張 寧，劉友文

（1.閩江學(xué)院 物理學(xué)與電子信息工程學(xué)院，福州 350108；2.閩江學(xué)院 海洋學(xué)院，福州 350108）

微機(jī)電系統(tǒng)（Micro-Electro-Mechanical System，MEMS）陀螺具有成本低、重量輕、體積小等顯著優(yōu)點(diǎn)，在目前的低成本慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中得到了非常廣泛的應(yīng)用。但MEMS陀螺與傳統(tǒng)陀螺相比較，其精度要偏低，主要原因在于其輸出的信號(hào)中含有較大的隨機(jī)漂移誤差[1]?？紤]到MEMS陀螺的隨機(jī)漂移具有非平穩(wěn)性、弱非線性的特點(diǎn)，需要對(duì)其進(jìn)行去噪處理。當(dāng)前，對(duì)其進(jìn)行去噪的常用方法有 Kalman濾波法和小波分析法。但 Kalman濾波法會(huì)存在由于誤差模型建立不準(zhǔn)確而導(dǎo)致出現(xiàn)濾波發(fā)散的現(xiàn)象[2]；小波分析法在 MEMS陀螺信號(hào)去噪中已經(jīng)取得了較多的成功應(yīng)用[3-5]，但該方法需提前設(shè)置小波基函數(shù)和分解級(jí)數(shù)，在濾波去噪過(guò)程中并不具有自適應(yīng)性。

近年來(lái)，一種自適應(yīng)信號(hào)處理方法——經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Empirical Mode Decomposition, EMD）被廣泛研究，并在MEMS陀螺信號(hào)去噪中得到了一定的應(yīng)用[6-8]。但EMD方法本身存在有易產(chǎn)生模態(tài)混疊現(xiàn)象的缺點(diǎn)。為此，Wu通過(guò)添加輔助噪聲，提出一種集成經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD）方法以消除模態(tài)混疊問(wèn)題[9]；但EEMD方法也存在著在信號(hào)分解過(guò)程中沒(méi)有完全消除白噪聲、重構(gòu)信號(hào)時(shí)誤差較大的缺點(diǎn)。Yeh等人通過(guò)采用正、負(fù)成對(duì)的形式加入輔助噪聲，提出了一種互補(bǔ)集成經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Complementary EEMD, CEEMD）方法，以消去重構(gòu)信號(hào)中的殘余輔助噪聲并降低模態(tài)混疊的影響。該方法在MEMS陀螺信號(hào)去噪中也得到了應(yīng)用[11]。但CEEMD方法不能解決在添加不同噪聲時(shí)可能分解出不同數(shù)量模態(tài)的問(wèn)題。就此，Torres等人提出了完備集成經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition with Adaptive Noise, CEEMDAN）方法[12]，該方法通過(guò)附加自適應(yīng)白噪聲，不僅能減輕模態(tài)混疊現(xiàn)象，而且可以精確重構(gòu)原始信號(hào)。

鑒于 CEEMDAN方法在信號(hào)自適應(yīng)分解中的優(yōu)勢(shì)，本文考慮將其應(yīng)用到MEMS陀螺信號(hào)去噪中來(lái)。目前使用EMD方法進(jìn)行MEMS陀螺信號(hào)去噪時(shí)，主要采用兩種方式：一是將其分解后的前幾階高頻固有模態(tài)函數(shù)（Instrinsic mode function, IMF）分量認(rèn)定為噪聲分量，直接去除后進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，這屬于強(qiáng)制去噪方法；二是對(duì)高頻IMF噪聲分量進(jìn)行閾值處理，并進(jìn)而與剩余有效IMF分量重構(gòu)以獲得去噪后信號(hào)。一般來(lái)說(shuō)第二種去噪方式更加合理，因?yàn)楦哳l噪聲分量也可能包含有效成分，其閾值處理方式借鑒采用的是小波軟、硬閾值函數(shù)。但采用硬閾值函數(shù)處理方式會(huì)使得重構(gòu)信號(hào)產(chǎn)生振蕩；而采用軟閾值函數(shù)處理方式雖然信號(hào)連續(xù)性較好，但其影響了重構(gòu)精度[4]。

