張 璇 邵曉峰

（上海交通大學(xué) 安泰經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海 200030）

1 問題背景與文獻(xiàn)綜述

近兩年，以摩拜和ofo為首的共享單車在我國主要大城市逐漸興起，并對人們的日常出行造成了巨大的影響。實際上，共享單車源于1965年荷蘭的“白色自行車計劃”，這被視為市政共享單車的開始。2010—2014年，國內(nèi)外逐漸有一些企業(yè)參與城市共享單車的運營，通過承包機(jī)制來進(jìn)行有樁共享單車的運營。截至2016年，全球有超過1000個共享單車運營機(jī)構(gòu)和300個在建運營商。而在2017年，共享單車迎來爆發(fā)的一年，實際的共享單車運營商遠(yuǎn)大于這個值。由于國外的共享單車一般是有樁單車，與摩拜和ofo等無樁共享單車相比，有樁單車需要一個固定的停車站點，在這個停車站點中有固定的樁位用于停放自行車。人們在使用的時候，需要先到停車站點取用一輛車，然后騎行到自己目的地相近的另一個停車站點。無論是人們在取用還是在停放自行車時，由于停車站點的樁位決定了該站點的車輛最大停放量，所以無論是取用車輛時發(fā)現(xiàn)站點中的車輛已經(jīng)被別人取用完畢，還是停放車輛時發(fā)現(xiàn)沒有樁位可以?？?，樁位的數(shù)量都在顯著影響人們的使用體驗。因此，一部分學(xué)者開始研究停車站點的位置選擇以覆蓋更大的區(qū)域，或者是滿足消費者使用的停車站點的樁位數(shù)量以及庫存數(shù)量等。但更多的學(xué)術(shù)研究針對另一個問題。由于共享單車的需求集中（時間集中于上下班、地點集中于公司-地鐵-住宅），共享單車運營企業(yè)需要用一輛有容量限制的載貨汽車在不同停車站點之間進(jìn)行車輛調(diào)控，使得每個站點的庫存量等于其需求量。由于所有共享單車都停留在車站中，那這樣的一個問題將是一個更加復(fù)雜的旅行商問題（TSP problem：travelling salesman problem）。學(xué)術(shù)界許多研究都在試圖尋找更加優(yōu)化的方法去解決共享單車的跨區(qū)域優(yōu)化問題。J Schuijbroek等給出了在一定服務(wù)水平要求下共享單車系統(tǒng)優(yōu)化模型，并且用MIP等不同的啟發(fā)式算法進(jìn)行了求解，其貢獻(xiàn)主要在于算法。M.Benchimol等將共享單車優(yōu)化問題與交換問題相互借鑒，在調(diào)節(jié)車輛不同容量下給出系統(tǒng)的最優(yōu)化調(diào)節(jié)路徑。Daniel Chemlaa等將之前不必要的約束去除，使得每一個停車站點都可以多次到達(dá)，并且在此期間，即使是需求沒有滿足的站點，調(diào)節(jié)車輛依然可以從中調(diào)用共享單車到其他站點，這使得每個站點都可以起到一個緩沖的作用，學(xué)者將其稱為SVOCPDP問題（a Single Vehicle One-commodity Capacitated Pickup and Delivery Problem）。

由于在此之前，國內(nèi)外的共享單車一般都是有樁單車，有樁單車與摩拜、ofo類的無樁單車有著許多相同和不同點，這也是我們本次研究的出發(fā)點之一。它們的相同點在于，由于消費者使用單車的核心需求相同，基本都是解決“最后一公里”問題，所以有樁單車和無樁單車的需求都相對集中。也就是說，單車使用在時間上集中于人們的上下班時間，在空間上集中于地鐵站等公共交通樞紐。國內(nèi)一家咨詢公司的研究表明，目前共享單車用戶的出行中，有68%是使用共享單車去地鐵站或者公交車站，僅32%是直接前往目的地。這使得我們對于無樁共享單車的研究可以與有樁共享單車一樣，主要分析地鐵站或者公交車站的需求滿足情況。由于某一地鐵站的人員流通量和需求量又遠(yuǎn)大于某一公交車站的需求量，我們本次研究的重點也將集中于分析某一地鐵站的庫存水平，即在每天清晨地鐵站的共享單車車輛數(shù)處于各種水平下，面對已知概率密度分布的需求，共享單車運營企業(yè)的效益可以達(dá)到最高。

