導(dǎo)向矢量正交分解的離格信號(hào)DOA估計(jì)*

劉騏瑋,馬彥恒,李根,董健

(陸軍工程大學(xué) 石家莊校區(qū)，河北 石家莊 050003)

0 引言

信號(hào)波達(dá)角(direction of arrival, DOA)估計(jì)在雷達(dá)探測(cè)，信號(hào)分選，空間定位等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。經(jīng)典的子空間類(lèi)方法首次實(shí)現(xiàn)了超分辨測(cè)向，例如多重信號(hào)分類(lèi)法[1](multiple signal classification，MUSIC)、旋轉(zhuǎn)不變子空間法[2](estimation of signal parameters via rotational invariance technique，ESPRIT)等，但存在快拍數(shù)不足或存在相干信號(hào)源的情況時(shí)，信號(hào)子空間和噪聲子空間的相干性較大，這類(lèi)方法在此種情況下性能下降較快。

近年來(lái)，壓縮感知理論結(jié)合陣列信號(hào)處理受到了廣泛的重視。由于信號(hào)在空域上具有稀疏性，滿(mǎn)足了稀疏重建理論的基本條件，利用隨機(jī)采樣矩陣便可以達(dá)到用較低采樣率恢復(fù)和重建信號(hào)的目的。比較典型的算法有基于匹配追蹤的算法，基于L1范數(shù)的凸松弛約束約束算法[3-4]，還有基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的估計(jì)算法[5]。匹配追蹤算法運(yùn)行速度快，但是精度較差；凸松弛約束約束算法利用稀疏解求解問(wèn)題，精度較高，但是運(yùn)算量較大；基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的算法在魯棒性上、適應(yīng)性上較強(qiáng)，但是計(jì)算量較大。

根據(jù)壓縮感知[6]理論，在DOA估計(jì)之前，需要建立過(guò)完備字典，其中的每一個(gè)元素稱(chēng)為原子。在做DOA估計(jì)時(shí)，只會(huì)輸出每個(gè)原子的值，而當(dāng)信號(hào)不位于原子網(wǎng)格上時(shí)，把這個(gè)信號(hào)稱(chēng)為離格信號(hào)。離格信號(hào)的出現(xiàn)會(huì)導(dǎo)致原有的經(jīng)典壓縮感知算法性能?chē)?yán)重下降。文獻(xiàn)[7]提出了在對(duì)導(dǎo)向矢量泰勒分解的基礎(chǔ)上，利用交替下降的最小二乘法實(shí)現(xiàn)重建。但是利用到混合范數(shù)約束，計(jì)算量較大。文獻(xiàn)[8]研究了在誤差模型下的稀疏譜擬合(sparse spectral fitting with modeling uncertainty，SSFMU)，同樣存在計(jì)算量大的問(wèn)題。文獻(xiàn)[9-11]在貝葉斯推理的基礎(chǔ)上降低了計(jì)算量，但近似誤差的存在限制了算法的精度。

為解決上述理論存在的問(wèn)題，本文基于壓縮感知理論提出了一種基于導(dǎo)向矢量正交分解的離格信號(hào)DOA估計(jì)算法。算法對(duì)接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進(jìn)行KR(Khatri-Rao)積變換[12-13]并構(gòu)建稀疏重構(gòu)模型，同時(shí)基于信號(hào)導(dǎo)向矢量與其一階導(dǎo)函數(shù)矢量間的正交性構(gòu)建了新的離格信號(hào)導(dǎo)向矢量模型，算法先通過(guò)稀疏重建找到距離離格信號(hào)最近的原子然后采用最小二乘法對(duì)離格信號(hào)的網(wǎng)格偏離量進(jìn)行估計(jì)。在構(gòu)建稀疏重建模型時(shí)，利用ILSSE(iterative least-squares subspace estimation)算法[14]精確估計(jì)噪聲協(xié)方差矩陣，提高了稀疏重建的精度。

1 信號(hào)模型

假設(shè)有M個(gè)陣元的均勻線(xiàn)陣，為了消除方位模糊，陣元間距d=λ/2。有遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)K(K