本文中，為了對(duì)MEMS陀螺輸出信號(hào)進(jìn)行去噪，首先使用CEEMDAN方法對(duì)其進(jìn)行有效完備的分解，并判斷出噪聲IMF分量與有效IMF分量間的界限；在此基礎(chǔ)上，綜合軟、硬閾值函數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)，提出了一種改進(jìn)的閾值處理函數(shù)，并借鑒 EMD閾值設(shè)置的方法對(duì)分解后的含噪IMF分量進(jìn)行閾值濾波處理；將閾值濾波處理后的分量與有效IMF分量進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)即可獲得去噪后信號(hào)。

1 CEEMDAN的基本原理

CEEMDAN方法是以EEMD方法為理論基礎(chǔ)，通過(guò)對(duì)每一階分解后的IMF分量添加自適應(yīng)的白噪聲信號(hào)，并計(jì)算唯一的殘差信號(hào)以獲取固有模態(tài)函數(shù)。其算法流程為：

則第一個(gè)殘余分量為：

② 定義算子 Ej(·)為信號(hào)通過(guò) EMD分解后得到的第j個(gè)模態(tài)函數(shù)。對(duì)信號(hào)繼續(xù)進(jìn)行I次重復(fù)分解，可得到第二個(gè)IMF分量為：

③ 對(duì)于 k = 2,…,K，計(jì)算k階殘余分量為：

⑤ 重復(fù)執(zhí)行步驟③和④，直到殘余信號(hào)不可再繼續(xù)被分解為止，最終可得到K個(gè)模態(tài)函數(shù)分量，其最終殘差分量為：

式(6)原始信號(hào)x(t)可以被表示為：

從上述 CEEMDAN方法的原理可以看出，CEEMDAN充分利用了EEMD噪聲輔助分析的特點(diǎn)，可對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行精確完整的重構(gòu)。并通過(guò)在每個(gè)階段調(diào)整噪聲系數(shù)εi可以選擇不同信噪比的噪聲。

2 CEEMDAN改進(jìn)閾值濾波去噪模型

2.1 小波閾值函數(shù)分析

對(duì)分解后的IMF分量使用閾值去噪處理，常采用的是小波閾值函數(shù)，有兩種形式：

① 硬閾值函數(shù)：

② 軟閾值函數(shù)：

2.2 改進(jìn)閾值函數(shù)

綜合上述軟、硬閾值函數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)，并根據(jù)文獻(xiàn)[13]半軟閾值的思想，本文提出以下改進(jìn)閾值函數(shù)，以適用于CEEMDAN分解后的IMF分量閾值處理：

為此，本文所提改進(jìn)閾值函數(shù)在對(duì)軟、硬閾值進(jìn)行線性組合的同時(shí)，又加入了這一項(xiàng)，充分考慮到在IMF分量較小時(shí)，能保留其中的有效成分。

圖1給出了采用三種閾值函數(shù)對(duì)IMF分量處理后的結(jié)果對(duì)比示意圖，其中IMF分量取值為 -1︰0 .01︰1，閾值Ti設(shè)置為0.3，α設(shè)置為0.4。

圖1 三種閾值函數(shù)對(duì)比圖Fig.1 Comparison on three threshold functions

從圖1可以看出，改進(jìn)的閾值函數(shù)不僅對(duì)硬閾值和軟閾值進(jìn)行了折衷處理，并在IMF分量取值較小時(shí)保留了其有效成分，而且具有較好的連續(xù)性。

2.3 基于CEEMDAN改進(jìn)閾值函數(shù)的濾波去噪流程

在采用 CEEMDAN方法對(duì)陀螺輸出信號(hào)進(jìn)行有效分解的基礎(chǔ)上，本文采用相關(guān)系數(shù)法[14-15]判斷出噪聲分量層數(shù)；進(jìn)而對(duì)含噪IMF分量設(shè)置相應(yīng)閾值，并對(duì)其使用改進(jìn)閾值函數(shù)進(jìn)行濾波去噪處理；最后將濾波后的含噪IMF分量與有效IMF分量進(jìn)行重構(gòu)以獲得去噪后信號(hào)。其具體去噪流程如下：

① 對(duì)原始陀螺輸出信號(hào)x(t)使用CEEMDAN進(jìn)行分解，分解后得到K個(gè)固有模態(tài)函數(shù)分量IMF和一個(gè)殘差分量R(t)；