無樁單車與有樁單車的不同點，也是本次研究重點關(guān)注的。我們認(rèn)為，無樁單車與有樁單車使用方式上的不同，導(dǎo)致了需求產(chǎn)生方式上的差異。無樁單車不需要固定的停車站點，也就是說人們在使用共享單車時不需要專門走到一個停車站點，而專門走到一個停車站點意味著共享單車用戶是自發(fā)、主動地使用共享單車，而不是被停車站點的車輛（庫存量）誘發(fā)的。由于這種需求是自發(fā)的，并且是先于用戶到達(dá)停車站點之前的，所以它與停車站點的庫存量是無關(guān)的。也就是說，停車站點的庫存量只會影響到需求被實際滿足的情況，但不會影響到需求本身。而無樁單車由于不需要固定的停車站點，它可以比較自由地分布在地鐵站出口周圍，并且誘發(fā)用戶去使用。也就是說，有一部分用戶在走出地鐵站之前，并沒有想到要使用共享單車，但在出站以后，由于看到了周圍?？康墓蚕韱诬?，于是產(chǎn)生了這樣的需求。簡而言之，無樁單車的庫存量影響到用戶需求。艾瑞咨詢的研究表明，共享單車用戶認(rèn)知的主要途徑是通過看到停放／騎行的單車，有許多用戶在調(diào)查中表示，自己常常是因為看到了周圍有共享單車才會使用。

本次基于無樁單車庫存影響需求這一核心特點，利用報童模型的變形進(jìn)行建模。正如上文所述，之前共享單車的研究很少集中在單一區(qū)域的單車投放量，并且沒有學(xué)者利用報童模型去解決這一問題。本文的創(chuàng)新點在于：1）用報童模型解決共享單車單一區(qū)域投放量最優(yōu)化問題；2）提出無樁單車需求產(chǎn)生方式的不同，研究集中在庫存影響需求的這一核心特點。

報童模型作為庫存管理領(lǐng)域一個非常經(jīng)典的模型，報童每購進(jìn)一張報紙的費用為b，售出一份報紙的收益為a，如果報紙剩余，報童可以將剩余的報紙以殘值c賣回給生產(chǎn)廠家，面對已知概率密度分布f（x）的需求，報童可以選擇某一購買量以最大化他的收益G（x）。許多學(xué)者對報童模型進(jìn)行了擴(kuò)展，可

式中，β為置信度，Z是隨機(jī)變量，E是期望，（v-Z）+代表v-Z與0的較大值。

本文接下來將利用基于CVaR準(zhǔn)則的報童模型，以大致分為七類：1）改變或復(fù)雜化參數(shù)a，比如將需求與售價a建立關(guān)系；2）改變參數(shù)b，比如將報童的訂貨量與b建立關(guān)系或者將b作為影響所有價格的自變量；3）復(fù)雜化c，比如在不同退貨政策下有不同的c；4）復(fù)雜化f（x），比如需求分布f（x）未知而只知道需求的部分參數(shù)等，由于報童模型中對需求分布的假設(shè)要求太強(qiáng)，所以弱化對需求的假設(shè)成為報童模型延展的重要分支；5）復(fù)雜化G（x），在這一分支中最重要的就是引入風(fēng)險厭惡（risk-aversive）；6）增加其他變量或約束，比如增加報童的預(yù)算約束；7）引入多時期或者多產(chǎn)品的報童模型。

風(fēng)險厭惡被證明是實際存在的，本文采用的報童模型也是這一方面的延展。由于風(fēng)險厭惡在金融投資中非常重要，所以產(chǎn)生了許多風(fēng)險衡量方法，最重要的有三種：均值方差、風(fēng)險估值（VaR：Value at Risk）和條件風(fēng)險估值（CVaR：Conditional Value at Risk）。Markowitz在1952年提出均值方差，將數(shù)理統(tǒng)計的方法應(yīng)用到投資組合選擇中。其經(jīng)濟(jì)學(xué)意義是，投資者可預(yù)先確定一個期望收益，確定投資者在每個投資項目（如股票）上的投資比例（項目資金分配），使其總投資風(fēng)險最小。但均值方差法對于人們在投資組合中所希望獲得的向上（upside）影響和不希望獲得的向下（downside）結(jié)果的風(fēng)險厭惡程度相同，這與實際不符。風(fēng)險估值VaR在1993年被提出，其含義是在一定概率水平（置信度）下，某一金融資產(chǎn)或證券組合價值在未來特定時期內(nèi)的最大可能損失。用公式表達(dá)為

