異質(zhì)多智能體系統(tǒng)滯后一致性跟蹤控制

李 耿，秦 雯，王 婷，汪 輝, 沈謀全

(南京工業(yè)大學(xué) 電氣工程與控制科學(xué)學(xué)院，南京 211816)(*通信作者電子郵箱qinwen.wts@njtech.edu.cn)

0 引言

近年來(lái)，多智能體系統(tǒng)的分布式協(xié)調(diào)控制問(wèn)題引起了不同學(xué)科的研究人員的關(guān)注[1-3]。一致性問(wèn)題作為合作控制的最基本問(wèn)題之一，它要求所有的智能體通過(guò)相互交流，讓所有智能體的狀態(tài)趨于一致或者相同。很多研究者從各個(gè)角度對(duì)一致性問(wèn)題進(jìn)行了研究[4-9]。其中，基于領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者模型的多智能體系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制問(wèn)題是主要的研究熱點(diǎn)之一。文獻(xiàn)[10]分別考慮了有無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者情況下的多智能體系統(tǒng)一致性問(wèn)題。文獻(xiàn)[11]利用分布式觀測(cè)器研究了領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者的一致性問(wèn)題。針對(duì)切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)[12]研究了帶有時(shí)滯的多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題。隨著深入研究，研究者們發(fā)現(xiàn)由于時(shí)間延遲的廣泛存在，網(wǎng)絡(luò)中的信息傳遞通常不是即時(shí)的?；谶@個(gè)考慮，文獻(xiàn)[13]提出了滯后一致性的概念。滯后一致性表示跟隨者的狀態(tài)向量落后于領(lǐng)導(dǎo)者一段時(shí)間，這使得多智能體系統(tǒng)在有限容量的網(wǎng)絡(luò)中運(yùn)動(dòng)并且不會(huì)堵塞。實(shí)際上，滯后一致性的現(xiàn)象可以模擬許多實(shí)際情況。文獻(xiàn)[14]得出了保證領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)滯后一致的充分條件。文獻(xiàn)[15]基于相鄰智能體的局部信息，提出一種自適應(yīng)反饋控制算法來(lái)實(shí)現(xiàn)二階非線性多智能體系統(tǒng)的滯后一致性。文獻(xiàn)[16]提出了利用牽制控制實(shí)現(xiàn)二階多智能體系統(tǒng)的滯后一致性。上述所有的結(jié)果都是關(guān)于具有相同的動(dòng)力學(xué)模型的多智能體。然而實(shí)際應(yīng)用中，一方面自然界個(gè)體和人造工程系統(tǒng)無(wú)論在功能上還是結(jié)構(gòu)上都存在差異，智能體的動(dòng)力學(xué)很可能是彼此不同的，比如由于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)不同的衰減系數(shù)或不同的質(zhì)量，兩個(gè)二階智能體的動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)是相同的，但是參數(shù)卻可能是不同的。另一方面由于群體智能體的共同目的或者通信和執(zhí)行能力的互異性，耦合智能體的動(dòng)力學(xué)模型可能會(huì)不同[17-18]，因此研究異構(gòu)多智能體系統(tǒng)的群集控制具有重大的理論價(jià)值和應(yīng)用前景[19-20]。近年來(lái)，越來(lái)越多的人關(guān)注一類(lèi)異質(zhì)多智能體系統(tǒng)——由一階和二階智能體組成的混合階多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題[21-22]。和高階或者一般混合階多智能體系統(tǒng)的研究工作相比，混合階多智能體系統(tǒng)一致性研究的工具和手段不同。一方面，前者由于模型簡(jiǎn)單，更容易得到比較直觀、簡(jiǎn)單的理論;另一方面，由一階和二階智能體組成的混合階多智能體系統(tǒng)包含有廣泛研究結(jié)論的一階智能體系統(tǒng)和二階智能體系統(tǒng)作為特殊情形。因此，關(guān)于混合階多智能體系統(tǒng)一致性問(wèn)題的研究具有一定的理論和實(shí)際意義。

