陳思諭，鄒艷麗，王瑞瑞，譚華珍

(廣西師范大學電子工程學院, 廣西 桂林 541004)

0 引言

在復雜網(wǎng)絡的研究進程中，學者們發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡[1-2]均以特定的耦合方式連接而成，并具有某些具體的功能，而網(wǎng)絡的同步和穩(wěn)定現(xiàn)象主要由節(jié)點間的耦合效應引起，因此耦合網(wǎng)絡的動力學行為研究引起了學者們的極大關注[3-22]。

電網(wǎng)是一種常見的人工復雜網(wǎng)絡，在電力網(wǎng)絡研究中，通常設定網(wǎng)絡中各連邊耦合強度相等[6-14]，并從電網(wǎng)動力學建模[6-7]、電網(wǎng)故障[8]、分布式電站入網(wǎng)[9]，關鍵環(huán)節(jié)識別[10-12]、同步和穩(wěn)定性分析[13-15]等方面進行深入研究。在電網(wǎng)耦合差異[15-18]研究方面，文獻[16]研究了不同耦合方式和耦合強度對電力-通信網(wǎng)絡的影響，研究表明，自相似耦合有利于提高電力-通信網(wǎng)絡的穩(wěn)定性，且以介數(shù)-度數(shù)耦合方式最佳。文獻[17]綜合考慮發(fā)電機和負載的動力學特性，根據(jù)能量守恒定律，推導出電力網(wǎng)絡的動態(tài)負荷模型，模型從線路阻抗角度反映線路耦合差異。文獻[18]基于類Kuramoto相振子模型，從動力學角度定義了電網(wǎng)邊緣敏感度，并對系統(tǒng)單邊耦合強度受到微小擾動時，系統(tǒng)響應方程進行了詳細推導，得出了電網(wǎng)受單邊耦合擾動的敏感度影響與相應邊負載成正比的結論。文獻[19]采用隨機、同配、異配三種不同連邊耦合方式構建相依網(wǎng)絡，并從相依網(wǎng)絡級聯(lián)故障角度進行了深入研究。從輸電線路耦合強度差異角度對電力網(wǎng)絡同步和穩(wěn)定性動力學行為的研究還比較少見。

本文考慮電力網(wǎng)絡輸電線路的耦合特性差異，提出3種電網(wǎng)輸電線路耦合強度分配策略(EQ，TP，LB)。第一，各線路耦合強度相等，簡稱EQ方式；第二，各線路耦合強度按系統(tǒng)等耦合強度同步運行狀態(tài)下，線路傳輸功率的絕對值大小正比分配，簡稱TP方式；第三，線路耦合強度按連邊介數(shù)大小正比分配，簡稱LB方式。并從電網(wǎng)的同步和穩(wěn)定性兩個方面比較3種輸電線路耦合強度分配策略的優(yōu)劣。

1 電網(wǎng)動力學模型

考慮節(jié)點動力學特性的二階類Kuramoto模型[7]被廣泛應用于電力網(wǎng)絡的同步和穩(wěn)定性研究。此模型的數(shù)學表達式如下：

(1)

式中，N為網(wǎng)絡節(jié)點個數(shù)，φi為節(jié)點i的相位偏差，Pi為節(jié)點i的功率，當節(jié)點i為發(fā)電機時，Pi>0，表示發(fā)電機節(jié)點提供功率，當節(jié)點i為負載時，Pi<0，表示負載節(jié)點消耗功率，α為損耗參量，K表示節(jié)點間的耦合強度，{aij}表示網(wǎng)絡的鄰接矩陣，描述網(wǎng)絡的拓撲結構，若節(jié)點i與節(jié)點j之間有連邊，則aij=aji=1，否則aij=0。

