基于高師數(shù)學專業(yè)學生能力培養(yǎng)的微積分思想方法應用探析

黎海英

[摘 要]高師數(shù)學專業(yè)的學生，除了要具備扎實的學科基礎知識外，數(shù)學思想方法的培養(yǎng)尤為重要.隨著新課程標準的逐步實踐，在高考中，運用微積分思想方法解題的比重越來越大.這就意味著，微積分思想方法在數(shù)學方法論中的重要地位.求函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，以及曲線的切線問題和求證不等式等，用微積分思想方法會使問題化繁為簡，迎刃而解.因此，強化高師數(shù)學專業(yè)學生微積分思想方法的培養(yǎng)，對未來教育教學改革的發(fā)展有著重要的意義.

[關鍵詞]高師學生；數(shù)學方法論；微積分方法及應用

[中圖分類號] G64 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2018）12-0070-03

百年大計，教育為本，而教育的核心要素是教師.有怎樣的教師就會有怎樣的教育.師范學校是培養(yǎng)人民教師的搖籃，抓好高校師范學生學科專業(yè)能力的培養(yǎng)，是教育可持續(xù)發(fā)展的基礎.高師數(shù)學專業(yè)的學生，除了要有扎實的學科基礎知識外，數(shù)學思想方法的培養(yǎng)尤為重要.17世紀下半葉，微積分的發(fā)現(xiàn)與發(fā)展被譽為“近代技術(shù)文明產(chǎn)生的關鍵事件之一，因為數(shù)學思想方法引入了若干極其成功的且對以后許多數(shù)學的發(fā)展起決定性作用的思想”.恩格斯曾說：“在一切理論成就中，未必再有像17世紀下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作是人類精神的最高勝利了.如果在某個地方我們看到人類精神的純粹和唯一的功績，那就是在這里.”微積分的創(chuàng)立，無論對數(shù)學還是對其他科學和技術(shù)的發(fā)展都產(chǎn)生了巨大而深遠的影響.

一、微積分思想及其應用的深刻意義

微積分的創(chuàng)立，極大地推動了數(shù)學的發(fā)展，豐富了數(shù)學科學的思想寶庫.隨著微積分的創(chuàng)立及其理論基礎的日漸完善，以微積分為基礎的數(shù)學分析科學獲得空前的發(fā)展，建立了許多數(shù)學分支，如微積分方程、積分方程、復變函數(shù)、實變函數(shù)、泛函分析、微分幾何、拓撲學、變分法等.同時，由于微積分在力學、天文學、物理學和其他科學技術(shù)中獲得極其廣泛的應用，因此也極大地促進了這些科學和技術(shù)的發(fā)展.

極限理論是微積分的理論基礎，函數(shù)、導數(shù)、微分、積分則是微積分的基本概念、基本思想和基本方法.因此，微積分的思想方法包含著極限、導數(shù)和積分的思想方法.用這些思想方法來分析和解決數(shù)學問題和實際問題，就是把問題歸結(jié)為求某個變量的極限、某個函數(shù)在某個定點的導數(shù)或某個函數(shù)在某一確定區(qū)間上的定積分.

微積分進入我國中學課堂是新課程改革的進步.2017年12月15日教育部考試中心下發(fā)的《2018年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱》，就在數(shù)學學科（理科數(shù)學、文科數(shù)學）的考中指出，+函數(shù)與導數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、極值、最值、導數(shù)不等式、導數(shù)與不等式的結(jié)合等均是核心考點.同時我們會發(fā)現(xiàn)，隨著新課程標準的逐步實踐，在高考中，運用微積分思想方法解題的比重越來越大.這就表明了，微積分思想方法在數(shù)學方法論中的重要地位.強化高師數(shù)學專業(yè)學生微積分思想方法的培養(yǎng)，目的就是培養(yǎng)適應未來教育教學改革發(fā)展需要的人才.下面從六個方面探析微積分思想在解題中的應用.

二、數(shù)學方法論——微積分思想方法的應用

（一）關于求函數(shù)的單調(diào)性問題.

研究函數(shù)f （x）在某區(qū)間的單調(diào)性問題，可根據(jù)導數(shù)有關的性質(zhì)，通過分析導函數(shù)f′（x）>0（或f′（x）≥0）、 f′（x） <0（或f （x）≤0）來獲證.