受文獻(xiàn)[16,22]的啟發(fā)，本文研究領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的滯后一致性。文獻(xiàn)[16]研究了具有動(dòng)態(tài)領(lǐng)導(dǎo)者的二階多智能體系統(tǒng)的滯后一致性問(wèn)題，但是所有的智能體擁有相同的動(dòng)力學(xué)模型。本文旨在將文獻(xiàn)[16]討論的結(jié)果擴(kuò)展到由一階和二階智能體組成的混合階多智能體系統(tǒng)的情況。首先，針對(duì)由一階和二階動(dòng)力學(xué)模型組成的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)，提出一種基于牽制控制的分布式一致性控制協(xié)議，來(lái)實(shí)現(xiàn)異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的滯后一致。通過(guò)模型轉(zhuǎn)換，將原始系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為等效系統(tǒng)以便進(jìn)行理論分析。其次，利用圖論和Lyapunov穩(wěn)定性理論證明所設(shè)計(jì)的協(xié)議在固定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下是可行的，并且給出了基于線性矩陣不等式形式的充分條件，保證了異質(zhì)多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者滯后一致性。然后，將得到的結(jié)果擴(kuò)展到切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的情況。數(shù)值仿真驗(yàn)證了所提方法的有效性。

1 預(yù)備知識(shí)與模型引入

本章介紹了圖論知識(shí)[23]并引入了模型。

符號(hào)說(shuō)明 本文中，X=diag{x1,x2,…，xn}表示矩陣是以xi為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣。R表示實(shí)數(shù)集合，Rn是n維歐幾里得空間，Rm×n表示m×n維的實(shí)數(shù)矩陣。Im和0m分別表示m維的單位矩陣和零矩陣。

本文針對(duì)智能體系統(tǒng)中個(gè)體在動(dòng)力學(xué)上的差異性，將其分為一階和二階智能體，研究混合階多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題?？紤]由一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者和n個(gè)異構(gòu)跟隨者組成的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)，動(dòng)態(tài)領(lǐng)導(dǎo)者表示為：

(1)

其中x0(t)∈Rl和v0(t)∈Rl分別表示動(dòng)態(tài)領(lǐng)導(dǎo)者的位置和速度。

下面給出由一階和二階智能體組成的混合階跟隨者。前m個(gè)智能體是二階的，后n-m個(gè)智能體是一階的。異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的方程為：

(2)

其中：xi(t)∈Rl和ui(t)∈Rl分別表示跟隨者i的位置和控制輸入；vi(t)∈Rl代表二階智能體的速度。

為方便理論分析，本文假設(shè)l=1。l>1時(shí)相關(guān)理論可以用克羅內(nèi)克積進(jìn)行推廣。

定義1 若存在常數(shù)τ>0， 使得：

則稱(chēng)異質(zhì)多智能體式(1)和(2)能夠?qū)崿F(xiàn)領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者滯后一致性。

本文研究的目的是基于牽制控制思想設(shè)計(jì)分布式控制協(xié)議，使得異質(zhì)多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)滯后一致性。

2 異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的滯后一致性控制

2.1 固定拓?fù)湎骂I(lǐng)導(dǎo)-跟隨者滯后一致性控制

首先考慮在固定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下，擁有動(dòng)態(tài)領(lǐng)導(dǎo)者的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的滯后一致性。設(shè)計(jì)基于鄰居信息的滯后一致性協(xié)議如下：

ui(t)=

(3)

其中:A=[aij]n×n表示固定拓?fù)鋱DG的鄰接矩陣;c1>0,c2>0是控制參數(shù);(x0(t-τ)-xi(t))和(v0(t-τ)-vi(t))兩部分是為了使跟隨者與動(dòng)態(tài)領(lǐng)導(dǎo)者之間分別實(shí)現(xiàn)位置和速度的滯后一致性。本文采用了牽制控制策略。當(dāng)智能體i能接收到領(lǐng)導(dǎo)者的信息，則bi>0;否則bi=0。 通過(guò)協(xié)議式(3)，帶有動(dòng)態(tài)領(lǐng)導(dǎo)者的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)能夠達(dá)到滯后一致。

