串行連續(xù)生產(chǎn)線的可用度與緩沖庫存控制研究*

林 數(shù) 呂文元

（上海理工大學(xué)管理學(xué)院 上海 200093）

1 引言

生產(chǎn)的連續(xù)進(jìn)行是制造企業(yè)創(chuàng)造利潤的基本條件，保持高生產(chǎn)率的前提是保證連續(xù)的生產(chǎn)，減少生產(chǎn)線不必要的等待時(shí)間，這對制造企業(yè)顯得尤為重要［1～2］。怎樣保持生產(chǎn)的連續(xù)進(jìn)行是企業(yè)一直研究的問題，2M1B（即二個(gè)設(shè)備中間設(shè)一個(gè)緩沖庫存區(qū)）的出現(xiàn)讓企業(yè)尋求到了連續(xù)生產(chǎn)的保障。這種生產(chǎn)方式可使生產(chǎn)線的柔性增加，對于不可預(yù)測的因素，如設(shè)備故障等，某一設(shè)備出現(xiàn)故障，其設(shè)備后的緩沖庫存可以繼續(xù)的為下一工序提供產(chǎn)品，從而保證了生產(chǎn)的連續(xù)性，使企業(yè)的生產(chǎn)率大幅度提高。

串行生產(chǎn)線緩沖區(qū)問題一直是研究的熱點(diǎn)問題，串行生產(chǎn)線是其它類型生產(chǎn)線的基礎(chǔ)，對串行生產(chǎn)線緩沖區(qū)的研究可作為其它類型生產(chǎn)線緩沖區(qū)研究的基礎(chǔ)，因此有著重要的指導(dǎo)意義。目前，已經(jīng)有許多學(xué)者進(jìn)行了研究。Enginarlar等［3］在確保生產(chǎn)率的基礎(chǔ)上，提出了串行生產(chǎn)線最小緩沖模型。葉濤鋒［4］等分析了不同類型的緩沖機(jī)制和用于確定瓶頸資源前緩沖大小的方法，建立了相應(yīng)的模型，用于確定系統(tǒng)中瓶頸工序前的緩沖大小。郭彩芬等［5］以極大代數(shù)理論為基礎(chǔ)，應(yīng)用變分法建立生產(chǎn)與庫存控制模型，將整個(gè)串行生產(chǎn)線的生產(chǎn)率為目標(biāo)函數(shù)，得出每個(gè)中間緩沖區(qū)理想的在制品庫存量應(yīng)盡量接近其初始庫存量。周軍等［6］利用緩沖區(qū)內(nèi)在制品量狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率模型，求解其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，得出串行生產(chǎn)線的可用度與緩沖區(qū)容量緊密相關(guān)。譚民［7］對多級串行生產(chǎn)線進(jìn)行了深入的研究，得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度表達(dá)式，緩沖區(qū)的設(shè)置增加了系統(tǒng)的可用度，并且隨著緩沖區(qū)容量的增加，系統(tǒng)可用度也增加，對系統(tǒng)運(yùn)行是有利的。周炳海等［8］為提高串行生產(chǎn)線可用度和產(chǎn)出率，提出一種基于可用度評價(jià)的緩沖分配方法。疏松桂［9］針對帶有中間緩沖庫存的可修CIMS系統(tǒng)，基于馬爾科夫過程的排隊(duì)理論，解決了各設(shè)備之間生產(chǎn)率丟失問題。Malathrons等［10］建立了一種兩機(jī)一緩沖區(qū)的可用度模型，通過馬爾科夫理論求解該模型得到了該系統(tǒng)的可用度水平。以上研究多是從理想的串行生產(chǎn)線角度出發(fā)，只是考慮了緩沖區(qū)容量的優(yōu)化，卻沒有研究緩沖區(qū)庫存的補(bǔ)給控制。本文從實(shí)際生產(chǎn)線的布置結(jié)構(gòu)出發(fā)，主要以串行兩級子系統(tǒng)為主要研究對象，從系統(tǒng)的可用度入手，分析了緩沖區(qū)最小安全庫存量，以及用非均勻節(jié)拍法對緩沖區(qū)庫存進(jìn)行動(dòng)態(tài)的補(bǔ)充。

2 問題描述

理論研究中一般都是假設(shè)整條生產(chǎn)線每相鄰的兩工序之間設(shè)一緩沖區(qū)，如圖1，然后在求解每個(gè)緩沖區(qū)的庫存容量。這種方法比較費(fèi)時(shí)費(fèi)力，而且與實(shí)際的情況不相符。