例1 已知函數(shù)f（x）=x3-3ax2+3bx的圖象與直線12x+y-1=0相切于點（1，-11）.

（1）求實數(shù)a、b的值；

（2）研究并確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

分析 （1）由方程思想可知，欲求a、b的值，只需根據(jù)已知條件列出關于a、b的方程組即可.

∵ f （x）=x3-3ax2+3bx，

∴ f′（x）=3x2-6ax+3b.

∵ 函數(shù)f （x）的圖象與直線12x+y-1=0相切于點（1，-11），

∴ f （1）=-11，f′（1）=-12，即[1-3a+3b=-11，3-6a+3b=-12，]

解之，得a=1，b=-3.

（2）由（1）得 f′（x）=3x2-6x-9.

解方程f′（x）=0，得x1=-1，x2=3.

∵ 當x<-1或x>3時，f′（x）=3（x+1）（x-3）>0，

∴ 當x<-1或x>3時，f （x）是增函數(shù).

∵ 當-1

∴ 當-1

∴ 當x∈（-∞，-1）∪（3，+∞）時，函數(shù)f （x）是增函數(shù)；當x[∈]（-1，3）時，f（x）是減函數(shù).

（二）關于求函數(shù)的極值問題.

求函數(shù)f（x）的極值問題，其實就是研究函數(shù)f′（x）在某一區(qū)間的單調(diào)性，在區(qū)間的單調(diào)拐點即極值點上，利用導數(shù)f′（x）=0的性質(zhì)使問題獲解.

例2 設函數(shù)f （x）=x3+bx2+cx（x∈R），g（x）=f （x）-f′（x）是奇函數(shù).

（1）求實數(shù)b、c的值；

（2）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間和極值.

分析 （1）由方程思想可知，欲求b、c的值，只需根據(jù)已知條件列出并求解關于b、c的方程（組）即可.

∵ f （x）=x3+bx2+cx，

∴ f′（x）=3x2+2bx+c.

∴ g（x）=f （x）-f′（x）

=x3+bx2+cx-（3x2+2bx+c）

=x3+（b-3）x2+（c-2b）x-c.

∵ g（x）是奇函數(shù)，

∴ b-3=0，c=0. ∴ b=3，c=0.

（2）由（1）可知g（x）=x3-6x，

∴ g′（x）=3x2-6.

解方程g′（x）=0，得x1=-[2]，x2=[2].

∵ 當x∈（-∞，-[2]）∪（[2]，+∞）時，

g′（x）=3（x2-2）>0，

∴ （-∞，-[2]）和（[2]，+∞）是函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間.

∵ 當x∈（-[2]，[2]）時，g′（x）=3（x2-2）<0，

∴ （-[2]，[2]）是函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間.

∴ g（-[2]）=4[2]是函數(shù)g（x）的極大值，g（[2]）=-4[2]是函數(shù)g（x）的極小值.

（三）關于求函數(shù)的最大值和最小值問題.

求函數(shù)在某個區(qū)間的最值問題，其實與求函數(shù)的極值的思路相似.利用函數(shù)在某個點取得極值的性質(zhì)f′（x）=0和函數(shù)在某個區(qū)間的單調(diào)性，即通過論證導函數(shù)f′（x）>0（或f′（x）≥0）、f′（x）<0（或f′（x）≤0），再結(jié)合f′（x）=0來獲證.

例3 設函數(shù)f （x）=x3+3ax2-9x+3a，其中a為實數(shù).

（1） 若x=1是函數(shù)f （x）的一個極值點，求函數(shù)f （x）在【-3，3】上的最大值和最小值；

（2）若f （x）在（-∞，-3】和【3，+∞）上都是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

分析 （1）欲求f （x）在【-3，3】上的最大值和最小值，必須先求出函數(shù)的解析式，為此，只需求出a的值即可.由方程思想可知，欲求a的值，只需根據(jù)已知條件列出并解出關于a的方程即可.

∵ f （x）=x3+3ax2-9x+3a，

∴ f′（x）=3x2+6ax-9.

∵ x=1是f （x）的一個極值點，

∴ f′（1）=0，即

3+6a-9=0.解之，得a=1.

∴ f （x）=x3+3x2-9x+3，

∴ f′（x）=3x2+6x-9.