式中，P代表資產(chǎn)價值損失小于可能損失上限的概率，Vp代表投資組合在Vt時間內(nèi)的損失，Va R代表在給定的置信度β下存在風(fēng)險的價值，即損失的上限。但VaR法也存在一些局限和缺點，比如不具有風(fēng)險一致度，不考慮超過VaR的風(fēng)險等，隨后，Rockafe Uar等在2000年提出了CVaR法，其含義是在投資組合的損失超過給定置信度下的VaR時的平均損失值。用公式表達(dá)為

CVaRβ=E（-X／-X≥VaRβ）

式中，-X代表投資組合的隨機(jī)損失，Va Rβ代表在置信度為1-β時的Va R值。

CVaR還有一個更加方便計算的形：考慮不存在和存在缺貨損失的情況下，對無樁共享單車庫存影響需求的情況進(jìn)行建模求解，得到某一區(qū)域共享單車的最優(yōu)投放量。同時，分析最優(yōu)投放量與各個參數(shù)之間的關(guān)系，并且用數(shù)值分析去驗證。

2 模型建立與求解

2.1 模型假設(shè)與符號

我們研究在某一地鐵站口應(yīng)該投放多少共享單車，可以使得共享單車運營企業(yè)在一定效益下面對的效益風(fēng)險值最低。假設(shè)在這樣的一個報童模型中，用戶使用一輛共享單車（相當(dāng)于報童賣出一份報紙）的收益為a，共享單車企業(yè)投放一輛共享單車的成本為b（相當(dāng)于報童從生產(chǎn)商那里購入一份報紙的成本），用戶沒有使用共享單車，但由于投放共享單車給運營企業(yè)帶來了廣告價值等收益為c（相當(dāng)于報童以殘值賣回剩余的報紙），缺貨懲罰為s。

共享單車的需求D受到共享單車初始投放量Q的影響，D可以分拆為兩個部分，一部分是不受Q影響的部分，即用戶在出地鐵口前就自發(fā)產(chǎn)生的使用共享單車的需求，另一部分是受Q影響的，即用戶在出地鐵口前并沒有考慮使用共享單車，但在行進(jìn)過程中看到有共享單車而被誘發(fā)需求。不受Q影響的需求和有樁共享單車需求相同，用隨機(jī)變量x表示，其概率密度分布函數(shù)為f（x），累計分布函數(shù)為F（x）.受到Q影響的那部分需求用αQβ表示，Qβ可以理解為關(guān)注度，即用戶由于車輛的集中而對單車產(chǎn)生關(guān)注，很明顯1輛單車?？吭诼愤吅?0輛單車停靠在路邊所帶來的關(guān)注度是不同的，α可以理解為這種關(guān)注轉(zhuǎn)換為需求的概率。由于αQβ是誘發(fā)產(chǎn)生的需求，當(dāng)不存在庫存時就不會產(chǎn)生，所以αQβ的值是小于Q的，即αQβ＜Q。模型假設(shè)與符號見表1。

表1 模型假設(shè)與符號

2.2 模型建立與計算

2.2.1 不存在缺貨懲罰

基于報童模型，在沒有缺貨懲罰下，對于共享單車運營商來說，有

結(jié)合式（2），有

我們的目標(biāo)是找到Q*，使得g（Q，v）達(dá)到最大值。

【結(jié)論1】在不存在缺貨損失的情況下，假設(shè)共享單車的需求量部分依賴于初始投放量，且滿足D=αQβ+x，則基于CVaR準(zhǔn)則，共享單車運營商的最優(yōu)投放量Q*滿足

【證明】：

由于存在

所以有

3）在v＞（a-b）Q時，

利用分部積分法，最后可以化簡得到

證明：

在存在缺貨損失s時，有

D＞Q時，M（Q）=（a-b）Q-（D-Q）s=（a-b+s）Q-sD；

D＜Q時，M（Q）=（a-b）D+（c-b）（Q-D）=（a-c）D+（c-b）D

則M（Q）可以表示為（Q-αQβ）［-αβ（β-1）Qβ-2］。很明顯，由于α，βη∈（0，1］，a＞b＞c，F(xiàn)（x）＞0，所以二階導(dǎo)數(shù)小于0，所以得到的極值點Q*是極大值點。