本文中仿真模型參數(shù)設置為：令負載節(jié)點功率Pc=-1，發(fā)電機節(jié)點功率Pg=-(Nc*Pc)/Ng，其中Ng、Nc分別為電網(wǎng)中發(fā)電機節(jié)點數(shù)和負載節(jié)點數(shù)，取系統(tǒng)中各節(jié)點的初始相偏、頻偏均為0，我們采用經(jīng)典四階-龍格庫塔積分法進行仿真計算，積分步長h=0.001，損耗參數(shù)α=0.1。

2 電網(wǎng)動力學性能評價指標

2.1 穩(wěn)態(tài)序參數(shù)

在類Kuramoto模型中，電力網(wǎng)絡被描述為耦合相振子網(wǎng)絡，學者們通常采用相位序參數(shù)[20]來描述相振子網(wǎng)絡的同步性能，其定義式為：

(2)

式中，θj(t)為相振子i的相位，φ(t)為網(wǎng)絡中所有相振子的平均相位，N為網(wǎng)絡中相振子個數(shù)，序參數(shù)r(t)可以反映不同時刻網(wǎng)絡振子的同步情況。穩(wěn)態(tài)序參數(shù)r∞表示網(wǎng)絡運行到穩(wěn)定狀態(tài)后，一段平穩(wěn)狀態(tài)下序參數(shù)r(t)的平均值，其數(shù)學表達式為：

(3)

在電力網(wǎng)絡中，當系統(tǒng)運行到穩(wěn)定狀態(tài)后，若r∞≈0，網(wǎng)絡中無節(jié)點處于同步狀態(tài)；r∞≈1，網(wǎng)絡中所有節(jié)點處于同步狀態(tài)。

2.2 臨界同步耦合強度

在類Kuramoto模型中，當電力網(wǎng)絡節(jié)點間的耦合強度K達到一定強度Kc時，系統(tǒng)能夠同步運行，此時電網(wǎng)各節(jié)點頻偏ωi=0；當耦合強度K小于Kc時，此時電網(wǎng)各節(jié)點頻偏ωi≠0，系統(tǒng)運行在非同步狀態(tài)。我們把電網(wǎng)剛好能同步運行的耦合強度稱為臨界同步耦合強度，用Kc表示，Kc越小，表明電力網(wǎng)絡的同步能力越好。根據(jù)文獻[7]的分析，耦合強度K正比于節(jié)點間的最大傳輸線容量pMAX，因此Kc越小，意味著我們可以用更小的傳輸線容量使電網(wǎng)同步運行，降低成本，提高性能；同時，一般電網(wǎng)的同步性能越好，其抗干擾能力越強，電網(wǎng)越穩(wěn)定。

2.3 最大抗擾強度

在電網(wǎng)穩(wěn)定性研究中，學者們通常采用電網(wǎng)運行在同步狀態(tài)下，對系統(tǒng)各節(jié)點施加短暫功率干擾ΔP，在撤除干擾后系統(tǒng)仍能恢復同步運行狀態(tài)的最大擾動強度ΔPmax來描述電網(wǎng)的穩(wěn)定性能，ΔPmax越大，系統(tǒng)穩(wěn)定性越好。

3 電網(wǎng)輸電線路耦合強度分配策略

3.1 耦合強度按線路傳輸功率正比分配策略

根據(jù)電力網(wǎng)絡的二階類Kuramoto模型，可以將式(1)改寫為式(4)的兩個一階微分方程：

(4)

當電力網(wǎng)絡運行在同步狀態(tài)時，系統(tǒng)運行在標準頻率(50HZ或60HZ)，所有節(jié)點頻偏為零，即ω1=ω2=…=ωN=0，其中N為系統(tǒng)節(jié)點數(shù)。那么，由式(4)可得：

(5)

根據(jù)式(5)，系統(tǒng)運行在同步穩(wěn)定狀態(tài)時，節(jié)點i、節(jié)點j間的連邊eij的傳輸功率設為：

Pij=Kaijsin(φj-φi)，i,j=1,2,…N

(6)

將線路耦合強度按照電網(wǎng)傳輸線功率大小重新分配，得到系統(tǒng)動力學方程為：

(7)