解方程f′（x）=0，即3（x2+2x-3）=0，得

x1=-3，x2=1.

∵ 在區(qū)間（1，3）上，f′（x）>0，

在區(qū)間（-3，1）上，f′（x）<0，

∴ x=1是f （x）在（-3，3）上的唯一極值點.

∵ f （-3）=f （3）=30，f （1）=-2，

∴ 函數(shù)f （x）在【-3，3】上的最大值是30，最小值是-2.

（2）∵ f （x）=x3+3ax2-9x+3a，

∴ f′（x）=3x2+6ax-9.

∵ f （x）在（-∞，-3】和【3，+∞）上都是單調(diào)增函數(shù)，

∴ f′（-3）≥0且f′（3）≥0，即

[27-18a-9≥0，27+18a-9≥0.]

解之，得-1≤a≤1.

∴ 實數(shù)a的取值范圍是【-1，1】.

（四）關于求曲線的切線方程和解決與切線有關的問題

求曲線的切線方程或解決與切線有關的問題，一般是根據(jù)已知條件，利用過曲線切點時導函數(shù)f′（x）=0性質(zhì)，列出并解關于切線未知系數(shù)的方程或方程組即可獲解.

例4 已知[x=±1]是函數(shù)f （x）=ax3+bx2+cx的極值點，且f （1）=-1，求經(jīng)過點P（1，-1）的曲線y=f （x）的切線方程.

分析 欲求經(jīng)過點P（1，-1）的曲線y=f （x）的切線方程，必須先求出函數(shù)f （x）的解析式，為此，只需求出a、b、c的值即可.由方程思想可知，欲求a、b、c的值，只需根據(jù)已知條件列出并解關于a、b、c的方程組就行了.

∵ f （x）=ax3+bx2+cx，

∴ f′（x）=3ax2+2bx+c.

∵ [x=±1]是函數(shù)f （x）的極值點，

∴ f′（1）=0，f′（-1）=0，

即3a+2b+c=0， ①

3a-2b+c=0， ②

∵ f （1）=-1，

∴ a+b+c=-1 ③

聯(lián)立解①、②、③，得[a=12，b=0，c=- 32] ，

∴ [f（x）=12x3-32x，]

∴ f[ ′（x）=32x2-32].

設經(jīng)過點P（1，-1）的直線與曲線[f（x）=12x3-32x]相切于點Q（x0，f （x0）），則切線的方程為

y-f （x0）=f′（x0） · （x-x0），

y- [12x30-32x0] = [32x20-32]（x-x0）.

∵ 切線經(jīng)過點P（1，-1），

∴ -1- [12x30-32x0] = [32x20-32]（1-x0）.

化簡、整理，得[2x30]-[3x20]+1=0.

解關于x0的上述方程，得x0=1或x0= - [12].

將x0的兩個值分別代入上述切線方程，得

y=-1或9x+8y+10=0.

∴ 所求切線方程為

y+1=0或9x+8y+10=0.

（五）關于求解不等式問題.

利用函數(shù)思想和導數(shù)思想解決不等式問題，其實就是先用函數(shù)思想分析不等式，把不等式的證明問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性或函數(shù)值域的確定問題，然后用導數(shù)思想解決函數(shù)的單調(diào)性或函數(shù)值域的確定問題.

例5 求證：當x>-1時，ln（x+1）[≤x].

分析 欲證原不等式成立，只需證ln（x+1）-x [≤0]即可.

用函數(shù)思想考察和分析問題，欲證上述不等式成立，只需證函數(shù)f （x）=ln（x+1）-x的最大值是0就可以了.

設f （x）=ln（x+1）-x，則

f′（x）=[ 1x+1] -1=- [xx+1].

令f′（x）=0，解之，得x=0.

∴ x=0是函數(shù)f （x）=ln（x+1）-x的極值點，

∵ 當-10，

∴ 函數(shù)f （x）在（-1，0）上單調(diào)遞增.

∵ 當0

∴ 函數(shù)f （x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減.

∴ x=0是函數(shù)f （x）的唯一的極值點，又是極大值點.

∴ x=0是函數(shù)f （x）的最大值點.

∵ f （0）=0，

∴ 函數(shù)f （x）在（-1，+∞）上的最大值是0.

∴ ln（x+1）-x ≤0.

