吳敏

[摘? 要] 函數的圖像可以形象直觀地描述函數的特征. 如何準確地畫出新函數的圖像是初中階段研究函數的一個難點. 在教學中，教師可以引導學生從函數的代數形式，結合學生已有的學習經驗，幫助學生清晰準確地描述函數的圖像.

[關鍵詞] 函數;函數的圖像;函數的性質;合情猜想;反思

真題呈現

函數y1=x與y2=的圖像如圖1所示，下列關于函數y=y1+y2的結論：①函數的圖像關于原點中心對稱;②當x<2時，y隨x的增大而減小;③當x>0時，函數的圖像最低點的坐標是（2，4）. 其中所有正確結論的序號是______.

[圖1]

結果分析

本題為南京市2017年中考填空題最后一題，難度系數0.47. 不少教師在看到試題后都有一個疑問：題目條件中所給的兩個函數圖像與本題中所求的函數圖像根本就沒有聯系，為什么要給出這個看似無用的條件？反而給學生帶來了困擾.

準確地畫出新函數的圖像是解答本題的關鍵，那么該如何畫出函數的圖像呢？考慮到這些因素，筆者對新函數的教學有一點想法，與大家交流，僅供參考.

教學過程設計

1. 課堂前置練習

請在坐標紙上分別畫出y=x+1，y=，y=（x+2）2+1的圖像，結合圖像來總結如何研究函數、如何來描述函數的圖像.

設計意圖? 幫助學生復習回憶已經學習過的三種函數的圖像及畫圖步驟，為本節(jié)課的新函數提供“源材料”，同時也為下面總結函數圖像及其性質做下鋪墊.

2. 情境創(chuàng)設

你能迅速地畫出y=x+的圖像嗎？y=的圖像呢？

學生回答：不能，我們沒學過上面的函數.

設計意圖? 通過問題的形式，讓學生發(fā)現并思考：對于那些不是我們課本上學習過的新函數該如何去畫圖像？激發(fā)學生探究的欲望，調動學習的興趣，同時引入本節(jié)課的內容.

3. 探索活動

活動一：

問題1：你畫這三個圖像的時候，都經歷了哪些步驟？

學生：列表、描點、連線.

追問1：你畫這三個圖像，各自用了幾個點？

學生：第一個圖像2個點，第二個圖像6個點，第三個圖像5個點.

追問2：用有限個點就能畫出這三個圖像，為什么有限個點就可以畫出函數的圖像？

學生：我們已經知道了函數的形狀.

追問3：那么函數的形狀又是由什么來決定的？

學生：由函數的性質來決定的.

總結：函數的圖像其實是由函數的表達式來決定的. 在初中階段，函數的性質是由圖像來刻畫的. 所以，研究函數的方法：函數的表達式——函數的圖像——函數的性質.

設計意圖? 教師通過連續(xù)的追問，讓學生思考函數的圖像為什么可以通過列表、描點、連線畫出，以及函數的圖像與函數的性質之間的關系，形成“函數的表達式——函數的圖像——函數的性質”三者之間的整體認識，為本節(jié)課畫新函數的圖像提供清晰的思路.

活動二：

問題2：y=的圖像是由兩支圖像組成的，我們稱之為雙曲線，原因是什么？

學生回答：x不能等于0，不能與x軸相交，也不能和y軸相交. （教師板書：x的取值范圍）

追問1：畫函數y=（x+2）2+1的圖像時，你還關注什么？

學生：圖像的頂點（最小值）、對稱軸、單調性.

追問2：請你嘗試概括：如何來描述圖像的性質？

師生：與坐標軸的交點、圖像經過的象限（分布情況）、圖像的增減性、圖像的最值問題、圖像的對稱性、函數的連續(xù)性（直觀）等6個方面，描述函數的性質關鍵在于畫出函數的圖像.

我們能不能結合函數的表達式及我們描述的函數性質的幾個方面，來看一看函數到底長成什么樣？

設計意圖? 通過問題2引導學生去思考函數的圖像形成的原因，啟發(fā)學生關注自變量x的取值范圍;追問1啟發(fā)學生關注函數的圖像的特征，鼓勵學生嘗試從不同角度來概括函數的圖像與性質，進一步理解函數的圖像與性質之間的聯系，提高他們概括、歸納的綜合能力，形成新的知識體系，并利用新的知識去解決問題.

4. 探索新知

請你對函數y=的圖像做出合情猜想.