X(t)=A(θ)S(t)+N(t),t=1,2，…,N，

(1)

由陣列輸出數(shù)據(jù)可以得到協(xié)方差矩陣為

R=E[X(t)·XH(t)]=A(θ)·Rss·AH(θ)+O，

(2)

Rss=E[S(t)·SH(t)]=diag(σs)，

(3)

y=vec(R)=[A*(θ)⊙A(θ)]σs+vec(O)=

GB(θ)σs+vec(O)，

(4)

式中:⊙表示Khatri-Rao積，即

GB(θ)=A*(θ)⊙A(θ)=
(a*(θ1)?a(θ1),…,a*(θK)?a(θK))，

(5)

式中：?表示Kronecker積;G∈C(M2×(2M-1))為選擇矩陣，表示為

G= [vec(JM-1),…,vec(J1),vec(J0),

(6)

(7)

并且B(θ)=(b(θ1),b(θ2),…,b(θK))∈C(2M-1)×K，b(θk)為2M-1維的導(dǎo)向矢量，可以寫(xiě)為

(8)

1.1 稀疏重建模型

令uk=sinθk，入射角的范圍為θk∈[-90°,90°],可知任意入射角θk對(duì)應(yīng)唯一的正弦值uk，可知uk∈[-1,1]。因此過(guò)完備字典在正弦空間[-1,1]上進(jìn)行等間隔劃分也可以估計(jì)θk，相同的原子個(gè)數(shù)下，相比在角度域[-90°,90°]范圍內(nèi)進(jìn)行等間隔劃分，正弦空間均勻網(wǎng)格劃分對(duì)在角度域[-45°,45°]范圍內(nèi)有更多的原子數(shù)量，因此在該范圍內(nèi)對(duì)信號(hào)DOA的估計(jì)精度也更高。把值域?yàn)閇-1,1]正弦空間等間隔劃分為Q份，即u=(u1,u2,…,uQ)，Q?M,式(4)可以被改寫(xiě)為

y=GB(u)r+vec(O),

(9)

(10)

利用稀疏重建理論時(shí)，O的估計(jì)精度和β的取值對(duì)稀疏矢量r的估計(jì)都有著重要的影響。

1.2 噪聲協(xié)方差矩陣的估計(jì)

(11)

加性噪聲白噪聲N(t)的協(xié)方差矩陣通常采用式(12)估計(jì)：

(12)

按以下步驟進(jìn)行迭代循環(huán)：

(4)k=k+1；

(5) 當(dāng)|f(k+1)-f(k)|≤γ迭代停止，輸出O。

其中D′{·}表示僅保留對(duì)角線(xiàn)元素，其余元素為0。

ILSSE算法迭代次數(shù)通常到達(dá)10次時(shí)即可收斂，因此額外增加的運(yùn)算量相較式(10)進(jìn)行稀疏重建要少的多。采用ILSSE算法能得到更加精確的噪聲協(xié)方差矩陣，從而提高式(10)進(jìn)行稀疏重建的精度。

1.3 誤差門(mén)限的選取

Δy～AsN(0M2,1,W)，

(13)

(14)

式中：Asχ2(M2)為具有M2個(gè)自由度的漸近卡方分布，因此可以將式(10)的凸優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最小L1范數(shù)問(wèn)題：

(15)

2 離格信號(hào)DOA估計(jì)

2.1 離格信號(hào)模型

(16)

式中：

(17)

可以看出向量b(ukl)和向量c(ukl)具有完全相同的基，因此b(ukl)和jδkc(ukl)是完全正交的，因此離格信號(hào)的導(dǎo)向矢量可以作如圖1所示正交分解。

式(16)修正為

(18)

式中：αk為離格信號(hào)導(dǎo)向矢量在臨近原子b(ukl)向量上的投影分量。

根據(jù)式(9)，離格信號(hào)的協(xié)方差模型可以表示為

y=G[B(u)diag(α)+C(u)diag(δ)]r+vec(O),

(19)