∴ 當x>-1時，ln（x+1）≤ x.

（六）關于求解實際工作和生活中的最值問題.

求解實際工作和生活中的最值問題，實際上就是用導數(shù)思想研究實際問題中的最大值或最小值問題.解決此類問題，主要分為兩大步，一是建立有關變量之間的函數(shù)關系式，這是模型建立問題；二是用導數(shù)思想研究所建立的函數(shù)的單調(diào)性和極值點，從而確定函數(shù)的最大值或最小值.

例6 某公司決定采取增加廣告投入和技術(shù)改造投入兩項措施來獲得更大的收益.通過市場調(diào)查和市場預測，當對兩項投入都不超過3百萬元時，每投入x百萬元廣告費，所增加的銷售額可近似地用函數(shù)f （x）=-2x2+14x 來計算；每投入x百萬元技術(shù)改造費用，所增加的銷售額可近似地用函數(shù)g（x）= - [13] x3 +2x2 +5x 來計算.

現(xiàn)該公司計劃共投入3百萬元用于廣告投入和技術(shù)改造投入，請你為該公司設計一種資金分配方案，使該公司能獲得最大的收益.（注：收益=銷售額-投入）

分析 求解這類問題，關鍵是建立收益與投入之間的函數(shù)關系式，然后用導數(shù)思想確定函數(shù)的最大值或最小值（用料最省、消耗最少則是求最小值）.

設技術(shù)改造投入x百萬元，則廣告投入為（3-x）百萬元.技術(shù)改造投入所增加的收益為f （x）=（-[13]x3+2x2+5x）-x，廣告投入所增加的收益為g（x）=[-2（3-x）2+14（3-x）]-（3-x），所以，總投入所帶來的總增加的收益為

F（x）=f （x）+g（x）=-[13]x3+2x2+5x-2（3-x）2+14（3-x）-3.

因為采取措施前的投入和收益都是常量，采取措施后的投入也是常量，所以該公司收益最大量就是投入3百萬元后總增加的收益最大的時候.

化簡、整理，得

F（x）=-[13]x3+3x+21.

∴ F′（x）=-x2+3.

令 F′（x）=0，解之，得x=[3]或x=-[3]（舍去）.

當0 ≤x<[3]時，F(xiàn)′（x）>0；當[3]

∴ 函數(shù)F（x）在【0，[3]）上單調(diào)增，在（[3]，3】上單調(diào)減.

∴ x=[3]是函數(shù)F（x）在【0，3】上唯一的極大值點.

∴ x=[3]是函數(shù)F（x）的最大值點.

∴ 當 x=[3]≈1.732時，F(xiàn)（x）取得最大值.

所以，該公司的資金投入方案應為：技術(shù)改造投入1.73百萬元，廣告投入1.27百萬元.這樣，該公司便可獲得最大的收益.

三、結(jié)語

數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂，是形成學生良好認知結(jié)構(gòu)的紐帶，是由知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.基礎數(shù)學引入微積分的導數(shù)內(nèi)容，不僅使數(shù)學內(nèi)容增添了更多的變量內(nèi)容，拓展了學習和研究的領域，更為重要的是在中學數(shù)學中引入了更為先進、更高層次的數(shù)學思想——微積分思想，這極大地拓展了思維的空間，使許多用初等方法無法解決的問題，用微積分的思想來分析和研究時便能迎刃而解.加強師范生數(shù)學思想方法——微積分思想方法的培養(yǎng)，是未來數(shù)學教育教學的需要，也是科學技術(shù)發(fā)展和人才培養(yǎng)的需要.數(shù)學和科學技術(shù)發(fā)展到今天，數(shù)學已經(jīng)成為一切科學技術(shù)的工具.正如馬克思所預言：“任何科學只有在成功地應用數(shù)學來描述自己的一切結(jié)論時，才算真正達到了完善的地步.”因此，學習和研究數(shù)學方法，對于現(xiàn)代技術(shù)的發(fā)展、完善、普及和應用都有極其重要的促進作用.

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 陳勇.從歷史視角看高等教育的本質(zhì)[J].大學教育，2018（9）：40-42.

[2] 教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017版）[J].北京：人民教育出版社出版，2017.

[3] 教育部考試中心，2018年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱[Z].2017.

[責任編輯：金 鈴]