注1 本文采用了牽制控制思想，當(dāng)?shù)趇個(gè)智能體的節(jié)點(diǎn)需要被牽制，則局部反饋增益bi>0。對(duì)于大型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，通常需要通過(guò)對(duì)所有節(jié)點(diǎn)添加控制器來(lái)控制它，這樣一般是很難做到的，并且花費(fèi)的價(jià)格高昂，而牽制控制可以有效改善這種情況。

將式(3)代入式(2)，并整理可得:

(4)

引理1[24]線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality, LMI)為：

其中，Q(x)=QT(x),R(x)=RT(x)，它等價(jià)于下面的任何一種情況：

1)Q(x)<0,R(x)-ST(x)Q-1(x)S(x)<0。

2)R(x)<0,Q(x)-ST(x)R-1(x)S(x)<0。

定理1 考慮帶有動(dòng)態(tài)領(lǐng)導(dǎo)者式(1)的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)式(2)，假設(shè)固定拓?fù)湎碌膭?dòng)態(tài)領(lǐng)導(dǎo)者是全局可達(dá)點(diǎn)。對(duì)于任意的初始狀態(tài)，如果存在常數(shù)c1>0,c2>0和正定矩陣P1滿(mǎn)足以下線性矩陣不等式：

(5)

其中E1=

則異質(zhì)多智能體系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)滯后一致性。

(6)

其中E1=

通過(guò)式(4)，可將多智能體系統(tǒng)式(1)、(2)的一致性跟蹤控制問(wèn)題的研究轉(zhuǎn)換為分析誤差方程式(6)的穩(wěn)定性。

針對(duì)誤差系統(tǒng)式(6)，選取Lyapunov函數(shù)V(t)=yT(t)P1y(t)，其中P1是一個(gè)正定矩陣。

對(duì)V(t)求導(dǎo)得:

(E1y(t))TP1y(t)+yT(t)P1(E1y(t))=

考慮靜態(tài)領(lǐng)導(dǎo)者的情況，得到以下推論。

推論1 考慮具有靜態(tài)領(lǐng)導(dǎo)者(v0(t)=0)的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)式(2)，假設(shè)靜態(tài)領(lǐng)導(dǎo)者在固定拓?fù)湎率侨挚蛇_(dá)點(diǎn)。對(duì)于任意初始狀態(tài)，若存在常數(shù)c1>0,c2>0和一個(gè)正定矩陣P1滿(mǎn)足線性矩陣不等式(5)，則帶有靜態(tài)領(lǐng)導(dǎo)者的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)式(2)在固定拓?fù)湎履苓_(dá)到領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者滯后一致。

注2 對(duì)于特殊情況v0(t)=0， 領(lǐng)導(dǎo)者是靜態(tài)的。推論1的證明過(guò)程與定理1的證明類(lèi)似。在此略。

2.2 切換拓?fù)湎骂I(lǐng)導(dǎo)-跟隨者滯后一致性控制算法

對(duì)于異質(zhì)多智能體系統(tǒng)式(2)和動(dòng)態(tài)領(lǐng)導(dǎo)者式(1)，設(shè)計(jì)切換拓?fù)湎禄卩従有畔⒌臏笠恢滦詤f(xié)議如下：

ui(t)=

(7)

根據(jù)式(2)和式(7)，可以得到:

(8)

定理2 考慮切換拓?fù)湎聨в袆?dòng)態(tài)領(lǐng)導(dǎo)者式(1)的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)式(2)，假設(shè)每個(gè)拓?fù)湎碌念I(lǐng)導(dǎo)者是全局可達(dá)點(diǎn)。對(duì)于任意的初始狀態(tài)，如果存在常數(shù)k1>0,k2>0和正定矩陣P2滿(mǎn)足如下線性矩陣不等式：

(9)

其中σ=1,2,…,N,并且:

則異質(zhì)多智能體系統(tǒng)能實(shí)現(xiàn)滯后一致性。

(10)