圖1 每兩個(gè)工序間都有緩沖區(qū)的串行生產(chǎn)線

在實(shí)際生產(chǎn)線中并沒有這么多的緩沖區(qū)，一般串行流水生產(chǎn)線減少緩沖區(qū)數(shù)量可以通過工位整合的方式來實(shí)現(xiàn)［11］。根據(jù)TOC理論，只是選擇在生產(chǎn)系統(tǒng)的幾個(gè)關(guān)鍵瓶頸工序前設(shè)置緩沖區(qū)，如圖2，這種串行生產(chǎn)線結(jié)構(gòu)正是本文所重點(diǎn)研究的。

圖2 若干個(gè)相鄰工序間有緩沖區(qū)的串行生產(chǎn)線

在文中將緩沖區(qū)及其之前的一個(gè)工序和之后的瓶頸工序三部分組成的部分稱為生產(chǎn)線的“兩級串行生產(chǎn)線”（圖中虛線框所示）。本文以整條串行生產(chǎn)線上有限的這樣幾個(gè)“兩級串行生產(chǎn)線”為研究對象，對每個(gè)兩級串行生產(chǎn)線進(jìn)行單獨(dú)分析，從而大大簡化了問題的復(fù)雜性。以保證生產(chǎn)線的可用度為目標(biāo)，對緩沖區(qū)的容量進(jìn)行簡單近似的設(shè)計(jì)，建立緩沖區(qū)最小安全庫存量模型以及庫存補(bǔ)給模型，來解決串行流水生產(chǎn)線因瓶頸工序降低生產(chǎn)線生產(chǎn)率的問題。

3 兩級串聯(lián)生產(chǎn)線模型

3.1 兩級生產(chǎn)線可用度模型

對于每個(gè)兩級串行生產(chǎn)線是串行生產(chǎn)線的基礎(chǔ)，研究兩級串行生產(chǎn)線對于整個(gè)生產(chǎn)線有著重要的意義。兩級串行生產(chǎn)線如圖3所示，M2是生產(chǎn)線的瓶頸設(shè)備，在其前面設(shè)置緩沖區(qū)，保證生產(chǎn)的連續(xù)性。

圖3 兩級串行生產(chǎn)線

對兩級串行生產(chǎn)線的求解思路為，首先對生產(chǎn)線的正常工作狀態(tài)進(jìn)行分類，計(jì)算出每類狀態(tài)的概率，然后計(jì)算出每一類中保證生產(chǎn)線能夠正常工作的緩沖區(qū)所處的狀態(tài)概率，最后計(jì)算出兩級生產(chǎn)線的可用度。如圖3所示，設(shè) Mi（i=1，2）為可修設(shè)備，其失效率、修復(fù)率、生產(chǎn)率分別為 λi、μi、wi，并且均服從指數(shù)分布，B為緩沖區(qū)，其容量為K。

根據(jù)生產(chǎn)線的實(shí)際生產(chǎn)情況，同時(shí)為了分析問題的需要，作出如下假設(shè)：

1）設(shè)備發(fā)生故障時(shí)可通過及時(shí)修理使其恢復(fù)如新。

2）緩沖區(qū)絕對可靠，不會發(fā)生故障。

3）兩個(gè)設(shè)備不會同時(shí)發(fā)生故障。

4）前一設(shè)備不饑餓，后一設(shè)備不堵塞。

5）從緩沖區(qū)中存取工件的時(shí)間忽略不計(jì)。

6）隨機(jī)變量之間相互獨(dú)立。

對于圖3所示的兩級串行生產(chǎn)線，可以將其所有狀態(tài)總結(jié)為以下幾種情況：

1）狀態(tài)1：M1和M2均正常工作。

2）狀態(tài)2：M1故障，M2正常工作。

3）狀態(tài)3：M1正常工作，M2故障。

其狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖4所示。

圖4 兩級串行生產(chǎn)線狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

根據(jù)圖4可得兩級串行生產(chǎn)線的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率方程為

當(dāng)生產(chǎn)線穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)，另P2=0，P3=0，由式（1）～（4）解穩(wěn)態(tài)方程得：

所以，兩級串行生產(chǎn)線位于狀態(tài)1的概率為P1=1（1+ λ1μ1+ λ2μ2），位于狀態(tài) 2的概 率 為P2=（λ1μ1）P1，位 于 狀 態(tài) 3 的 概 率 為 P3=（λ2μ2）P1。