式中:δ=(δ1,δ2,…,δQ)T，α=(α1,α2,…,αQ)T，C(u)=(jc(u1),jc(u2)…,jc(uQ))。

基于式(19)的稀疏重建是一個(gè)非凸優(yōu)化問(wèn)題，很難直接求解，下面給出一種基于最小二乘估計(jì)的分步求解方法。

2.2 網(wǎng)格偏離量求解

由于b(ukl)和jc(ukl)是正交的，b(ukl)向量上的系數(shù)diag(α)r可通過(guò)最小二乘法求解，即

diag(α)r=[GB′]+[y-vec(O)],

(20)

式中：[·]+表示“[·]”的廣義逆矩陣；α=(α1l,α2l,…,αKl)T。

網(wǎng)格偏離量δ在已知diag(α)r的基礎(chǔ)上，通過(guò)最小二乘法求解，即

δ=[GC′diag(diag(α)r)]+·
[y-GB′diag(α)r-vec(O)]，

(21)

式中：C′=(jc(u1l),jc(u2l)…,jc(uKl))，r=(r1l,r2l…,rKl)T，δ=(δ1l,δ2l,…,δKl)T。

K個(gè)離格信號(hào)在正弦空間DOA的估計(jì)值為

(22)

式中：u=(u1l,u2l,…,uKl)。

2.3 算法運(yùn)算量分析

為直觀表現(xiàn)算法性能，本文選用經(jīng)典的L1-SVD[3]算法和具有代表性的離格信號(hào)DOA估計(jì)算法OGSBI[9]算法進(jìn)行對(duì)比。L1-SVD算法運(yùn)用CVX凸優(yōu)化工具箱進(jìn)行重建每次迭代的運(yùn)算量約為O(K3Q3)，OGSBI算法每次迭代的運(yùn)算量為O(MQ2)，本文所提算法中，ILSSE算法迭代次數(shù)一般不超過(guò)10次，運(yùn)算量相對(duì)稀疏重建而言可以忽略，稀疏重建時(shí)每次迭代的運(yùn)算量約為O(Q3)，介于L1-SVD算法和OGSBI算法之間。

3 仿真分析

本節(jié)通過(guò)Matlab仿真對(duì)本文所提算法進(jìn)行仿真分析，選用L1-SVD算法和OGSBI算法進(jìn)行比較。仿真采用陣元數(shù)為10，陣元間距為半個(gè)波長(zhǎng)的均勻直線(xiàn)陣，噪聲為0均值的加性高斯白噪聲。前3個(gè)仿真中，過(guò)完備字典在正弦空間劃分的網(wǎng)格間距均為0.01，同時(shí)所有仿真中離格信號(hào)的DOA均為正弦空間的入射角。為衡量算法對(duì)離格信號(hào)DOA的估計(jì)性能，選用均方根誤差(RMSE)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中仿真2到仿真4的均方根誤差取以10為底的對(duì)數(shù)表示。

均方根誤差的定義如下：

(23)

仿真1噪聲協(xié)方差矩陣估計(jì)方法對(duì)非離格信號(hào)DOA稀疏重建精度的影響。

2個(gè)非相關(guān)入射信號(hào)的DOA分別為0.14和0.46，信噪比從-5 dB步進(jìn)到5 dB，步進(jìn)長(zhǎng)度為2 dB，快拍數(shù)為300，分別采用MinE和ILSSE 2種方法估計(jì)噪聲協(xié)方差矩陣O，并根據(jù)式(15)進(jìn)行稀疏重建，蒙特卡羅仿真次數(shù)為500。統(tǒng)計(jì)分析DOA估計(jì)的RMSE結(jié)果如圖2所示。

圖2表明，噪聲協(xié)方差矩陣的估計(jì)方法對(duì)式(10)稀疏重建的精度由較大的影響。采用ILSSE方法估計(jì)的DOA更準(zhǔn)確，極大地提高了基于KR積變換的稀疏重建算法在低信噪比下的估計(jì)精度。

仿真2不同信噪比下的離格信號(hào)DOA估計(jì)精度分析。

2個(gè)非相關(guān)離格信號(hào)的DOA分別為0.143和0.587，信噪比從-5 dB步進(jìn)到51 dB，步進(jìn)長(zhǎng)度為4 dB，快拍數(shù)為300，每個(gè)信噪比下進(jìn)行500次蒙特卡羅仿真，統(tǒng)計(jì)分析L1-SVD,OGSBI和本文所提算法在不同信噪比下DOA估計(jì)的RMSE如圖3所示。