分析如下：

（1）因為x≠-2，與直線x=-2沒有交點，因此圖像位于這條線的左右兩邊，分成兩段（如圖2）.

[圖2][O][x][y][-2]

（2）當x=0時，y=3，與y軸的交點為（0，3）;y≠0，與x軸沒有交點，只能在x軸的兩側，會在哪些象限？（如圖3）

[圖3][O][x][y][-2]

①x>-2，y>0，在x軸上方，圖像位于第一、二象限;

②x<-2，y<0，在x軸下方，圖像位于第三象限（肯定不過第四象限）

（3）把x+2看成一個整體t，則t=x+2，原函數變?yōu)閥=，結合這兩個圖像t=x+2，y=，請問：y=有最小值、最大值嗎？

①無最大值、無最小值;

②t=x+2中，t隨x的增大而增大，y=隨x的增大而減小. y隨x的增大而減小有兩種方式：以直線方式，以曲線方式（如圖4、圖5）.注：圖4可能，圖5不可能（與x軸有交點）.

學生練習：請畫出y=x+的圖像.

設計意圖? 通過一系列的探索活動，教師的追問及引導，師生共同歸納、總結決定函數圖像的6個方面，學生可以從函數的表達式、已知的性質尋找新函數的特征，結合這些特征就可以大致地了解新函數的模樣，最后再按照列表、描點、作圖的步驟準確地畫出新函數的圖像. 學生通過例題的分析、講解，自主的練習可以熟練地將所學的知識進行實踐，完全符合數學的“理論——實踐——應用”的理念.

5. 回顧總結

如圖7、圖8所示.

進一步的思考

初中階段，對于具體的初等函數（三種），課標的要求是會（能）畫出它們的圖像，并結合函數圖像探索、理解相應的函數性質. 對于練習中出現的其他函數，學生就需要利用已有的學習經驗，自主畫出函數的圖像. 雖然教師在課堂上講解了畫函數圖像的一般步驟（列表——描點——連線），但學生心中根本就不知道函數大概的形狀，因此在連線的過程中根本就不知道該如何去連接——是直線還是曲線，最終所呈現的函數圖像千奇百怪. 進一步的思考可以發(fā)現，學生存在問題的地方不僅僅在連線這一步驟，前面的列表（取值）就會存在問題——該如何取值，取哪些值.

對于本節(jié)課中的某些函數，如果學生在學習正比例函數與一次函數時，深刻掌握函數圖像的平移變換（上下、左右），也可以精確畫出函數的圖像，但是這個對學生的要求更高，需要他們去發(fā)現新函數與所學的基本函數之間的關系. 例如，y=可以由y=向左平移2個單位長度得到;再例如，y=可以由y=向上平移1個單位長度得到;而y=x+，y=這些更復雜的函數就只能通過這次所學習的新函數圖像畫法來畫出它們的圖像.

函數是初中數學學習的重要內容，它是代數與幾何的紐帶. 教育學家皮亞杰的認知發(fā)展階段指出：14～16歲的初中生正好處于形式運算階段（11～16歲），他們開始具有抽象邏輯思維，但是對于函數的性質探索還必須建立在擁有具體圖像的基礎上，結合圖形的特征，歸納相應的性質.

筆者比較了各版本的教材，發(fā)現一次函數圖像為什么是通過生活實例可以得到的一條直線. 例如，人教版路程與時間的比值為定值，單位時間內變化率相同;蘇科版通過香燃燒也可以發(fā)現原因. 武漢市第一初級中學的閔耀明老師還在《中學數學教學參考》中發(fā)表了文章《一次函數圖像為什么是一條直線》. 雖然后面的反比例函數與二次函數書本上也有生活中的實例，但是教師在平時的教學中卻忽略了反比例函數圖像為什么是雙曲線、二次函數圖像為什么是拋物線這一問題，學生只是知道圖形，卻不知道為什么一定是這個圖形. 因此，教師在平時的教學中不能只關注知識的傳遞，更應該關注知識形成的原因與本質.

最后，我們再來看填空題的條件，題目中給出的兩個函數的圖像看似和解題沒有關系，但實質上出題人想讓學生根據已有的知識（圖像）來分析新函數圖像的性質，由已知到未知，利用已經掌握的學習經驗遷移到新的知識上，提高學生分析問題、解決問題的能力，發(fā)展學生的應用意識和能力，提高學生的數學核心素養(yǎng).