下面討論緩沖區(qū)的情況，兩級生產(chǎn)線正常工作的狀態(tài)包括：

1）處于狀態(tài)1時(shí)，M1和M2都正常工作且M2不空閑。

2）處于狀態(tài)2時(shí)，M1故障，M2正常工作且緩沖區(qū)不空。

3）處于狀態(tài)3時(shí)，M1正常工作，M2故障且緩沖區(qū)不滿。

首先看狀態(tài)1，此時(shí)要使兩級生產(chǎn)線正常工作，必須保證M2不空閑。在兩級生產(chǎn)線穩(wěn)態(tài)時(shí)，其生產(chǎn)率為w=min(w1，w2)，所以M2不空閑的概率為

在狀態(tài)2時(shí)，緩沖區(qū)的容量為K，所以要在此狀態(tài)下正常工作，只要使緩沖區(qū)不空即可，此時(shí)緩沖區(qū)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖5所示。

圖5 緩沖區(qū)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

由圖5可得在狀態(tài)2下的緩沖區(qū)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：

在兩級串行生產(chǎn)線穩(wěn)態(tài)情況下，依次令，PiB=0（i=0，1，2，…，k-1），得到：

所以在狀態(tài)2時(shí)，緩沖區(qū)不空的概率為

在狀態(tài)3情況下，要在此狀態(tài)下正常工作，必須使緩沖區(qū)不滿，此時(shí)緩沖區(qū)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖6所示。

由圖6可得在狀態(tài)3下的緩沖區(qū)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：

所以在狀態(tài)3時(shí)，緩沖區(qū)不滿的概率為

由式（5）～（10）可以得出兩級串行生產(chǎn)線的穩(wěn)態(tài)可用度為

這就是兩級串行生產(chǎn)線的可用度，從上式可以看出，兩級生產(chǎn)線可用度A是緩沖區(qū)容量K的函數(shù)，可用度的大小與設(shè)備的故障率、修復(fù)率、生產(chǎn)率、緩沖區(qū)容量相關(guān)，只要確定可用度A以后，就可以很快求出緩沖區(qū)的容量。由于我們假設(shè)緩沖區(qū)設(shè)置在瓶頸工序前面，所以w=min(w1，w2)=w2，所以有

在上式中，我們在對K進(jìn)行討論，有

這就是不帶緩沖區(qū)的剛性兩級生產(chǎn)線的可用度。

圖6 緩沖區(qū)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

這就是帶有無限緩沖區(qū)的理想兩級生產(chǎn)線的可用度。

通過上述方法，在對整條串行生產(chǎn)線的若干個(gè)兩級串行生產(chǎn)線進(jìn)行逐個(gè)分析，就可以分別求出每個(gè)緩沖區(qū)的容量。

3.2 緩沖區(qū)最小安全庫存量模型

由兩級生產(chǎn)線可用度模型得出了其穩(wěn)態(tài)可用度，可知系統(tǒng)處于平穩(wěn)狀態(tài)時(shí)，其所處的狀態(tài)與開始狀態(tài)無關(guān)，我們假設(shè)設(shè)備均處于偶然故障期，故障分布服從指數(shù)分布，λi、μi分別為設(shè)備Mi的故障率與修復(fù)率。對于兩級生產(chǎn)線子系統(tǒng)，系統(tǒng)的可靠度［12～13］R（t）為在兩級串行生產(chǎn)線系統(tǒng)中，若要求得緩沖區(qū)最小安全庫存量，則兩級串行生產(chǎn)線需處于狀態(tài)2的情況下。即M1故障，M2正常工作，此時(shí)當(dāng)M1故障時(shí)，瓶頸設(shè)備M2消耗緩沖區(qū)的庫存，當(dāng)緩沖區(qū)庫存量消耗盡時(shí)，兩級串行生產(chǎn)線系統(tǒng)才會失效。在生產(chǎn)周期T（T＞MTTR）內(nèi)，設(shè)備M1平均修復(fù)時(shí)間為

在建立緩沖區(qū)最小安全庫存量模型前，假設(shè)：

1）緩沖區(qū)在生產(chǎn)周期內(nèi)完全可靠，工件在緩沖區(qū)運(yùn)輸時(shí)間忽略不計(jì)。

2）工序M1不饑餓，瓶頸工序M2不堵塞。

3）r1為M1的生產(chǎn)節(jié)拍，r2為瓶頸工序M2的生產(chǎn)節(jié)拍，r1＜r2，BS為緩沖區(qū)的庫存量。

4）設(shè)備發(fā)生故障時(shí)可通過及時(shí)修理使其恢復(fù)如新。

當(dāng)工序M1發(fā)生故障時(shí)，必須要求工序M1的平均修復(fù)時(shí)間小于緩沖區(qū)的緩沖時(shí)間，即

將式（13）帶入上式得，兩級串行生產(chǎn)線系統(tǒng)能連續(xù)生產(chǎn)的條件為

式中0.5為設(shè)備M1故障時(shí)，其下級設(shè)備M2正在加工產(chǎn)品數(shù)的均值。由式（15）可得，兩級串行生產(chǎn)線要保持連續(xù)生產(chǎn)，則緩沖區(qū)最小安全庫存量為