經(jīng)過(guò)從系統(tǒng)式(2)到方程組式(8)的轉(zhuǎn)化，并把系統(tǒng)式(8)轉(zhuǎn)換為與誤差向量y(t)有關(guān)的方程式(10)，將對(duì)多智能體的一致性分析轉(zhuǎn)化為對(duì)誤差系統(tǒng)式(10)的穩(wěn)定性分析。

在切換拓?fù)湎?，根?jù)誤差系統(tǒng)式(10)選取Lyapunov函數(shù)V(t)=yT(t)P2y(t)， 其中P2是正定矩陣。

對(duì)V(t)求導(dǎo)得：

推論2 考慮切換拓?fù)湎戮哂徐o態(tài)領(lǐng)導(dǎo)者(v0(t)=0)的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)式(2)，假設(shè)靜態(tài)領(lǐng)導(dǎo)者在每個(gè)拓?fù)湎率侨挚蛇_(dá)點(diǎn)。對(duì)于任意初始狀態(tài)，若存在常數(shù)k1>0,k2>0和一個(gè)正定矩陣P2滿(mǎn)足線性矩陣不等式(9)，則帶有靜態(tài)領(lǐng)導(dǎo)者的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)式(2)在切換拓?fù)湎逻_(dá)到領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者的滯后一致。

注3 如果τ=0， 那么得出的結(jié)論與文獻(xiàn)[22]類(lèi)似，即跟隨者可以與領(lǐng)導(dǎo)者達(dá)到完全的恒同一致。

3 數(shù)值仿真

在本章中，采用數(shù)值例子來(lái)驗(yàn)證理論算法的有效性。

例1 考慮固定拓?fù)湎聨в袆?dòng)態(tài)領(lǐng)導(dǎo)者式(1)的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)式(2)在一維空間的情況。

圖1 6個(gè)智能體之間的固定拓?fù)鋱DFig. 1 Fixed topology graph between six agents

由圖1可以得到以下的鄰接矩陣A和B：

易證明，選擇參數(shù)c1=1,c2=1,τ=6可以滿(mǎn)足定理1的條件，并通過(guò)Matlab中LMI工具箱可以得到LMI式(5)的解如下正定矩陣：

圖2 固定拓?fù)湎庐愘|(zhì)多智能體的位置軌跡Fig. 2 Position trajectory of heterogeneous multi-agent under fixed topology

圖2中的xi(t)(i=1,2,3)表示二階智能體的位置軌跡，x4(t)、x5(t)表示一階智能體的位置軌跡。從圖2可知，當(dāng)時(shí)間到達(dá)60 s以后，跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者達(dá)到滯后一致。圖3表明滯后位置和速度誤差漸近收斂到0，也就是說(shuō)，用設(shè)計(jì)的協(xié)議式(3)可以使異質(zhì)多智能體系統(tǒng)在固定拓?fù)湎聦?shí)現(xiàn)領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者滯后一致性。

圖3 固定拓?fù)湎碌臏笪恢谜`差和滯后速度誤差Fig. 3 Lag position error and lag velocity error under fixed topology

情況2 考慮1個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者和8個(gè)跟隨者組成的多智能體系統(tǒng)，全局可達(dá)的領(lǐng)導(dǎo)者標(biāo)記為0，二階智能體標(biāo)記為1、2、3、4和5，一階智能體標(biāo)記為6、7和8。

從圖4可知，8個(gè)跟隨者跟蹤上了領(lǐng)導(dǎo)者并且始終滯后領(lǐng)導(dǎo)者τ=6 s時(shí)間，即達(dá)到滯后一致性。

圖4 固定拓?fù)湎?個(gè)智能體滯后跟蹤領(lǐng)導(dǎo)者的位置軌跡Fig. 4 Position trajectory of eight agents lag tracking leader under fixed topology

例2 考慮切換拓?fù)湎聨в袆?dòng)態(tài)領(lǐng)導(dǎo)者式(1)的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)式(2)在一維空間的情況。