② 計(jì)算各個(gè)IMF分量與x(t)的一系列相關(guān)系數(shù)，當(dāng)相關(guān)系數(shù)首次出現(xiàn)局部極小值時(shí)，則判定該IMF分量為噪聲分量與有效分量的界限，記其為第K1個(gè)IMF分量[14-15]；

③ 對(duì)前K1個(gè)IMF分量使用式(10)所示的改進(jìn)閾值函數(shù)進(jìn)行濾波處理。閾值確定的方法采用 EMD方法中的閾值計(jì)算模型[16]：

其中，C為一常數(shù)，在本文中取值為 0.3；N為信號(hào)長(zhǎng)度； Ei為第i階IMF對(duì)應(yīng)的能量，其值可以使用下列公式進(jìn)行估計(jì)。

此處 E1為第一階IMF對(duì)應(yīng)的信號(hào)能量，采用如下公式進(jìn)行計(jì)算：

④ 將閾值濾波后的含噪IMF分量與有效IMF分量進(jìn)行重構(gòu)，獲得去噪后的信號(hào)為：

2.4 去噪效果評(píng)價(jià)指標(biāo)

本文采用兩種評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)陀螺信號(hào)的去噪效果進(jìn)行評(píng)價(jià)：

① 信噪比：

② 均方根誤差：

3 實(shí)例分析

實(shí)驗(yàn)中采用MPU6050型MEMS慣組進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，該設(shè)備包括有三軸陀螺儀和三軸加速度計(jì)。本文以X軸陀螺儀數(shù)據(jù)為例，以100 Hz的采樣頻率采集了一組6 min的靜態(tài)實(shí)驗(yàn)輸出數(shù)據(jù)作為陀螺儀隨機(jī)漂移時(shí)間序列，其數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為36 000，如圖2所示。

圖2 陀螺漂移實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Fig.2 Experimental data of gyro drift

使用CEEMDAN方法對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分解，其中噪聲標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)為0.2，集成平均次數(shù)設(shè)為100[12]。經(jīng)分解后可以得到15個(gè)IMF分量與1個(gè)殘余分量。為了說(shuō)明CEEMDAN方法在信號(hào)重構(gòu)中的優(yōu)越性，另外使用EMD、EEMD、CEEMD三種方法對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分解。對(duì)各種方法分解后的分量加以重構(gòu)，與原實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比以計(jì)算重構(gòu)誤差，結(jié)果如圖3所示。四種信號(hào)分解方法的重構(gòu)精度，如表1所示。

圖3 四種方法的重構(gòu)誤差Fig.3 Reconstruction errors of three methods

表1 信號(hào)重構(gòu)誤差精度Tab.1 Accuracy of signal reconstruction error

從圖3可看出，EMD方法、CEEMD方法、CEEMDAN方法的重構(gòu)誤差數(shù)量級(jí)為 10-17，可以忽略不計(jì)，而EEMD方法的重構(gòu)誤差相對(duì)較大。從表1可以看出，CEEMDAN的重構(gòu)精度最優(yōu)，表明其具備了完備重構(gòu)信號(hào)的性能，在信號(hào)分解中具有明顯的優(yōu)越性。

為了對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪處理，計(jì)算分解后的所有IMF分量（包括殘余分量）與原始實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)間的相關(guān)系數(shù)，如圖4所示。

圖4 各個(gè)IMF分量與原實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)間的相關(guān)系數(shù)Fig.4 Correlation coefficient of each IMF and original experimental data

從圖4中可以看出，在第11個(gè)IMF分量處首次明顯出現(xiàn)局部極小值，所以判定前11個(gè)IMF分量為噪聲分量。為了使用改進(jìn)閾值函數(shù)對(duì)CEEMDAN分解后的含噪IMF分量進(jìn)行濾波處理，需合理給定式(10)中α的取值。為此，對(duì)α從0開(kāi)始按照步長(zhǎng)為0.05循環(huán)計(jì)算使用改進(jìn)閾值去噪后的信噪比，繪制曲線如圖5所示?？梢钥闯?，α取值為0.5時(shí)信噪比最佳。

圖5 改進(jìn)閾值函數(shù)參數(shù)與去噪后信噪比的關(guān)系Fig.5 Relationship between improved threshold function parameter and SNR after de-noising