綜上所述，結(jié)論1得證。

2.2.2 存在缺貨懲罰時

【結(jié)論2】在結(jié)論1的基礎(chǔ)上，如果考慮了缺貨懲罰，即s＞0，假設(shè)共享單車的需求量部分依賴于初始投放量，且滿足D=αQβ+x，則基于CVaR準(zhǔn)則，共享單車運營商的最優(yōu)投放量Q*滿足

同樣分三種情況對［a-b］+的格式進(jìn)行化簡，最后可以得到在v=（a-b+s）Q-αsQβ時，g（Q，v）可以取最大值。此時將v=（a-b+s）Q-αsQβ代入式（9），可以得到

進(jìn)而得到

綜上，結(jié)論2得證。

2.3 參數(shù)分析

由于結(jié)論1實際上是結(jié)論2在s=0下的特殊情況，所以我們對模型的分析基于結(jié)論2展開。令

很顯然，最優(yōu)投放量Q*是在H=0時取得的。在2.2部分，我們證明了在Q取得最優(yōu)值Q*時，g（Q，v）關(guān)于Q的二階導(dǎo)數(shù)小于0，即 H（a，b，c，s，Q*）關(guān)于Q的一階倒數(shù)小于0，即H與Q負(fù)相關(guān)。

我們本節(jié)分析a、b、c、s四個參數(shù)對于收益風(fēng)險與Q*的變化關(guān)系。很明顯，我們將 H（a，b，c，s，Q*）對a求一階導(dǎo)數(shù)，得到

即H與a正相關(guān)，由于H與Q負(fù)相關(guān)，在a增大時，H變大，而H=0時，Q=Q*，所以Q*必須增大，則a與Q*正相關(guān)。也就是說，在其他參數(shù)不變的情況下，a的增加會引起收益風(fēng)險性沒有實現(xiàn)最小化，此時需要增加一部分投放量才能更大限度降低收益風(fēng)險。類似分析b、c、s，可以得到b與Q*負(fù)相關(guān)，結(jié)合式（11）可得，在其他變量不變的時候，共享單車運營商單位車輛運營成本的增加，會引起風(fēng)險收益的減少，但在原有投放量下，風(fēng)險收益并沒有達(dá)到最小值，此時需要減少投放量以降低風(fēng)險。類似地可以得到c、s與Q*正相關(guān)，關(guān)于a、b、c、s與Q*的相關(guān)性，我們在接下來的第三節(jié)數(shù)值分析與討論環(huán)節(jié)，會使用具體的數(shù)值進(jìn)行驗證。為減少不必要的計算，我們僅分析s的變化與Q*的關(guān)系。

3 數(shù)值分析與討論

在式（9）的基礎(chǔ)上，我們進(jìn)行數(shù)值分析，主要想考察模型所得的共享單車最優(yōu)投放量與參數(shù)α、β以及s的關(guān)系。由于在模型中有隨機(jī)變量x的累計分布函數(shù)，我們考察模型中的自發(fā)需求（也就是隨機(jī)變量x）滿足均勻分布、負(fù)指數(shù)分布和正態(tài)分布時的情況。在實際的模型運用中，需要考察共享單車對應(yīng)的a、b、c的值，在下面的數(shù)值分析中，我們假設(shè)a=10，b=5，c=1。

在模型中，我們將需求分為自發(fā)需求和誘發(fā)需求兩個部分，其中誘發(fā)需求滿足D1=αQβ，這里對α、β尋求現(xiàn)實的解釋變量。我們將誘發(fā)需求的過程分為兩個步驟，首先是獲得潛在用戶的關(guān)注，然后是將這種關(guān)注轉(zhuǎn)換為實際需求。在獲得關(guān)注的這一過程中，我們結(jié)合共享單車的實際情況，當(dāng)潛在用戶出現(xiàn)時，很明顯路旁的共享單車數(shù)量越多，潛在用戶越有可能關(guān)注到共享單車，同時這種關(guān)注度隨著車輛數(shù)量的增加，其邊際效應(yīng)遞減，這樣的關(guān)注度可以很好地用Qβ來表現(xiàn)。而在關(guān)注轉(zhuǎn)換為實際需求的這一過程中，潛在用戶在關(guān)注到共享單車的存在后，還會考慮其他的一些因素，比如天氣、騎行的舒適度、騎行距離等，所以存在轉(zhuǎn)換率α。綜合以上，我們可以將誘發(fā)需求表示為D1=αQβ。