圖5 三種可能的拓?fù)鋱DFig. 5 Three possible topologies

容易證明通過(guò)選擇k1=1,k2=1,τ=2可以滿(mǎn)足定理2的條件，并利用Matlab求得LMI式(9)的解：

其中正定矩陣P2是對(duì)應(yīng)于3個(gè)切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)時(shí)LMI的共同解。仿真結(jié)果如下：圖6表示了跟隨者的位置軌跡滯后領(lǐng)導(dǎo)者一段時(shí)間τ=2。圖7表明滯后位置和速度誤差漸近收斂到0，即用設(shè)計(jì)的協(xié)議式(7)可以使帶領(lǐng)導(dǎo)者的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)在切換拓?fù)湎逻_(dá)到滯后一致。

圖6 切換拓?fù)湎庐愘|(zhì)多智能體滯后跟蹤領(lǐng)導(dǎo)者的位置軌跡Fig. 6 Position trajectory of heterogeneous multi-agent lag tracking leader under switching topology

注4 本文考慮了更加符合實(shí)際應(yīng)用的滯后一致性的情況。汽車(chē)行駛過(guò)程中，如果讓領(lǐng)頭的車(chē)輛先行，后面跟隨的車(chē)輛與領(lǐng)頭的車(chē)輛保持一定的滯后，這樣就可以緩解擁堵的情況。本文將文獻(xiàn)[21]中結(jié)論擴(kuò)展到滯后一致性的情況，并在例子中擴(kuò)大了智能體的規(guī)模，更有效地驗(yàn)證了分布式控制。相比于文獻(xiàn)[21]讓所有跟隨者能獲得領(lǐng)導(dǎo)者的速度信息，本文只讓部分跟隨者獲得領(lǐng)導(dǎo)者的位置和速度信息。

圖7 切換拓?fù)湎碌臏笪恢谜`差和滯后速度誤差Fig. 7 Lag position error and lag velocity error under switching topology

情況2 考慮9個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的多智能體系統(tǒng)。全局可達(dá)的領(lǐng)導(dǎo)者標(biāo)記為0，二階智能體分別標(biāo)記為1、2、3、4和5，一階智能體分別標(biāo)記為6、7和8。

圖8 切換拓?fù)湎?個(gè)多智能體滯后跟蹤領(lǐng)導(dǎo)者的位置軌跡Fig. 8 Position trajectory of eight agents lag tracking leader under switching topology

注5 由于智能體之間的信息傳輸中常存在通信時(shí)延，下面考慮通信時(shí)延為0.001 s，得到仿真結(jié)果如圖9所示。

圖9 帶有通信時(shí)滯的異質(zhì)多智能體滯后跟蹤領(lǐng)導(dǎo)者的位置軌跡Fig. 9 Position trajectory of heterogeneous multi-agent lag tracking leader with delay in communication

從圖9可以看出，當(dāng)系統(tǒng)存在通信時(shí)延時(shí)，采用本文的控制協(xié)議可以使多智能體實(shí)現(xiàn)領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者滯后一致性。

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的滯后一致性問(wèn)題，本文提出了基于牽制控制思想的分布式一致性控制協(xié)議。基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和圖論，給出了在固定拓?fù)浜颓袚Q拓?fù)湎聦?shí)現(xiàn)領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者滯后一致性的充分條件。數(shù)值仿真驗(yàn)證了在固定拓?fù)浜颓袚Q拓?fù)湎碌睦碚撍惴ǖ挠行?。本文考慮了動(dòng)態(tài)領(lǐng)導(dǎo)者速度已知的情況，但是在更一般情況下，跟隨者不能獲得領(lǐng)導(dǎo)者的速度，另外，實(shí)際智能體之間的通信延時(shí)是不可避免的情況，在今后工作中，我們將設(shè)計(jì)分布式控制協(xié)議，考慮帶有通信時(shí)延和寬帶受限因素，研究領(lǐng)導(dǎo)者速度未知情況下多智能體系統(tǒng)滯后一致性。