從圖3中可以看出3種算法的RMSE曲線(xiàn)都隨著信噪比的增加而降低，但由于離格信號(hào)的DOA不位于預(yù)先劃分的原子網(wǎng)格上，因此L1-SVD算法在信噪比達(dá)到10 dB時(shí)RMSE曲線(xiàn)就不在下降，此時(shí)仍存在較大的估計(jì)誤差，因此L1-SVD算法并不適用于對(duì)離格信號(hào)的估計(jì)。本文算法和OGSBI算法RMSE曲線(xiàn)可以隨著信噪比的增大而持續(xù)下降，在高信噪比下對(duì)離格信號(hào)DOA有較高的估計(jì)精度。OGSBI算法由于在求解網(wǎng)格偏離量時(shí)采用了近似算法來(lái)降低運(yùn)算復(fù)雜度，在高信噪比下存在固定的估計(jì)偏差，當(dāng)信噪比增大到一定程度時(shí)，RMSE曲線(xiàn)不再下降。相較OGSBI算法，本文所提算法在不同的信噪比下均有更高估計(jì)精度和更小的固定估計(jì)偏差。

仿真3不同快拍下的離格信號(hào)DOA估計(jì)精度分析。

2個(gè)非相關(guān)離格信號(hào)的DOA分別為0.143和0.587，信噪比固定為10 dB，快拍數(shù)從100步進(jìn)到500，步進(jìn)長(zhǎng)度為100，每個(gè)快拍數(shù)下進(jìn)行500次蒙特卡羅仿真，統(tǒng)計(jì)分析L1-SVD，OGSBI和本文所提算法在不同信噪比下DOA估計(jì)的RMSE如圖4所示。

圖4表明，由于存在網(wǎng)格誤差，L1-SVD算法的RMSE曲線(xiàn)不隨快拍數(shù)的增加而降低。OGSBI算法和本文所提算法的估計(jì)精度均隨著快拍數(shù)的增加而提高，從曲線(xiàn)的下降速度來(lái)看，本文所提算法下降更快，在固定的信噪比下可以用更少的快拍數(shù)達(dá)到最高估計(jì)精度。

仿真4不同網(wǎng)格間距下的離格信號(hào)DOA估計(jì)精度分析。

仿真時(shí)，過(guò)完備字典在正弦空間的網(wǎng)格間距Δdg從0.01步進(jìn)到0.05，步長(zhǎng)為0.01，信噪比固定為20 dB，快拍數(shù)為300。為使信號(hào)在不同的網(wǎng)格間距下有相同的網(wǎng)格偏離量，設(shè)定每個(gè)網(wǎng)格間距下的信號(hào)DOA分別為0.3Δdg和0.6+0.7Δdg。每個(gè)網(wǎng)格間距下做500次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)得到仿真結(jié)果如圖5所示。

從圖5中可以看出，隨著網(wǎng)格間距的增大，L1-SVD算法和OGSBI算法的RMSE曲線(xiàn)明顯升高，DOA估計(jì)性能迅速下降，而本文所提算法在網(wǎng)格間距較大時(shí)仍能保持較高的估計(jì)精度，因此本文算法更適用于粗網(wǎng)格劃分下的離格信號(hào)DOA估計(jì)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于導(dǎo)向矢量正交分解的離格信號(hào)DOA估計(jì)算法，算法對(duì)接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行KR積變換，并利用ILSSE算法精確估計(jì)噪聲協(xié)方差矩陣，提高了稀疏重構(gòu)的精度。仿真結(jié)果表明，在不同信噪比下本文所提算法對(duì)離格信號(hào)DOA都有較高的估計(jì)精度，同時(shí)在網(wǎng)格間距較大時(shí)仍能保持較高的估計(jì)精度。因此，在不損失估計(jì)精度的前提下，可以通過(guò)增大網(wǎng)格間距的方式來(lái)降低本文算法的運(yùn)算量。