本刊有獎(jiǎng)解題擂臺(tái)(115)(趙忠華提供)如下：

題在△ABC中，a、b、c、ta、tb、tc分別表示三角形邊長(zhǎng)和內(nèi)角平分線長(zhǎng)、R、r表示三角形外接圓與內(nèi)切圓半徑，則有

上述不等式是成立的，本文給出證明.

先給出一個(gè)引理.

引理設(shè)x、y、z>0，求證:

證明由權(quán)方和不等式：

欲證原不等式只需證：

即54(∑x2+∑xy)(∑x2+∑xy) (2∑xy)≤16(∑x)6.

對(duì)左邊使用均值不等式得：

左邊≤

擂題的證明

在△ABC中a、b、c、ta、tb、tc分別表示三角形邊長(zhǎng)和內(nèi)角平分線長(zhǎng)，R,r表示外接圓和內(nèi)切圓半徑，求證:

證明記a=x+y,b=y+z,c=z+x,(x、y、z>0)

只需證：

3∑x5(z3+y3)-3∑x5(y2z+z2y)+6∑x4y4-∑x4(y3z+z3y)-6∑x4y2z2+2∑x3y3z2≥0，

3∑x5(z3+y3)-3∑x5(y2z+z2y)=3∑x5(y+z)(y-z)2≥0，

2∑x4y4-∑x4(y3z+z3y)=∑x4(y2+z2+yz)(y-z)2≥0,

∑x4y4-∑x4y2z2=∑x4(y2-z2)2≥0,只需證：

2∑x4y4-4∑x4y2z2+2∑x3y3z2≥0，

變量替換xy->u,yz->v,zx->w,即：

2∑u4-4∑u2v2+2∑u2vw≥0.

上式左邊=2∑u(∑u3+3uvw-∑(u2v+v2u))=2∑u∑u(u-v)(u-w)≥0,(舒爾不等式)證畢.

評(píng)注(評(píng)注人：郭要紅，評(píng)注時(shí)間2018年11月30日)擂題(115)收到正確解答2份，按時(shí)間順序，作者分別是萬惠華(2018年3月28日)，楊志明(廣東廣雅中學(xué)，510160,2018年11月24日). 兩份正確解答都含有大量的、復(fù)雜的計(jì)算，體現(xiàn)了作者寬闊的知識(shí)面，優(yōu)秀的數(shù)學(xué)基本功. 現(xiàn)選擇萬惠華老師的來稿作為擂題(115)的解答，萬老師也是本擂題的獲獎(jiǎng)?wù)?