3.2 耦合強度按邊介數(shù)正比分配策略

邊介數(shù)Bij是網(wǎng)絡的一個全局特征量[2]，可以用來評價網(wǎng)絡中連邊的重要性，一般認為介數(shù)越大，該邊在網(wǎng)絡中越重要。其數(shù)學表達式為：

(8)

式中，Nlm為從節(jié)點l到節(jié)點m的最短路徑條數(shù)，Nlm(eij)為從節(jié)點l到節(jié)點m的最短路徑中經(jīng)過連邊eij的最短路徑條數(shù)。

(9)

4 IEEE標準網(wǎng)絡上三種分配策略比較研究

本節(jié)研究內容主要在IEEE14、IEEE30、IEEE39、IEEE57節(jié)點系統(tǒng)進行仿真實驗，并從電網(wǎng)的同步性能和穩(wěn)定性兩個方面進行仿真分析，比較三種線路耦合強度分配策略的優(yōu)劣。在IEEE標準測試系統(tǒng)中，IEEE14系統(tǒng)由5個發(fā)電機節(jié)點、9個負載節(jié)點和20條連邊構成；IEEE30系統(tǒng)由6個發(fā)電機節(jié)點、24個負載節(jié)點和41條連邊構成；IEEE39系統(tǒng)由10個發(fā)電機節(jié)點、29個負載節(jié)點和46條連邊構成；IEEE57系統(tǒng)由7個發(fā)電機節(jié)點、50個負載節(jié)點和78條連邊構成。

4.1 IEEE網(wǎng)絡上三種耦合方式的同步性能比較

在電網(wǎng)的同步性能研究中，本文通過臨界同步耦合強度Kc來反映系統(tǒng)同步性能，并從系統(tǒng)同步性能的角度對三種輸電線路耦合強度分配策略進行比較。

圖1 IEEE14系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)序參數(shù)r∞、平均頻偏ω∞和平均耦合強度〈K〉的關系Fig.1 The relationship between steady state order parameter r∞, average frequency offset ω∞ and average coupling strength of IEEE14 system

圖2 IEEE30系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)序參數(shù)r∞、平均頻偏ω∞和平均耦合強度〈K〉的關系Fig.2 The relationship between steady state order parameter r∞, average frequency offset ω∞ and average coupling strength of IEEE30 system

圖3 IEEE39系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)序參數(shù)r∞、平均頻偏ω∞和平均耦合強度〈K〉的關系Fig.3 The relationship between steady state order parameter r∞, average frequency offset ω∞ and average coupling strength of IEEE39 system

圖4 IEEE57系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)序參數(shù)r∞、平均頻偏ω∞和平均耦合強度〈K〉的關系Fig.4 The relationship between steady state order parameter r∞, average frequency offset ω∞ and average coupling strength of IEEE57 system

由仿真計算求得，在IEEE14系統(tǒng)中，KEQ=2.3，KTP=1.7，KLB=2.5；在IEEE30系統(tǒng)中，KEQ=5.9，KTP=3.4，KLB=7.3；在IEEE39系統(tǒng)中，KEQ=4.7，KTP=2.7，KLB=8.4；在IEEE57系統(tǒng)中，KEQ=8.3，KTP=7.1，KLB=15.1；從圖1至圖4可以看出，當系統(tǒng)平均耦合強度〈K〉大于等于相應平均臨界同步耦合強度時，系統(tǒng)平均頻偏ωi=0，電網(wǎng)同步運行；當系統(tǒng)平均耦合強度〈K〉小于相應平均臨界同步耦合強度時，系統(tǒng)平均頻偏ω∞≠0，電網(wǎng)運行在失同步狀態(tài)。仿真結果表明，在以上各IEEE標準系統(tǒng)中，輸電線路耦合強度按TP方式分配時，系統(tǒng)平均臨界同步耦合強度KTP最小，系統(tǒng)同步性能最好；按LB方式分配時，系統(tǒng)平均臨界同步耦合強度KLB最大，系統(tǒng)同步性能最差；按EQ方式分配時，系統(tǒng)平均臨界同步耦合強度為KEQ大于KTP而小于KLB，系統(tǒng)同步性能介于兩者之間。

