天平進(jìn)行導(dǎo)入。授課教師根據(jù)天平進(jìn)行演示，先呈現(xiàn)一組等式（方程）、不等式，再引導(dǎo)學(xué)生分類，進(jìn)而揭示方程的概念，這幾乎成了“方程的意義”一課教學(xué)的不二選擇。就個(gè)人教學(xué)經(jīng)驗(yàn)而言，常規(guī)的天平導(dǎo)入法雖有利于學(xué)生對(duì)“方程的意義”這節(jié)課的知識(shí)掌握，但也同樣給課堂教學(xué)帶來(lái)了挑戰(zhàn)與困惑——學(xué)生無(wú)法準(zhǔn)確迅速地找出數(shù)量間的相等關(guān)系。筆者認(rèn)為出現(xiàn)這種情況一方面與初次教學(xué)“方程的意義”時(shí)，學(xué)生對(duì)方程概念的理解出現(xiàn)偏誤有關(guān)；另一方面也與課堂上學(xué)生對(duì)于天平的過(guò)分關(guān)注有關(guān)。天平可以幫助學(xué)生理解“方程表示數(shù)量間的相等關(guān)系”，但是通過(guò)天平揭示的只是一種特殊的等量關(guān)系，即天平兩端所置物品的質(zhì)量相等，而“方程表示數(shù)量間的相等關(guān)系”的涵義要豐富得多。

帶著這樣的思考，筆者請(qǐng)教了多位教研員和有經(jīng)驗(yàn)的教師，同時(shí)也查閱相關(guān)資料，對(duì)“方程的意義”也有了一個(gè)較為明晰的認(rèn)識(shí)。筆者認(rèn)為，應(yīng)將“方程的意義”這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)著眼于“知道方程式表示數(shù)量間的關(guān)系”上，而不是單純地強(qiáng)調(diào)“含有未知數(shù)的等式叫做方程”這個(gè)形式化的定義。

從學(xué)者的視角出發(fā)，多位專家、學(xué)者也對(duì)“方程的定義”有著不同的認(rèn)知和理解。張奠宙教授認(rèn)為：“這個(gè)定義其實(shí)并不重要，那只是方程式的一個(gè)外觀描述，沒(méi)有體現(xiàn)方程的本質(zhì)?！?史寧中教授也曾提到：“雖然教科書(shū)中定義為含有未知量的等式，但應(yīng)當(dāng)知道方程的本質(zhì)是在講兩個(gè)故事，這兩個(gè)故事有一個(gè)共同點(diǎn)，在這個(gè)共同點(diǎn)上兩個(gè)故事的數(shù)量相等?！?也就是說(shuō)，從史教授等人的觀點(diǎn)出發(fā)去判斷一個(gè)算式是不是方程，意義不大。關(guān)鍵是要知道方程是怎么回事，是做什么用的。方程是一種思想，是把未知量視為與已知數(shù)具有同等性質(zhì)且可參與運(yùn)算的量，利用等量關(guān)系構(gòu)造方程，求出問(wèn)題的解。

因此，在進(jìn)行本節(jié)課的教學(xué)時(shí)，筆者改變傳統(tǒng)教學(xué)中將天平作為主要媒介的慣用做法，沒(méi)有單純地讓學(xué)生根據(jù)天平的狀態(tài)列出算式，繼而進(jìn)行分類、歸納，最終簡(jiǎn)單地得出方程的概念。而是從復(fù)習(xí)“用字母表示數(shù)”引入新課。讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)“你認(rèn)為什么是方程”，調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備，激發(fā)學(xué)生對(duì)方程的樸素認(rèn)識(shí)。接下來(lái)，筆者出示三道最簡(jiǎn)單的練習(xí)題，學(xué)生將加法算式改寫(xiě)成含有字母的加法算式，使學(xué)生經(jīng)歷從算數(shù)方法到方程的思維的轉(zhuǎn)變，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，未知數(shù)也可以像已知數(shù)一樣參與到運(yùn)算。這時(shí)學(xué)生在頭腦中已經(jīng)初步建立方程的思維。然后學(xué)生觀察天平、實(shí)物圖、線段圖等，利用幾何直觀找到等量關(guān)系，列出方程，使他們的思維從熟悉的、簡(jiǎn)單的等量關(guān)系中，過(guò)渡到方程的產(chǎn)生過(guò)程，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)方程所表示的數(shù)量間的相等關(guān)系，即等量關(guān)系是組成方程的必要條件。在這個(gè)過(guò)程中，筆者并沒(méi)有根據(jù)教材出示不等式，而是讓學(xué)生在等式的基礎(chǔ)上找到方程，其目的是避免學(xué)生對(duì)方程的概念產(chǎn)生偏誤。然后，通過(guò)找出下面哪些算式是方程的練習(xí)中出示不等式，再次重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)方程必須是等式這一概念。這樣更有利于學(xué)生理解方程，加深學(xué)生對(duì)方程概念的認(rèn)識(shí)。在課堂教學(xué)中，筆者設(shè)計(jì)了一個(gè)讓學(xué)生自己寫(xiě)方程的練習(xí)環(huán)節(jié)。在此環(huán)節(jié)中，筆者還特意將比較有個(gè)性的方程進(jìn)行展示，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到方程的多樣性。最后階段的練習(xí)重新回到課前的3道練習(xí)題中，有梯度地引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知條件列出方程，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)方程的理解。其具體做法是：第一步，讓學(xué)生自己補(bǔ)充一個(gè)已知條件，然后列方程練習(xí)；第二步，給出一個(gè)方程，讓學(xué)生說(shuō)明這個(gè)方程表示什么意義；第三步，精準(zhǔn)的練習(xí)與鞏固，其目的是反復(fù)強(qiáng)化“每個(gè)方程背后都一定有一個(gè)等量關(guān)系”這一觀念，使學(xué)生能充分理解方程的意義。

在本節(jié)課的最后，為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，引發(fā)學(xué)生新的思考，筆者采用視頻播放的形式向?qū)W生介紹了方程的發(fā)展過(guò)程，并簡(jiǎn)單介紹了在后續(xù)學(xué)習(xí)中還會(huì)學(xué)習(xí)到不同類型的方程，尤其是歐拉公式的出現(xiàn)，讓學(xué)生眼前一亮，激發(fā)了學(xué)生對(duì)方程探究的興趣，有利于將數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)由課內(nèi)引向課外。

（作者單位：哈爾濱市泰山小學(xué)）

編輯/魏繼軍