蘇 風(fēng) 王躍方

（1.航空工業(yè)直升機(jī)設(shè)計研究所;2.大連理工大學(xué);3.工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗室）

0 引言

壓縮機(jī)管殼式換熱器是化工工藝過程離心壓縮機(jī)的專用換熱裝置，用于在級間冷卻壓縮工質(zhì)，降低其下一段（級）的進(jìn)口溫度，提高壓縮效率[1]。從結(jié)構(gòu)上看，冷卻器內(nèi)部裝有大量的細(xì)長薄壁金屬管。每根管子兩端固定于管板上，中間用與殼體相連的折流板加以支撐，形成多跨結(jié)構(gòu)。對于冷卻工藝而言，提高換熱效率要求盡量地增加管內(nèi)流體的進(jìn)口速度，但流速越高，流體對管子的沖擊就越大，有可能誘發(fā)換熱管的有害振動。事實(shí)上，換熱管的傳熱強(qiáng)化與減振、抑振的兩種需求是一對矛盾。此類問題也可出現(xiàn)在管內(nèi)流體與管外流體進(jìn)行熱交換的其他設(shè)備上，成為設(shè)計人員必須解決的問題。

流動工質(zhì)帶來的換熱管振動屬于流致振動，按激勵來源可分為由管子外部流場（殼程流場）誘發(fā)的振動和由管子內(nèi)部流場（管程流場）誘發(fā)的振動兩種形式。迄今為止，學(xué)術(shù)界對殼程流場導(dǎo)致的流致振動進(jìn)行了大量研究，成果較為豐富并已進(jìn)入工程實(shí)用[2-4]，設(shè)計人員有較大的把握避免換熱管的激振。對于管程流場引起的內(nèi)流激振問題，學(xué)術(shù)界雖已取得了一些成果，但它們大多針對輸油管線、供水管等大型充液管道，面向壓縮機(jī)換熱器的細(xì)長、柔性管的研究為數(shù)很少。在理論方面，知名學(xué)者Paidoussis及其合作者對充液管道的流致振動研究做出了奠基性貢獻(xiàn)[5]，通過對管道結(jié)構(gòu)及流動的動力學(xué)建模，將管程流速與管道彎曲振動響應(yīng)的穩(wěn)定性聯(lián)系起來，從而在本質(zhì)上揭示內(nèi)部流場的激振原理。后續(xù)代表性研究可見Blevins[6]、Paidoussis[7]、Naudascher[8]等的國外專著以及國內(nèi)學(xué)者錢頌文等人的專著[9]。在換熱管振動的建模和分析方法上，姚煜中用有限元方法推導(dǎo)出了考慮軸向、橫向以及扭轉(zhuǎn)振動的直管的流固耦合振動方程，對流體傳輸動力學(xué)進(jìn)行研究[10]。針對管程流體，賴永星建立了內(nèi)流激發(fā)下管的振動方程，定義了管內(nèi)流離心力對固有頻率影響的折減系數(shù)，討論了管內(nèi)流體對管束固有頻率的影響[11]。劉敏珊等用傳遞矩陣法對列管式換熱器的動態(tài)特性進(jìn)行了研究，計算出了多跨管的固有頻率以及振型，但未考慮流體的流速效應(yīng)[12]。劉恒彤綜述了輸液管道振動的求解方法：Galerkin法、有限元法、DQ法、動力剛度傳遞矩陣法、精細(xì)積分傳遞矩陣法、模態(tài)分析法等[13]。

學(xué)術(shù)界為闡釋管束激振原理開展的流固耦合分析是十分必要的。然而，全三維流固耦合分析需要把管程流體、殼程流體和管結(jié)構(gòu)都進(jìn)行離散化，在時域的每個時間點(diǎn)上進(jìn)行流固兩場間的雙向迭代直到收斂[14-15]。實(shí)施這個過程要耗費(fèi)大量的計算資源、計算時間和人力資源，如果考慮管子的非線性振動特征[16]，工作量還將增大。對于容器設(shè)計人員而言，基于流固耦合的分析效率很低，工程上難以承受。從提高設(shè)計效率的需求出發(fā)，本文基于多跨梁經(jīng)典理論，采用傳遞矩陣法計算了換熱管在管程流體作用下的橫向振動自振頻率，得到了使振動失穩(wěn)的臨界流速。結(jié)果表明，傳遞矩陣法的實(shí)施過程簡便，分析精度達(dá)到了工程要求，可以在設(shè)計中得到使用。