由式（16）可知，兩級串行生產(chǎn)線的最小安全庫存量的大小與設(shè)備的修復(fù)率、瓶頸設(shè)備的生產(chǎn)節(jié)拍、生產(chǎn)周期相關(guān)。

3.3 緩沖庫存補(bǔ)給模型

緩沖區(qū)庫存的補(bǔ)給一般通過設(shè)備的額外工作時(shí)間來實(shí)現(xiàn)，但這種方法容易影響生產(chǎn)節(jié)奏，并且不易規(guī)范生產(chǎn)等。在研究兩級串行生產(chǎn)線的基礎(chǔ)上，提出了非均勻節(jié)拍控制的方法［14］，可有效地避免這些問題。假設(shè)某兩級串行連續(xù)生產(chǎn)線如圖7所示。其中第m臺設(shè)備為瓶頸設(shè)備，ri為各設(shè)備的生產(chǎn)節(jié)拍，因?yàn)樯a(chǎn)線的生產(chǎn)節(jié)拍取決于瓶頸設(shè)備，所以rm=r0。

圖7 兩級串行連續(xù)生產(chǎn)線

假設(shè)設(shè)備均處于偶然故障期，故障率屬于CFR型，λi、μi分別為設(shè)備Mi的故障率與修復(fù)率。則由可靠性理論［15］可知，設(shè)備Mi的可靠度服從指數(shù)分布：

由圖7所示，以瓶頸設(shè)備Mm與前級設(shè)備Mm-1為研究對象，設(shè)備Mm-1的故障模型如圖8所示。

圖8 設(shè)備Mm-1的n次故障模型

設(shè)Bm-1Si為Bm-1第i（i=1，2，3…，n）次發(fā)生故障時(shí)的庫存量，則：

要滿足Bm-1Si=Bm-1S1，即緩沖區(qū)初始的庫存量等于設(shè)備Mm-1第i次故障時(shí)緩沖區(qū)的庫存量，必須使：

由式（23）、3.2可知，在兩級串行生產(chǎn)線系統(tǒng)中，當(dāng)瓶頸前級設(shè)備發(fā)生故障時(shí)，此時(shí)瓶頸設(shè)備消耗緩沖區(qū)庫存來保證生產(chǎn)的連續(xù)性，當(dāng)瓶頸前級設(shè)備恢復(fù)正常，此時(shí)緩沖區(qū)內(nèi)庫存量以不能維持下一次緩沖生產(chǎn)，所以應(yīng)該調(diào)節(jié)瓶頸前級設(shè)備的生產(chǎn)節(jié)拍，來補(bǔ)給緩沖區(qū)的庫存，3.2節(jié)以給出緩沖區(qū)最小安全庫存量，由式（23）得出瓶頸前級設(shè)備與瓶頸設(shè)備的節(jié)拍關(guān)系式，可根據(jù)兩者來平衡緩沖區(qū)內(nèi)的庫存量，使生產(chǎn)線保持生產(chǎn)的連續(xù)性。

4 結(jié)語

1）基于可靠性理論中的可修復(fù)系統(tǒng)模型為基礎(chǔ)，建立了兩級串行生產(chǎn)線模型。根據(jù)馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程得到了兩級串行生產(chǎn)線可用度的計(jì)算公式。得出兩級串行生產(chǎn)線的可用度與設(shè)備的失效率、修復(fù)率、緩沖區(qū)容量相關(guān)。2）通過建立兩級串行生產(chǎn)線緩沖區(qū)最小安全庫存量模型，為保證生產(chǎn)的連續(xù)性，得到了緩沖區(qū)庫存的最小安全庫存量的計(jì)算公式。3）在建立最小安全庫存量庫存補(bǔ)給模型時(shí)，提出了非均勻生產(chǎn)節(jié)拍的方法，通過控制節(jié)拍來保障緩沖庫存，避免了串行生產(chǎn)線因補(bǔ)給緩沖庫存增加額外生產(chǎn)時(shí)間，具有一定的應(yīng)用價(jià)值。4）本文是基于兩級串行具有瓶頸生產(chǎn)線的研究，串行生產(chǎn)線是一種簡單的結(jié)構(gòu)，是研究并聯(lián)、混聯(lián)等復(fù)雜生產(chǎn)系統(tǒng)的基礎(chǔ)，基于多級具有瓶頸生產(chǎn)線的結(jié)構(gòu)，還有待進(jìn)一步研究。