為了與本文方法的去噪效果進(jìn)行對(duì)比，本文還對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分別使用了小波分析、EMD、EEMD、CEEMDAN和CEEMD閾值濾波方法進(jìn)行去噪處理。其中EMD、EEMD、CEEMDAN使用的是強(qiáng)制去噪處理，即使用相關(guān)系數(shù)法在判斷出噪聲層數(shù)后，直接舍去噪聲分量進(jìn)行重構(gòu)以獲得去噪后信號(hào)；小波分析法使用的是軟閾值處理方式，設(shè)置的小波基函數(shù)和分解級(jí)數(shù)分別為sym 3和7；CEEMD閾值濾波方法采用文獻(xiàn)[11]所示方法，其中隨機(jī)噪聲參數(shù)H設(shè)置為0.7。去噪后的評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比如表2所示。

從表2中可以看出，本文所提出的CEEMDAN改進(jìn)閾值濾波方法在去噪后其信噪比明顯最大，同時(shí)其均方根誤差明顯最小，表明該去噪方法最優(yōu)；而在強(qiáng)制去噪方法中，CEEMDAN方法也要優(yōu)于EEMD和EMD方法，表明了其具有更好的信噪分離效果；CEEMD閾值濾波方法的去噪效果也要明顯劣于本文方法；而在本文的小波參數(shù)設(shè)置下，小波分析法去噪效果最差。本文方法相對(duì)于其余五種去噪方法，其信噪比普遍提高了至少約3.9 dB，均方根誤差普遍降低了至少約36%。

表2 各種方法的去噪評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比Tab.2 Comparison of de-noising evaluation indexes of various methods

為了對(duì)比軟、硬閾值函數(shù)與本文所提改進(jìn)閾值函數(shù)去噪的性能，本文還給出了CEEMDAN分解后，使用三種閾值函數(shù)進(jìn)行去噪的指標(biāo)，如表3所示。

表3 三種閾值函數(shù)的去噪評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比Tab.3 Comparison of de-noising evaluation indexes of three threshold functions

從表3可以看出，采用本文所提出的改進(jìn)閾值濾波去噪的效果要明顯優(yōu)于軟閾值和硬閾值的去噪效果，其信噪比分別提升了4.1335 dB、3.1347 dB，均方根誤差分別降低了37.9%、30.3%；對(duì)比軟、硬閾值的去噪效果，硬閾值稍優(yōu)。采用CEEMDAN結(jié)合軟、硬、改進(jìn)閾值去噪的結(jié)果如圖6～8所示。

圖6 CEEMDAN軟閾值去噪結(jié)果Fig.6 CEEMDAN soft threshold de-noising result

圖7 CEEMDAN硬閾值去噪結(jié)果Fig.7 CEEMDAN hard threshold de-noising result

圖8 CEEMDAN改進(jìn)閾值去噪結(jié)果Fig.8 CEEMDAN improved threshold de-noising result

對(duì)比圖6、圖7、圖8可以看出，本文所提方法的去噪圖形在硬閾值和軟閾值去噪圖形間得到了明顯的折衷。另外由于改進(jìn)閾值函數(shù)中考慮了微小有效成分的貢獻(xiàn)，使得所提方法的去噪性能得到顯著改善，充分表明了本文所提方法的有效性。

4 結(jié) 論

本文在考慮到 CEEMDAN方法能夠?qū)π盘?hào)進(jìn)行有效完備分解的基礎(chǔ)上，提出了一種基于改進(jìn)閾值函數(shù)的 CEEMDAN濾波去噪模型。該模型通過(guò)借鑒EMD閾值設(shè)置方法，對(duì)CEEMDAN分解后的含噪IMF分量使用改進(jìn)閾值函數(shù)進(jìn)行濾波處理，并進(jìn)而對(duì)處理后的含噪分量與有效分量進(jìn)行重構(gòu)以得到去噪后的信號(hào)。通過(guò)對(duì)實(shí)際MEMS陀螺輸出信號(hào)進(jìn)行詳細(xì)的去噪分析，結(jié)果表明本文所提模型在去噪性能上要明顯優(yōu)于CEEMDAN、EEMD、EMD強(qiáng)制去噪方法、CEEMD閾值濾波方法和小波分析方法。另外使用改進(jìn)閾值函數(shù)后的去噪性能要顯著優(yōu)于軟、硬閾值函數(shù)處理后的去噪性能。這也充分驗(yàn)證了本文所提模型應(yīng)用于MEMS陀螺信號(hào)去噪中具有的可行性和優(yōu)越性。