關(guān)于LTI系統(tǒng)完全響應(yīng)的時域解法分析

鄭江云

（安慶師范大學(xué)物理與電氣工程學(xué)院，安徽安慶246133）

沖激函數(shù)平衡法（或稱沖激函數(shù)匹配法）是線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)（LTI）時域分析的重要方法，該方法既可用于求由0-時刻到0+時刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)換，也可用于直接求解各種激勵作用下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，一些教材和教學(xué)參考書都介紹了這種方法[1-2]，但都不詳細，給教和學(xué)帶來了較大的困惑。文獻[3]介紹的是一種代入方式；文獻[4]對沖擊函數(shù)匹配法的兩種計算方式?jīng)]有從理論上進行說明，也沒有介紹初始狀態(tài)不等于零的完全響應(yīng)的求解過程；文獻[5]只給出了系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的幾種方法，沒有涉及有初始值的完全響應(yīng)的求解。因此，本文從理論上闡明沖擊函數(shù)匹配法的兩種應(yīng)用，并通過典型例題完全響應(yīng)的求解，使沖激函數(shù)匹配法的解法完整明朗。

1 集總參數(shù)線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)模型

集總參數(shù)線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為常系數(shù)線性常微分方程：

（1）式中，r(t)為系統(tǒng)的響應(yīng)，e(t)為輸入激勵信號。由時域經(jīng)典解法可知，（1）式的完全解由齊次解和特解組成，齊次解rh(t)滿足（1）式右端激勵e(t)及其各階導(dǎo)數(shù)都為零的齊次方程：

式中，rh(t)解的形式與特征方程的特征根有關(guān)，它有n個待定系數(shù)。

特解rp(t)的形式與激勵函數(shù)形式有關(guān)。將激勵e(t)代入（1）式的右端，觀察自由項試選特解函數(shù)式，代入后求得特解函數(shù)式中的待定系數(shù)，即可給出特解rp(t)，則完全解：

（3）式中齊次解的n個系數(shù)仍然是待定的。下面分別介紹求解待定系數(shù)的兩種方法。

2 由0-狀態(tài)導(dǎo)出0+狀態(tài)求解待定系數(shù)

一般激勵是從t=0時刻加入，這樣系統(tǒng)的響應(yīng)區(qū)間定為0+≤t＜∞，系統(tǒng)在激勵信號加入之前有一組狀態(tài)，定義為

（4）式簡稱0-狀態(tài)。在激勵信號e(t)加入之后，由于受到激勵的影響，這組狀態(tài)從t=0-到t=0+時刻可能發(fā)生變化，確定（3）式中未知數(shù)是由響應(yīng)區(qū)間內(nèi)t=0+時刻的一組狀態(tài)確定的，如下所示：簡稱0+狀態(tài)。

（1）式響應(yīng)r(t)的0-狀態(tài)到0+狀態(tài)有沒有跳變，決定于微分方程的右端自由項是否包含δ(t)及其各階導(dǎo)數(shù)。如果包含有δ(t)及其各階導(dǎo)數(shù)，說明相應(yīng)的0-狀態(tài)到0+狀態(tài)發(fā)生了改變，這時為了確定0+時刻的值，可以用沖激函數(shù)匹配法。下面通過具體例子來說明。

例1給定系統(tǒng)微分方程：

其中，(9)～(11)式中0-＜t＜0+，Δu(t)表示0-到0+相對單位跳變函數(shù)[6]，所以Δu(t)的積分等于零。將(9)～(11)式代入（8）式：

由（12）式得出a=-3。由（10）、（11）式得

即得r(0+)=1+1=2,r'( 0+)=3-3=0，將這兩個值代入（7）式得方程組：

3 系數(shù)待定的完全解直接代入法求零狀態(tài)響應(yīng)

上節(jié)介紹的經(jīng)典方法是嚴格按照步驟從0-狀態(tài)導(dǎo)出0+狀態(tài)，再由0+狀態(tài)求出待定系數(shù)，下面介紹的方法省去求0+狀態(tài)的過程，使問題簡化。

例2仍然以例1表示的系統(tǒng)為例，介紹求解過程。

解（7）式中的r(t)是（6）式表示系統(tǒng)的完全解，對r(t)逐次求導(dǎo)：

將（7）、（15）、（16）式和e(t)=u(t) 代入（6）式得：

但（18）式和例1中求得的結(jié)果（14）式不一樣，難道哪種方法是錯的嗎？是的，方法2在解的過程都沒有用到0-狀態(tài)的值，所以它求得的僅僅是零狀態(tài)響應(yīng)rzs(t)，要想求出完全響應(yīng)，還要求出零輸入響應(yīng)rzi(t)，而rzi(t)的求法簡單，它就是微分方程的齊次解，又因為沒有輸入，電路狀態(tài)不會發(fā)生躍變，即0+狀態(tài)和0-狀態(tài)相等。下面求方程（6）所示系統(tǒng)的rzi(t)，

完全解應(yīng)該是（18）和（20）式相加的結(jié)果，即（6）式所示系統(tǒng)的完全響應(yīng)為

（21）式所示結(jié)果與（14）式就一致了，這表明兩種方法都是正確有效的。顯然，例2的直接代入法求解過程比第一種方法簡單，不需要從0-狀態(tài)求出0+狀態(tài)，但直接代入法只能求出零狀態(tài)響應(yīng)，要求出有初始值的完全響應(yīng)，必須加上零輸入響應(yīng)。第一種方法解法雖然繁瑣一些，但它求出的結(jié)果直接就是完全響應(yīng)。

4 結(jié)束語

通過兩個例題的求解過程介紹了有初始值的完全響應(yīng)的解法，兩種方法雖然都用到了沖激函數(shù)平衡法，但思路是不同的。例1是將輸入函數(shù)代入系統(tǒng)方程的右端，根據(jù)右端的特點反推系統(tǒng)輸出r(t)的最高階導(dǎo)數(shù)在t=0+時刻的函數(shù)形式，然后將最高階導(dǎo)數(shù)逐次積分直到響應(yīng)r(t)，并將這些表達式代入系統(tǒng)方程，再結(jié)合0-狀態(tài)的值就可以求出0+狀態(tài)，最后由0+狀態(tài)求出完全解中的待定系數(shù)；例2中的方法是先將完全響應(yīng)分解為零輸入和零狀態(tài)響應(yīng)，零輸入響應(yīng)根據(jù)初始值就可以求解，零狀態(tài)響應(yīng)rzs(t)是由齊次解和特解組成，將rzs(t)逐次求導(dǎo)直到系統(tǒng)方程中響應(yīng)的最高階函數(shù)，再把這些表達式全部代入系統(tǒng)方程，根據(jù)沖激系數(shù)平衡法，直接求出rzs(t)中的待定系數(shù)。

0-狀態(tài)到0+狀態(tài)的躍變難以理解，求解過程復(fù)雜，而只要將完全響應(yīng)分解為零輸入和零狀態(tài)響應(yīng)，用例2中介紹的將系數(shù)待定的完全解直接代入求零狀態(tài)響應(yīng)，所以在教學(xué)和解題過程中盡量避免直接求出0+狀態(tài)的方法，可以避免介紹一些難以理解的概念。