當(dāng)隨機(jī)變量x滿足均勻分布時，我們假設(shè)其滿足［0，100］區(qū)間上的均勻分布，可得其期望值為50，方差約為833。在隨機(jī)變量x滿足負(fù)指數(shù)分布時，我們假設(shè)其滿足λ=50的負(fù)指數(shù)分布，可得其期望值為50，方差約為2500。在隨機(jī)變量x滿足正態(tài)分布時，我們假設(shè)其滿足［50，100］區(qū)間上的正態(tài)分布，可得其期望值為50，方差約為100。

3.1 Q與α和s的關(guān)系

考察在β=0.4，η=0.95時，以及不同缺貨懲罰s下，最優(yōu)投放量Q與α的關(guān)系，如表2至表4。

表2 均勻分布下最優(yōu)投放量與α和s的關(guān)系

表3 負(fù)指數(shù)分布下最優(yōu)投放量與α和s的關(guān)系

表4 正態(tài)分布下最優(yōu)投放量與α和s的關(guān)系

由表2至表4可以看到，Q與α的取值正相關(guān)。結(jié)合其現(xiàn)實意義，α越大的時候，即將關(guān)注度變?yōu)閷嶋H需求就越大，誘發(fā)效應(yīng)更加明顯，在原有Q的水平下，用于滿足自發(fā)需求x的庫存就越少，此時需要提供更多的庫存，即增加Q。同時，我們也發(fā)現(xiàn)Q的變動值在α∈［0，1］時并不大，比如在s=0時，α從0.1增加到了1，最優(yōu)投放量Q的變化值只變動了6.33，最優(yōu)投放量Q對α的變化并不敏感。此外，在s增大的時候，Q的取值也變大，說明共享單車運營企業(yè)如果考慮缺貨懲罰，企業(yè)需要增加車輛的投放以降低收益風(fēng)險，即缺貨懲罰的增加會增加收益風(fēng)險，并且s在單位增加時，Q的變動量遞減，顯示缺貨懲罰的增加所引起的風(fēng)險值邊際減少。

3.2 Q與β的關(guān)系

考察在α=0.5、η=0.95時，以及不同缺貨懲罰s下，最優(yōu)投放量Q與β的關(guān)系，見表5至表7。

由表5至表7可以看到，Q與β的取值正相關(guān)，結(jié)合其現(xiàn)實意義，β越大，即吸引到的潛在用戶量越大，在α一定的情況下，誘發(fā)的需求就越大，在原有Q的水平下，用于滿足自發(fā)需求x的庫存就越少，此時需要提供更多的庫存，即增加Q。同時，我們也發(fā)現(xiàn)Q對β的敏感性還是很高的，尤其是在β大于0.5時，運營企業(yè)需要急劇地增加投放量以降低收益風(fēng)險。

表5 均勻分布下最優(yōu)投放量與β和s的關(guān)系

表6 負(fù)指數(shù)分布下最優(yōu)投放量與β和s的關(guān)系

表7 正態(tài)分布下最優(yōu)投放量與β和s的關(guān)系

4 小結(jié)

本文針對我國日益興起的共享單車進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)其無樁的特點最終導(dǎo)致了其需求與有樁共享單車的不同，即庫存量（共享單車初始投放量）會影響到其需求量，并基于此假設(shè)D=αQβ+x，將共享單車的需求拆分為自發(fā)需求x和庫存誘發(fā)需求αQβ。利用報童模型的變形，在進(jìn)行建模和模型計算后，給出了作為一個風(fēng)險厭惡的運營企業(yè)，可以使企業(yè)在獲得某一收益下將風(fēng)險降至最低的最優(yōu)區(qū)域投放量。同時，在自發(fā)需求x滿足均勻分布、負(fù)指數(shù)分布和均勻分布下，考察最優(yōu)投放量與模型中各項參數(shù)的關(guān)系，并對各項參數(shù)給予了實際情況的解釋，從而更好地理解最優(yōu)投放量與模型中各項參數(shù)的關(guān)系。