有效觀察與聯(lián)想是問題解決的基礎保障

陳萍

數(shù)學學習的終極目標是利用數(shù)學的知識、思想與方法解決問題，正因如此，問題解決能力的高低在某種程度上可以被認為是數(shù)學學習質(zhì)量高低的直接體現(xiàn)，換言之，問題解決能力的培養(yǎng)必須也應該為數(shù)學教學尤其是數(shù)學解題教學所直面，

相關(guān)教學的研究與實踐表明，問題解決能力的提高有兩個本源的外顯特征——解題思路的快速獲取和解題方案的規(guī)范呈現(xiàn)，比較而言，解題思路的快速獲取更為重要，因為，它是解題方案的規(guī)范呈現(xiàn)的前提與基礎.

然而目前的中學數(shù)學解題教學，解題思路的獲取往往被異化為“套型得法”的“由此及彼”式的機械訓練，解題思路的獲取更多地被體現(xiàn)為“理所當然”，“從何而來”則很少甚至不被提及，可以想見，如此的解題教學，學生在面對陌生情境的問題時，因為應變能力的欠缺而無處下手應該不會是個別現(xiàn)象.

基于這樣的理解，筆者依托自身的教學實踐，對中學數(shù)學解題思路的“從何而來”展開了探索，認為，有效的觀察與聯(lián)系是中學數(shù)學解題思路“從何而來”的基本途徑與方式，本文將例說筆者的思考所得.

1 有效的觀察與聯(lián)想源于對“求解目標”的感悟

上述解法有機融合了平面向量的四則運算、數(shù)量積、三角函數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式等相關(guān)知識，有效體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想的應用，與題目所處的壓軸題位置相符合，但上述解法對學生邏輯思維能力的要求極高，教學時如果只關(guān)注到這一解法，則會在相當程度上削弱試題的教學價值.

事實上，在探尋解題思路時，倘若能夠基于求解目標中的“最小值”，并注意到平面向量的坐標運算，進而聯(lián)系處理“最小值”問題的一般性方法——建構(gòu)目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，則易得如下

上述解法有機融合了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和含有絕對值符號不等式的知識，有效體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想的應用，但由于知識的綜合度較高，求解難度不低，教學時如果只涉及這一解法，則本題在“會一題、懂一類”的解題訓練中的價值就被完全忽視了，

事實上，在探尋解題思路時，若能夠注意到本題的情境為“選擇題，且目標不等式f（x）>f（2x-l）對所選中的范圍內(nèi)的所有對象x都成立”，則可以結(jié)合選擇題的特征（四個備選項中有且只有一個是符合題目要求的），以“對一般情形成立的結(jié)論對特殊情形也成立”的等價命題“對特殊情形不成立的結(jié)論對一般情形也不成立”為依據(jù)，通過特值排除的方式創(chuàng)造性的解決問題：

在上述的第二種求解思路中，考生將“特殊與一般思想”遷移到陌生情境中并用于解決問題的能力得到了充分的體現(xiàn)，且為類型題“選擇題，且結(jié)論對某一范圍內(nèi)的所有對象x都成立”的解決提供了一般意義上的解題體驗.

顯然，上述解法對解題者靈活運用知識解決問題的能力有著較高的要求，也正因如此，本題被極為自然地貼上“難題”的標簽，但事實上，如果解題者能夠基于問題的結(jié)構(gòu)而展開聯(lián)想，則本題應該不屬于通常意義上的難題.

作為結(jié)束，應該指出，在解題教學中，解題思路的快速獲取固然重要，但解題方案的規(guī)范呈現(xiàn)同樣重要，兩者不可偏廢，還應該指出，本文言及的解題思路的快速獲取途徑雖只是基于“常用”，但相關(guān)教學實踐已經(jīng)表明，這三種途徑的意義與價值都是顯見的.