1 換熱管橫向振動力學(xué)模型

換熱管的兩端固定在管板上，中間折流板的支撐相當(dāng)于在管上加了多個簡支支撐的約束，因此，可以將換熱管簡化為兩端固定、中間簡支的多跨梁。圖1給出了其中一跨的管結(jié)構(gòu)力學(xué)模型示意圖。根據(jù)小變形彈性力學(xué)假設(shè)，管子的空間振動可以解耦為在橫截面內(nèi)沿oy和oz兩個方向上的橫向位移，它們的運(yùn)動規(guī)律是相同的。不妨以oz方向上的位移w(x,t)為對象推導(dǎo)動力學(xué)方程。由振動力學(xué)理論，可以導(dǎo)出均質(zhì)平面Euler-Bernoulli梁的自由振動微分方程[17]。

圖1 單跨換熱管力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of a single span heat exchange tube

其中，x是軸向坐標(biāo);t是時間;ws是換熱管固體的橫向位移;wf是同一位置處管程流體的橫向位移;m1是流體的線密度;m2是換熱管材料的線密度;E是管材料的彈性模量;I是管子的橫截面慣性矩。對于流體而言，其基于Euler描述的加速度可以寫成

其中v是管程流速。假設(shè)此流速不變，則式（1）變?yōu)?/p>

其中，w=wf=ws是橫向振動位移。上式中各項分別對應(yīng)著結(jié)構(gòu)—流體受到的瞬時慣性力、離心力、科氏力和彈性恢復(fù)力，而振動的定解歸結(jié)為非自伴算子系統(tǒng)的特征值問題。由于非自伴系統(tǒng)的能量沒有守恒性，因此結(jié)構(gòu)可以在一定條件下失穩(wěn)，表現(xiàn)為振動從小幅周期運(yùn)動發(fā)展成大幅振動響應(yīng)。由此式還可看出，速度對離心力的影響最大，當(dāng)速度值大到一定程度就會引起管道的失穩(wěn)。科氏力由流體相對運(yùn)動產(chǎn)生，與流速成正比，會使結(jié)構(gòu)頻率有所下降，但幅度不大，為了減輕工程計算難度，忽略此項得[5]

設(shè)分離變量后的位移解為

代入（4）后可得模態(tài)方程

其通解為Y=Acoshλx+Bsinhλx+Ccosλx+Dsinλx。對于單跨梁模型，設(shè)當(dāng)x=0時模態(tài)空間內(nèi)的位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力分別為Y=Y0,θ=θ0,M=M0,Q=Q0，通過推導(dǎo)可得模態(tài)函數(shù)中的待定系數(shù)

由此確定了自由振動的模態(tài)位移和內(nèi)力

式中

2 多跨換熱管振動特性的傳遞矩陣解

本文采用實(shí)施過程較為簡便的傳遞矩陣法求解換熱管在管程流體激振下的動力學(xué)特性問題[18]。由（9）得到同一跨梁自左向右的狀態(tài)傳遞關(guān)系，即場傳遞關(guān)系為：

其中上角標(biāo)T表示向量的轉(zhuǎn)置，

為場傳遞矩陣。對于多跨梁結(jié)構(gòu)，記其第i跨梁的首節(jié)點(diǎn)編號為i，尾節(jié)點(diǎn)編號為i+1，則上述傳遞可寫作

式中L和R分別代表同一個節(jié)點(diǎn)的左、右端面。對于第i跨梁，設(shè)由折流板或管板提供的支撐剛度系數(shù)為ki，一般取為108N/m。首節(jié)點(diǎn)i的右端面與其左端面的狀態(tài)存在傳遞關(guān)系

為點(diǎn)傳遞矩陣。綜合式（12）、（13），可得管結(jié)構(gòu)自最左端到最右端的狀態(tài)傳遞矩陣為

其中N代表節(jié)點(diǎn)總數(shù)。將（14）改寫成一步遞推公式

其中系數(shù)陣的每個元素都是待求自振頻率ω的函數(shù)。對兩端固定在管板上的換熱管，邊界條件為由此得到滿足邊界條件的頻率方程，

上式是關(guān)于ω的非線性超越方程，可使用MATLAB語言編程，采用二分法迭代求出數(shù)值解。由于工程上只關(guān)心一階自振頻率，計算（16）的根的工作量遠(yuǎn)小用有限元法建模和求解的工作量。實(shí)際上，在工程設(shè)計時甚至可以不直接求解（16），而是利用MATLAB PLOT函數(shù)，通過觀察f(ω2)在一定頻率范圍內(nèi)的正負(fù)號變化，就可大致地預(yù)估換熱管的一階固有頻率。