4.2 IEEE網(wǎng)絡上三種耦合方式的穩(wěn)定性能比較

在電網(wǎng)穩(wěn)定性研究中，通常采用電網(wǎng)同步運行狀態(tài)下，系統(tǒng)能承受的最大干擾功率ΔPmax來描述電力網(wǎng)絡的穩(wěn)定性能，ΔPmax越大，系統(tǒng)抗擾能力越強，穩(wěn)定性越好。為比較電力網(wǎng)絡在三種輸電線路耦合強度分配策略下的穩(wěn)定性能，取系統(tǒng)平均耦合強度〈K〉相等，且〈K〉>{KEQ,KTP,KLB}，保證系統(tǒng)運行在同步狀態(tài)，研究各方式下，系統(tǒng)抗擾能力隨系統(tǒng)平均耦合強度〈K〉的變化情況。當系統(tǒng)運行到穩(wěn)定狀態(tài)一段時間后，對每個負荷節(jié)點施加擾動功率ΔP，擾動持續(xù)時間Δt=5s，仿真結果如圖5所示。

由圖5可以看出，在各電力系統(tǒng)中，三種耦合方式下，系統(tǒng)最大抗擾值ΔPmax均隨著系統(tǒng)平均耦合強度〈K〉的增大而增大，即系統(tǒng)穩(wěn)定性均隨著系統(tǒng)平均耦合強度〈K〉的增大而增強。當系統(tǒng)平均耦合強度〈K〉相等時，TP方式下，系統(tǒng)能夠承受的最大抗擾強度ΔPTPmax最大；LB方式下，系統(tǒng)能夠承受的最大抗擾強度ΔPLBmax最小；EQ方式下，系統(tǒng)能夠承受的最大抗擾強度ΔPEQmax介于兩者之間。由仿真結果可知，輸電線路耦合強度按TP方式分配時，系統(tǒng)抗擾性能最好，穩(wěn)定性最佳；按LB方式分配時，系統(tǒng)抗擾性能最差，穩(wěn)定性最差；按EQ方式分配時，系統(tǒng)抗擾性能介于兩者之間，即系統(tǒng)穩(wěn)定性介于兩者之間。

圖5 三種耦合方式下最大抗擾強度ΔPmax與平均耦合強度〈K〉的關系Fig.5 The relationship between the maximum intensity of the disturbance ΔPmax and average coupling strength K in three coupled modes

5 小世界和無標度網(wǎng)絡上三種分配策略比較研究

根據(jù)文獻[21-22]的綜述，絕大多數(shù)實際電力網(wǎng)絡是具有較大聚集系數(shù)、較小平均路徑長度的稀疏網(wǎng)絡，具有小世界特性。由于電力網(wǎng)絡正向大規(guī)模，復雜化的方向演化，以往的研究中既有用小世界網(wǎng)絡對電網(wǎng)進行建模研究的，也有用無標度網(wǎng)絡進行建模研究的，因此本文應用NW小世界網(wǎng)絡模型和BA無標度網(wǎng)絡模型構建電網(wǎng)拓撲模型，并進行仿真分析，進一步驗證本文提出的三種輸電線路耦合強度分配策略的科學性。

構建NW小世界電網(wǎng)模型[2]：令網(wǎng)絡節(jié)點總數(shù)N=200，每個節(jié)點分別與它左右相鄰的d/2個節(jié)點相連，其中d=4，任意一對節(jié)點之間，隨機加邊的連接概率p=0.01，該電網(wǎng)模型表示為NW_200。

構建BA無標度電網(wǎng)模型[2]：令網(wǎng)絡節(jié)點總數(shù)N=200，初始節(jié)點m0=2構成連通圖，每引入一個新節(jié)點，與網(wǎng)絡中已存在的m=2個節(jié)點相連，該電網(wǎng)模型表示為BA_200。

