崔永紅

圓錐曲線特別是橢圓，是一個重要的數(shù)學(xué)模型，它有很多非常好的幾何性質(zhì)，在日常生活、社會生產(chǎn)及科學(xué)技術(shù)中都有著重要而廣泛的應(yīng)用，教材以“展示橢圓背景--構(gòu)建橢圓概念--建立橢圓方程--研究橢圓性質(zhì)”為主線，以“如何建立橢圓的方程及怎樣用橢圓的方程研究橢圓的性質(zhì)”為重點(diǎn)，這樣處理，讓學(xué)生經(jīng)歷從感性到理性的學(xué)習(xí)過程，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，符合用解析法研究幾何問題的基本思想，體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的有機(jī)結(jié)合，是數(shù)形結(jié)合思想方法的具體體現(xiàn)，在此過程中逐步學(xué)會研究曲線性質(zhì)的一般方法[1].

為讓學(xué)生經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的定義與性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)化能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，我們在橢圓的教學(xué)設(shè)計(jì)中進(jìn)行了一些創(chuàng)新設(shè)計(jì)，按“操作演示一觀察動點(diǎn)條件一歸納橢圓概念一觀察圖形特征（性質(zhì)）一建立橢圓方程一用方程證明或探索橢圓性質(zhì)”進(jìn)行教學(xué)，取得了較好的效果.

1 創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)習(xí)積極性

首先通過一個例子引入橢圓：1997年初，中國科學(xué)院紫金山天文臺發(fā)布了一條消息，從1997年2月中旬起，海爾·波普彗星將逐漸接近地球，如圖1，過4個月以后，又將漸漸離去，并預(yù)測3000年后，它還將光臨地球上空.1997年2月至3月間，許多人目睹了這一天文現(xiàn)象，天文學(xué)家是如何計(jì)算出彗星出現(xiàn)的準(zhǔn)確時間呢？原來，海爾·波普彗星運(yùn)行的軌道是一個橢圓，觀察它運(yùn)行中的有關(guān)數(shù)據(jù)，推算出它的運(yùn)行軌道的方程，從而算出它的運(yùn)行周期及軌道的周長，通過橢圓在天文學(xué)和實(shí)際生產(chǎn)生活實(shí)踐中的廣泛應(yīng)用，讓學(xué)生體會研究橢圓的重要性和必要性，體會數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)性，從而激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.

2 動手操作，突出橢圓的生成過程

橢圓的定義是一種發(fā)生性定義，可以通過描述橢圓形成過程進(jìn)行定義，橢圓形成過程是橢圓本質(zhì)屬性的揭示和橢圓方程建立的基石，定義的教學(xué)是重中之重，因此在引入橢圓之后，教師演示橢圓的形成過程或讓學(xué)生觀看橢圓的作法微視頻：將一根細(xì)繩的兩端固定在畫板F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)處，當(dāng)繩長大于兩點(diǎn)間的距離時，用鉛筆尖（粉筆）把細(xì)繩拉緊，使筆尖在畫板上慢慢移動，就畫出了一個橢圓，如圖2.為讓學(xué)生體會作圖過程，觀察橢圓的本質(zhì)特征，再讓學(xué)生在事先準(zhǔn)備好的畫板上分組動手作橢圓，老師或指導(dǎo)或幫助，并適時提出問題1，引導(dǎo)學(xué)生觀察、討論、歸納.

問題1 筆尖在運(yùn)動過程中，有哪些是不變的？

生1：不論運(yùn)動到何處，繩長不變（即軌跡上點(diǎn)與兩個定點(diǎn)距離之和不變），兩個定點(diǎn)不變.

在此基礎(chǔ)上，歸納出橢圓的定義，通過學(xué)生動手作橢圓，觀察橢圓的形成特征，讓學(xué)生經(jīng)歷探索、發(fā)現(xiàn)、歸納橢圓概念的形成過程是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的最好方式，

為進(jìn)一步掌握橢圓的本質(zhì)特征，在潛移默化中培養(yǎng)了學(xué)生思維的嚴(yán)密性，又設(shè)計(jì)了問題2，讓學(xué)生思考交流：

問題2 已知△ABC的一邊BC=6，周長為16，則頂點(diǎn)A在怎樣的曲線上運(yùn)動呢？

絕大多數(shù)學(xué)生通過思考，能夠得出頂點(diǎn)的軌跡是橢圓，但不少同學(xué)忽視了三角形這個條件，通過教師引導(dǎo)，學(xué)生個別交流，發(fā)現(xiàn)了問題，得出了正確結(jié)論.