3 換熱管自振頻率及穩(wěn)定性分析算例

以某原水加熱器中的一根換熱管為例，分析管程流動對管子橫向振動的影響。分別對跨間距為1.2m，數(shù)量分別為單跨、兩跨和三跨的換熱管開展了自振頻率分析。在算例中，換熱管材料的線密度為0.377kg/m，管程流體的線密度為0.154kg/m，換熱管的抗彎剛度為266Nm2。在流速為0的情況下，分別采用ABAQUS軟件和傳遞矩陣法計算了橫向振動自振頻率。有限元計算采用的是附加質(zhì)量法，即將流體質(zhì)量等價為管材密度。在劃分管子網(wǎng)格時使用了實(shí)體單元。

表1對比了用兩種方法求出的換熱管前五階自振頻率?？梢钥闯?，兩種方法得到的解相差很小。由于傳遞矩陣法采用了經(jīng)典梁理論，管子的彎曲變形服從平截面假定，與有限元法采用的實(shí)體單元相比更為“剛硬”，因此頻率值偏大，這與表中的結(jié)果相吻合，說明傳遞矩陣法的計算精度滿足要求。

表1 有限元方法與傳遞矩陣法的頻率分析結(jié)果（單位：rad/s）Tab.1 Natural frequency solutions via the finite element method and transfer matrix method （unit：rad/s）

以下研究換熱管因管程流體激振的頻率變化，以及運(yùn)動失穩(wěn)問題。換熱管的固有頻率會隨著管內(nèi)流度v而變化，流速的增加會使結(jié)構(gòu)的固有頻率降低。當(dāng)流速v增長到臨界值時，結(jié)構(gòu)的第一階固有頻率降低為0，這意味著管的橫向振動是隨時間發(fā)散的失穩(wěn)運(yùn)動。如果繼續(xù)增加流速，則需改用非線性動力學(xué)理論，考慮幾何非線性效應(yīng)，研究薄壁換熱管在失穩(wěn)后的振動響應(yīng)。不過，工程人員通常不允許換熱管出現(xiàn)大位移、大轉(zhuǎn)角運(yùn)動，只要分析出線性振動失穩(wěn)的臨界值，并使管程流速遠(yuǎn)低于該值，就可以保證響應(yīng)處于小振幅狀態(tài)，避免有害振動的出現(xiàn)。

圖2 換熱管一階固有頻率隨管程流速的變化Fig.2 Fundamental frequency of heat exchange tube with varying tube-side velocity

圖2給出了換熱管的一階頻率隨管程流體流速的變化關(guān)系。從流速為0開始，使用前述的傳遞矩陣法分別計算了單跨、兩跨和三跨換熱管的一階自振頻率?？梢钥吹?，對于所有模型，結(jié)構(gòu)的一階自振頻率均隨流速增加而減小。三跨梁模型的臨界失穩(wěn)流速盡管是最小的，但也達(dá)到了133.7m/s。就這個特定的算例而言，可以認(rèn)為管程流動對橫向振動的貢獻(xiàn)很小，不會使其失穩(wěn)。在設(shè)計時，可以把流體簡化為管材的附加質(zhì)量，忽略流速對自振頻率的影響。

4 結(jié)論

壓縮機(jī)級間冷卻器的換熱管一般為細(xì)長、薄壁圓管，可能在內(nèi)部管程流動的激勵下發(fā)生危險橫向振動，因此，在容器設(shè)計時應(yīng)該校核因管程流速引起的自振頻率，提高失穩(wěn)臨界流速。此類問題本質(zhì)上屬于結(jié)構(gòu)—內(nèi)流場間的相互作用，但為提高工程設(shè)計效率，不宜采用耗時、耗力的流固耦合分析技術(shù)。使用多跨梁模型的傳遞矩陣法，可以確定換熱管在管程流體作用下的橫向振動自振頻率，預(yù)測失穩(wěn)臨界流速，方法的實(shí)施過程簡便，易于編程，分析精度滿足工程要求。對那些管徑較小、剛度較大的換熱管，其失穩(wěn)臨界流速往往很高，在設(shè)計時可以將管程流體等價為管材的附加質(zhì)量，從而提高分析效率。