本節(jié)將采用類Kuramoto模型對NW_200與BA_200系統(tǒng)進行動力學建模，并從電網(wǎng)的同步和穩(wěn)定性兩個方面進行仿真分析，比較三種輸電線路耦合強度分配策略的優(yōu)劣。在NW_200與BA_200網(wǎng)絡中，隨機取20個節(jié)點作為發(fā)電機節(jié)點，剩余節(jié)點為負荷節(jié)點，令負載節(jié)點功率為Pc=-1，根據(jù)電網(wǎng)生產(chǎn)和消耗功率平衡，發(fā)電機節(jié)點功率為Pg=-(Nc*Pc)/Ng，其中Ng=20為發(fā)電機節(jié)點個數(shù)，Nc=180為負載節(jié)點個數(shù)。

5.1 小世界和無標度網(wǎng)絡上三種耦合方式的同步性能比較

本節(jié)將從電網(wǎng)的同步性能角度比較三種輸電線路耦合強度分配策略的優(yōu)劣。如3.1節(jié)所述，EQ、TP、LB三種線路耦合方式下，系統(tǒng)平均臨界同步耦合強度分別用KEQ、KTP、KLB表示。通過仿真實驗計算出三種耦合方式下，各系統(tǒng)平均臨界同步耦合強度，并繪制出電網(wǎng)穩(wěn)態(tài)序參數(shù)r∞、系統(tǒng)平均頻偏ω∞隨系統(tǒng)平均耦合強度〈K〉變化的圖像。仿真結果如圖6、圖7所示：

圖7 BA_200系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)序參數(shù)r∞、平均頻偏ω∞和平均耦合強度〈K〉的關系Fig.7 The relationship between steady state order parameter r∞, average frequency offset ω∞ and the average coupling strength of the BA_200 system

由仿真計算求得，在NW_200系統(tǒng)中，KEQ=1.4，KTP=0.33，KLB=1.84；在BA_200系統(tǒng)中，KEQ=6.9，KTP=1.74，KLB=10.31；從圖6、圖7可以看出，當系統(tǒng)平均耦合強度〈K〉大于等于相應平均臨界同步耦合強度時，系統(tǒng)平均頻偏ω∞=0，電網(wǎng)同步運行；當系統(tǒng)平均耦合強度〈K〉小于相應平均臨界同步耦合強度時，系統(tǒng)平均頻偏ω∞≠0，電網(wǎng)運行在失同步狀態(tài)。仿真結果表明，在以上兩種網(wǎng)絡模型電網(wǎng)中，輸電線路耦合強度按TP方式分配時，系統(tǒng)平均臨界同步耦合強度KTP最小，電網(wǎng)同步性能最好；按LB方式分配時，系統(tǒng)平均臨界同步耦合強度KLB最大，電網(wǎng)同步性能最差；按EQ方式分配時，系統(tǒng)平均臨界同步耦合強度KEQ大于KTP而小于KLB，電網(wǎng)同步性能介于兩者之間。為驗證本文提出的三種耦合策略的科學性，將各系統(tǒng)平均臨界同步耦合強度以表格的形式列出，如表1所示。

表1 三種耦合方式下各系統(tǒng)平均臨界同步耦合強度〈K〉Tab.1 The average critical synchronous coupling strength 〈K〉 of several systems under three coupling modes

由表1可知，以上各仿真系統(tǒng)的同步性能仿真結論具有一致性，即輸電線路耦合強度按TP方式分配時，系統(tǒng)平均臨界同步耦合強度KTP最小，電網(wǎng)同步性能最好；按LB方式分配時，系統(tǒng)平均臨界同步耦合強度KLB最大，電網(wǎng)同步性能最差；按EQ方式分配時，系統(tǒng)平均臨界同步耦合強度KEQ大于KTP而小于KLB，電網(wǎng)同步性能介于兩者之間。