3 觀察分析，構(gòu)建橢圓性質(zhì)

在以往的教學(xué)中，橢圓的性質(zhì)是在建立了橢圓方程之后，用解析法進(jìn)行研究，符合用解析法研究幾何問題的基本思想，但橢圓的作圖（形成）過程這一很好的操作沒有得到進(jìn)一步使用，實(shí)際上我們在掌握了橢圓的概念之后，可以通過作圖過程，趁熱打鐵，引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘橢圓特征，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題能力[2].

3.1 直觀想象橢圓的對稱性

問題3 觀察橢圓的作圖過程，你能得出橢圓有哪些特征呢？

生2：橢圓關(guān)于直線F1F2對稱，只要將細(xì)繩沿F1F2旋轉(zhuǎn)180°，點(diǎn)P與點(diǎn)P1重合了，也就是橢圓上任一點(diǎn)P關(guān)于直線F1F2對稱點(diǎn)都在橢圓上，

師：設(shè)直線F1F2與橢圓的交點(diǎn)為A1，A2，這樣橢圓關(guān)于線段A1A2對稱，如圖3.

師：還有怎樣的對稱性？

生3：關(guān)于線段F1F2的垂直平分線對稱，如圖4、5.

師：線段F1F2的垂直平分線與橢圓的交點(diǎn)為B1，B2，線段A1A2與B1B2的交點(diǎn)為0，橢圓關(guān)于線段B1B2對稱，為什么？

生4：只要將細(xì)繩的兩個端點(diǎn)對調(diào)，點(diǎn)P與P1重合.

生5：還可以用平面幾何證明P與P1關(guān)于線段B1B2對稱.（證明略）

生6：橢圓也關(guān)于0點(diǎn)成中心對稱，如圖6.

師：很好！為什么？

生6：因?yàn)镻與P1關(guān)于線段B1B2對稱，P與P1關(guān)于線段A1A2對稱，所以P與P2關(guān)于點(diǎn)0對稱，

師：為便于表示，我們把點(diǎn)O稱為橢圓的中心，線段A1A2稱為橢圓的長軸，線段B1B2稱為橢圓的短軸，橢圓與它的對稱軸的交點(diǎn)A1，A2， B1，B2稱為橢圓的頂點(diǎn).

3.2 分析推理橢圓中a，b，c的幾何意義

師：在橢圓中，有哪些線段的長是a呢？

生7：當(dāng)動點(diǎn)P移動到B2時，|B1F1|和|B1F2|相等，即|B1F1|=|B1F2|=a，如圖7.

師：再觀察橢圓，還有哪些線段的長等于a呢？師生、生生思考交流，得到如下的推理過程：

∵A1F1+A1F2= 2a，

∴2A1F1+F1F2= 2a.

∵A2F1+A2F2= 2a，

∴2A2F2+F1F2= 2a，

∴2A1F1=A2F2，

∴A1F1+F1F2+A2F2= 2a，

即A1A2= 2a.

師：這樣長軸長l A1A2 |=2a，那么短軸長是多少？

生8：∵B2F2 =a，OF2 =c，

∴B2O√（B2F22-OF22）√（a2-c2），

∴|B1B2|=2√（a2-c2）.

師：很好！為方便起見，我們把短軸長|B1B2|記為2b.把a(bǔ)叫做長半軸長，b叫做短半軸長，這樣b2= a2-C2.

在傳統(tǒng)的教學(xué)設(shè)計(jì)中，建立橢圓方程時，不少學(xué)生不理解為什么要以焦點(diǎn)所在的直線為x軸，F(xiàn)1F2的垂直平分線為y軸，教師也說不清楚，有時教師不說，學(xué)生也不問，老師怎么講，學(xué)生就怎么做，現(xiàn)在討論了橢圓的對稱性之后，也就順理成章地理解了在建立橢圓方程時直角坐標(biāo)系的選擇緣由了，同時也自然地弄清了為什么教材在推導(dǎo)橢圓方程時令b2=a2-C2，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下了伏筆，

引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考作圖過程，再通過邏輯推理得出橢圓的對稱性，培養(yǎng)了學(xué)生觀察、分析問題的能力，讓學(xué)生體會到定義長軸、短軸、頂點(diǎn)的必要性，感受到科學(xué)研究的過程，在潛移默化中培養(yǎng)了學(xué)生的科學(xué)研究的方法，通過作圖過程的分析，還可以真正弄清橢圓中a，b，c的幾何意義，

在常規(guī)教學(xué)時，用橢圓方程推導(dǎo)出橢圓的幾何性質(zhì)，符合解析幾何的基本思想與方法，這樣教學(xué)簡潔明了，一學(xué)就會，但學(xué)生對a，b，c的幾何意義理解不透徹，也失去了培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的好機(jī)會[3].

