李鳳敏

(天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院 天津 300222)

磁場(chǎng)的環(huán)量是描述磁場(chǎng)的一個(gè)重要物理量.對(duì)于靜磁場(chǎng)或者恒定磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的環(huán)量由安培環(huán)路定理給出，其形式是[1,2]

∮B·dl=μ0Ic

(1)

方程左邊環(huán)路積分中的磁感應(yīng)強(qiáng)度來(lái)自于電路中各處電流的貢獻(xiàn).方程右邊的電流是穿過(guò)環(huán)路的傳導(dǎo)電流

(2)

對(duì)于穩(wěn)恒情況，電路或者電流是閉合的，電路中的任意地方傳導(dǎo)電流都是相等的.對(duì)于開放電路，例如一段在空間運(yùn)動(dòng)的帶電直線等，電磁場(chǎng)是隨時(shí)間變化的，磁場(chǎng)的環(huán)量由全電路的安培環(huán)路定理給出

(3)

方程右邊括號(hào)中的第二項(xiàng)是位移電流，是電位移通量的時(shí)間變化率.如果帶電直線段變成無(wú)限長(zhǎng)，那么電場(chǎng)磁場(chǎng)都不隨時(shí)間變化了，教科書中一般會(huì)這樣解釋：此時(shí)位移電流消失，全電路的安培環(huán)路定理式(3)就變成了穩(wěn)恒電路的安培環(huán)路定理式(1).但是，位移電流是怎么慢慢消失的，一般沒(méi)有說(shuō)明詳細(xì)的過(guò)程.為了研究清楚其中的細(xì)節(jié)，有必要從非穩(wěn)恒情況，例如一段運(yùn)動(dòng)的有限長(zhǎng)的帶電直線出發(fā)，考察從式(3)到式(1)的詳細(xì)過(guò)程.

1 從非穩(wěn)態(tài)到穩(wěn)態(tài)

如圖1所示，假設(shè)電流沿z軸從負(fù)的無(wú)限遠(yuǎn)處向正的無(wú)限遠(yuǎn)處流動(dòng)，閉合環(huán)路設(shè)在原點(diǎn)O處.下面分3種情況討論全電路的安培環(huán)路定理：(1)電流到達(dá)P1點(diǎn)；(2)電流到達(dá)P2點(diǎn)；(3)電流到達(dá)無(wú)限遠(yuǎn)處.

圖1 電流沿z軸從負(fù)的無(wú)限遠(yuǎn)處向正的無(wú)限遠(yuǎn)處流動(dòng)

1.1 當(dāng)電流到達(dá)P1點(diǎn)

當(dāng)電流到達(dá)P1點(diǎn)時(shí)，傳導(dǎo)電流沒(méi)有穿過(guò)環(huán)路，因此式(3)為

(4)

如圖2所示,在P1(0，0，z)點(diǎn)處取電荷dq(記dq=Q)，其在圓平面上場(chǎng)點(diǎn)(x,y,0)的場(chǎng)強(qiáng)

(5)

圖2 電流到達(dá)P1點(diǎn)

該場(chǎng)對(duì)以O(shè)為圓心，以R為半徑的閉合回路所圍圓面的電位移通量為

積分得

(6)

(7)

從負(fù)無(wú)窮到P1點(diǎn)的所有運(yùn)動(dòng)電荷對(duì)該環(huán)路的位移電流為

(8)

此時(shí)由全電路安培環(huán)路定理及位移電流可計(jì)算環(huán)路上任意點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，根據(jù)式(4)及式(8)有2πRB=μ0ID，即

(9)

如圖3所示，利用任意一段載流直導(dǎo)線的磁場(chǎng)公式

(10)

圖3 一段載流直導(dǎo)線的磁場(chǎng)

結(jié)果與式(9)完全相同，也就是說(shuō)環(huán)路處的磁場(chǎng)完全由運(yùn)動(dòng)電荷產(chǎn)生，而位移電流對(duì)磁場(chǎng)的貢獻(xiàn)為零，這一結(jié)論與相關(guān)文獻(xiàn)[3～6]的觀點(diǎn)一致.

IQD+Ic=0

(11)

1.2 當(dāng)電流到達(dá)P2點(diǎn)

接下來(lái)分析電流穿過(guò)如圖1所示的回路到達(dá)P2點(diǎn)的情況.當(dāng)電流到達(dá)P2處時(shí)，Q的電場(chǎng)對(duì)圓環(huán)平面的電位移通量

(12)

位移電流為

(13)

由于電流到達(dá)P2處時(shí)有傳導(dǎo)電流穿過(guò)環(huán)路，因此

∮B·dl=μ0Ic+IQD+ILD+IRD

(14)

式中IQD,ILD,IRD分別代表正在通過(guò)回路、回路左邊和回路右邊的電荷對(duì)位移電流的貢獻(xiàn).下面分別對(duì)ILD,IRD進(jìn)行計(jì)算.

回路左邊的電荷對(duì)位移電流的貢獻(xiàn)可由式(7)積分得

(15)

回路右邊的電荷對(duì)位移電流的貢獻(xiàn)由式(13)積分得

(16)

將式(11)、(15)、(16)代入式(14)中得2πRB=μ0ILD+IRD，即

(17)

此結(jié)果與式(17)完全相同，再次看到環(huán)路處的磁場(chǎng)完全由運(yùn)動(dòng)電荷即傳導(dǎo)電流產(chǎn)生，位移電流對(duì)磁場(chǎng)的貢獻(xiàn)為零.

圖4 電流到達(dá)P2處

1.3 當(dāng)電流到達(dá)無(wú)限遠(yuǎn)處

無(wú)限遠(yuǎn)，電流穩(wěn)定后由式(14)、(15)、(16)有

∮B·dl=μ0λv=μ0Ic

(18)

式(18)即為穩(wěn)恒電流的安培環(huán)路定理，其中的傳導(dǎo)電流是電路中各處位移電流之和.由此我們知道安培環(huán)路定理兩邊的來(lái)源也是一致的.

2 結(jié)束語(yǔ)

從一段運(yùn)動(dòng)的帶電直線形成的開放電路出發(fā)，通過(guò)微觀層次上的電荷運(yùn)動(dòng)，討論了從全電路的安培環(huán)路定理到恒定情況下安培環(huán)路定理的詳細(xì)過(guò)程.從全電路的安培環(huán)路定理回到恒定磁場(chǎng)安培環(huán)路定理的關(guān)鍵是，對(duì)于恒定情況，全電路中各處運(yùn)動(dòng)電荷的位移電流之和數(shù)值上正好等于傳導(dǎo)電流.希望這一結(jié)果對(duì)于更好地理解安培環(huán)路定理有所幫助.