5.2 小世界和無標度網(wǎng)絡上三種耦合方式的穩(wěn)定性能比較

本節(jié)將從電網(wǎng)的穩(wěn)定性能角度比較三種輸電線路耦合強度分配策略的優(yōu)劣，并用系統(tǒng)同步穩(wěn)定運行狀態(tài)下，系統(tǒng)能夠承受的最大抗擾強度ΔPmax來描述電力網(wǎng)絡的穩(wěn)定性能。為比較電力網(wǎng)絡在三種輸電線路耦合強度分配策略下的穩(wěn)定性能，取系統(tǒng)平均耦合強度〈K〉相等，且〈K〉>{KEQ,KTP,KLB}，保證系統(tǒng)運行在同步狀態(tài)，研究系統(tǒng)抗擾能力隨平均耦合強度〈K〉的變化情況。當系統(tǒng)運行到穩(wěn)定狀態(tài)一段時間后，對每個負荷節(jié)點施加擾動功率ΔP，擾動持續(xù)時間Δt=5s，仿真結果如圖8所示。

圖8 三種耦合方式下最大抗擾強度ΔPmax與平均耦合強度〈K〉的關系Fig.8 The relationship between the maximum intensity of the disturbance ΔPmax and average coupling strength 〈K〉 in three coupled modes

由圖8可以看出，在NW_200和BA_200系統(tǒng)中，三種耦合強度分配方式下，系統(tǒng)最大抗擾強度ΔPmax均隨著平均耦合強度〈K〉的增大而增大，即系統(tǒng)穩(wěn)定性均隨著平均耦合強度〈K〉的增大而增強。當系統(tǒng)平均耦合強度〈K〉相等時，TP方式下，系統(tǒng)能夠承受的最大抗擾強度ΔPTPmax最大；LB方式下，系統(tǒng)能夠承受的最大抗擾強度ΔPLBmax最??；EQ方式下，系統(tǒng)能夠承受的最大抗擾強度ΔPEQmax介于兩者之間。由仿真結果可知，輸電線路耦合強度按TP方式分配時，系統(tǒng)抗擾性能最好，穩(wěn)定性最佳；按LB方式分配時，系統(tǒng)抗擾性能最差，穩(wěn)定性最差；按EQ方式分配時，系統(tǒng)抗擾性能介于兩者之間，穩(wěn)定性介于兩者之間。因此，兩種網(wǎng)絡模型上，系統(tǒng)的穩(wěn)定性能仿真結論與IEEE標準網(wǎng)絡一致。

本文的研究表明，對于高功率負載連邊，賦予較大的耦合強度是有利于網(wǎng)絡的同步和穩(wěn)定性的，但對于高介數(shù)連邊，賦予較大的耦合強度卻會弱化網(wǎng)絡的同步和穩(wěn)定性，因此電網(wǎng)作為能量傳輸網(wǎng)絡，一般情況下功率參數(shù)比結構參數(shù)包含更多信息，因而更重要。

6 結論

本文提出三種電力網(wǎng)絡輸電線路耦合強度分配策略，我們采用類Kuramoto模型對電力網(wǎng)絡進行動力學建模，研究三種輸電線路耦合強度分配策略下電力網(wǎng)絡的同步和穩(wěn)定性能的優(yōu)劣，尋求更佳的線路耦合強度分配方案，以提高電力網(wǎng)絡的同步和穩(wěn)定性能。通過在IEEE標準測試網(wǎng)絡、NW小世界網(wǎng)絡和BA無標度網(wǎng)絡進行仿真實驗，研究表明輸電線路耦合強度按等耦合強度下傳輸功率大小重新分配時(TP方式)，電網(wǎng)的同步和穩(wěn)定性能皆為最佳；按傳輸線路介數(shù)大小分配耦合強度時(LB方式)，電網(wǎng)的同步和穩(wěn)定性能均為最差；所有傳輸線路耦合強度相等時，電力網(wǎng)絡的同步和穩(wěn)定性能均優(yōu)于LB方式，而劣于TP方式。本文的研究對于未來電網(wǎng)的改造具有一定指導意義。