3.3 抽象概括橢圓的離心率

前面將細(xì)繩的兩端點(diǎn)固定在焦點(diǎn)處，用鉛筆尖拉緊繩子，在平面上畫出一個橢圓，現(xiàn)在我們調(diào)整繩子的長度（分別加長、縮短），焦點(diǎn)不變，觀察橢圓的“扁”的程度變化規(guī)律，可以看出，繩子越長，橢圓越圓，如圖8，其中P1F1+P1F2= 7.72厘米，PF1+ PF2= 4.77厘米，

細(xì)繩的長度不變時，將焦距分別增大和縮小，觀察橢圓的“扁”的程度的變化規(guī)律，焦距增大時，則所畫出的橢圓較扁，焦距縮小時，則所畫出的橢圓較圓，如圖9，其中MFl =1.80厘米，MF2= 6.56厘米，Mr+MF2= 8.36厘米，

用什么樣的量來刻畫橢圓“扁”的程度呢？由剛才的演示可見，橢圓的形狀與兩定點(diǎn)間距離、繩長有關(guān)，即與a，c有關(guān)，從上面的探索過程可以發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)c/a越接近于0時，橢圓越接近于圓;當(dāng)c/a越接近于1時，橢圓越扁，即隨著c/a增大，橢圓越來越扁，因此可用c/a來刻畫橢圓“扁”的程度，從而順利地得出離心率的概念，

圍繞以什么樣的量來刻畫橢圓的扁的程度來進(jìn)行探究，讓學(xué)生充分參與，在獲得真實(shí)的感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上來定義離心率，將枯燥的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的問題情境，在主動參與中學(xué)習(xí)知識，既學(xué)得輕松，又學(xué)得有趣，讓學(xué)生再一次感受數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)實(shí)性.

在定義離心率時也有學(xué)生提出為什么不用b/a來刻畫橢圓的扁的程度呢？從直觀上，學(xué)生確實(shí)更容易想到用b/a來刻畫橢圓的“扁”，但為什么選用c/a，這是因?yàn)閍，c是定義中出現(xiàn)的確定橢圓的原始量，

改變教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在輕松愉快的氛圍中一邊操作，一邊觀察，一邊思考，不知不覺中學(xué)會了橢圓的概念，發(fā)現(xiàn)了橢圓的性質(zhì)，一改學(xué)生對數(shù)學(xué)枯燥的看法，一改以往課堂氣氛沉悶、學(xué)生精力不集中的現(xiàn)象，學(xué)生不僅感到有趣，學(xué)得輕松，更重要的是培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維，提高了學(xué)生的核心素養(yǎng)[4]，

當(dāng)然，對橢圓的性質(zhì)，在鼓勵學(xué)生根據(jù)圖形特征進(jìn)行直覺猜想時，可充分運(yùn)用信息技術(shù)直觀展示橢圓的對稱性和隨著離心率的連續(xù)變化橢圓演變過程等等，幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，在研究性質(zhì)時，還要以思考、探究等形式創(chuàng)設(shè)問題情境，為學(xué)生提供探索、發(fā)現(xiàn)的機(jī)會，也為學(xué)生學(xué)會和掌握數(shù)學(xué)探索、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法提供了平臺，

在研究了橢圓的概念與部分性質(zhì)的基礎(chǔ)上，我們再研究橢圓的方程，并通過橢圓方程加以證明所學(xué)的性質(zhì)或邏輯探究新的性質(zhì)，讓學(xué)生感受用方程研究性質(zhì)的方法，從不同側(cè)面、不同層次上提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

[1]李麗萍.信息技術(shù)教育在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].中國信息技術(shù)教育，2010 （9）： 25-27

[2]胡廷欣.網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下數(shù)學(xué)教學(xué)資源的獲取、整合與活用[J].數(shù)學(xué)通訊，2013 （06）： 32-35

[3]方均斌.數(shù)學(xué)教學(xué)案例反思及延伸[M].成都：四川大學(xué)出版社，2009

[4]朱恒杰.新課程有效教學(xué)疑難問題操作性解讀[M].北京：教育科學(xué)出版社，2012