鄭 濤,郭秀云

(上海大學(xué)理學(xué)院,上海200444)

冪圖是通過群G的冪結(jié)構(gòu)定義的圖,即以群的全部元素作為圖的頂點(diǎn),不同頂點(diǎn)x與y有邊相連當(dāng)且僅當(dāng)x=ym或y=xm,其中m∈N?.冪圖最早是在2002年由Kelarev和Quinn在半群中研究的,即半群中的不同元素x與y存在弧x→y當(dāng)且僅當(dāng)y=xm,其中m∈N?[1].對(duì)于抽象有限群,2009年Chakrabarty等[2]開始考慮乘法半群Zn和其單位群Un的冪圖,并決定了其為完全圖、可平面圖以及Hamilton圖的條件.2010年,Cameron[3]證明了兩個(gè)有限群無向冪圖同構(gòu)與有向冪圖同構(gòu)等價(jià).此外,2011年Cameron等[4]證明了有限交換群的冪圖同構(gòu)則群同構(gòu).考慮到冪零群、內(nèi)冪零群以及內(nèi)交換群在有限群研究中的重要地位,研究這三類群的冪圖在一定程度上有助于人們進(jìn)一步研究一般有限群的冪圖結(jié)構(gòu)以及群與圖的關(guān)系.本工作基于2013年Chelvam等[5]關(guān)于有限交換群冪圖的研究和2015年Doostabadi等[6]以及Pourgholi等[7]關(guān)于冪零群真冪圖研究的一系列相關(guān)成果,對(duì)上述三類群的冪圖性質(zhì)與結(jié)構(gòu)進(jìn)行探究.

本工作主要是研究?jī)缌闳?、?nèi)冪零群以及內(nèi)交換群所對(duì)應(yīng)冪圖的一系列圖論性質(zhì).由于這類群結(jié)構(gòu)比較清晰,可以對(duì)其相應(yīng)冪圖或真冪圖的性質(zhì)作進(jìn)一步研究,主要從能否為線圖、獨(dú)立數(shù)性質(zhì)、可平面性以及連通性等角度討論.特別地,由于一般群G的任意元素都與單位元相連,故在考察連通性時(shí)僅對(duì)真冪圖P?(G)進(jìn)行討論.

1 準(zhǔn)備工作

假定本工作中出現(xiàn)的群皆為有限群,所用到的一系列符號(hào)與定義如下.V(Γ),E(Γ)分別表示圖Γ的頂點(diǎn)集合與邊集合.設(shè)G為有限群,用P(G)以及P?(G)分別表示群相應(yīng)的冪圖與真冪圖,其中真冪圖是冪圖去掉單位元頂點(diǎn)后所誘導(dǎo)的子圖.K5為5個(gè)點(diǎn)的完全圖,K3,3為由兩個(gè)含3個(gè)元素的集合構(gòu)成的二部圖.此外,設(shè)Γ1,Γ2為兩個(gè)圖,則Γ1∪Γ2表示以V=V(Γ1)∪V(Γ2)為新的頂點(diǎn)集,以 E=E(Γ1)∪E(Γ2)為新的邊集所得到的圖;Γ1+ Γ2表示在Γ1∪Γ2的基礎(chǔ)上還滿足Γ1中所有點(diǎn)與Γ2中所有點(diǎn)相連的圖.圖Γ的線圖L(Γ)是一個(gè)圖,其全部頂點(diǎn)是Γ的所有邊并且當(dāng)邊e=uv和f=vw在Γ中出現(xiàn)時(shí)才有ef∈E(L(G)).圖Γ中一個(gè)頂點(diǎn)子集合稱為是獨(dú)立的,如果該集合中任意兩頂點(diǎn)都不鄰接.圖Γ的點(diǎn)獨(dú)立數(shù)β(Γ)定義為Γ中點(diǎn)獨(dú)立集的最大基數(shù).圖Γ稱為一個(gè)平面圖,如果Γ能夠畫在一個(gè)平面上而使得任何兩條邊都不會(huì)交叉.對(duì)于圖Γ中的兩點(diǎn)x與y,用x～y表示兩個(gè)不同頂點(diǎn)有邊相連,用x?y表示兩頂點(diǎn)或者x=y或者x～y,用x/～y表示頂點(diǎn)不相連,d(x,y)表示兩頂點(diǎn)間距離.此外,diam(Γ)表示圖Γ的連通直徑,k(Γ)表示其連通分支個(gè)數(shù).設(shè)群G為p群,s1(G)表示其p階子群的個(gè)數(shù).下面給出主要應(yīng)用的引理.

引理1[8]圖G是某圖的線圖當(dāng)且僅當(dāng)圖G不具有圖1中9種形式的誘導(dǎo)子圖.

圖1 9種誘導(dǎo)子圖Fig.1 9 induced subgraphs

引理2[2]設(shè)G是有限群,則其冪圖P(G)是完全圖當(dāng)且僅當(dāng)G為pm階循環(huán)群,其中p為素?cái)?shù),m∈N.

引理 3[5]設(shè)G為群,且|G|=,其中p1,p2,···,pn是一些互不相同的素?cái)?shù),則群G的獨(dú)立數(shù)β(P(G))≥n.

引理4[8]K5和K3,3是不可平面圖.

引理5[9]設(shè)G是有限群,則其冪圖P(G)可平面化當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)元素的階屬于集合{1,2,3,4}.

引理6[6]設(shè)G是有限p群,則其真冪圖P?(G)的連通分支與G的p階子群一一對(duì)應(yīng).

引理7[10]設(shè)G是內(nèi)冪零群,則G有下列性質(zhì):

(1)|G|=pnqm,p/=q均為素?cái)?shù),且適當(dāng)選擇符號(hào)便有G的Sylow p-子群PG,而Sylow q-子群循環(huán),故QG,并有Φ(Q)≤Z(G);

(2)Φ(P)≤Z(G),特別地c(P)≤2;

(3)若p＞2,則exp(G)=p,而若p=2,則exp(P)≤4.

2 主要結(jié)果

下面分別對(duì)冪零群、內(nèi)冪零群以及內(nèi)交換群的冪圖或真冪圖進(jìn)行討論.一般地給出了有限群的冪圖為某圖之線圖的充要條件,研究了相應(yīng)冪圖獨(dú)立數(shù)的臨界取值與可平面化的充要條件以及相應(yīng)真冪圖的連通性.

定理1 設(shè)G為有限群,則冪圖P(G)是某圖的線圖當(dāng)且僅當(dāng)G為素?cái)?shù)冪階循環(huán)群.

證明 必要性:設(shè)有限群G的冪圖P(G)是某圖的線圖,下面分三步證明結(jié)論.

(1)群G的Sylow子群皆循環(huán).設(shè)P為Sylow p-子群,由p群的計(jì)數(shù)定理(見文獻(xiàn)[11]中定理8.8)可知p階子群的個(gè)數(shù)s1(G)≡1(mod p).若s1(G)/=1,則s1(G)≥1+p≥3.取x,y,z∈G分別為3個(gè)不同p階子群的生成元,冪圖P(G)在頂點(diǎn)子集H={1,x,y,z}上誘導(dǎo)的子圖P(H)為爪形圖,由引理1知不可能是某個(gè)圖的線圖,矛盾.故P有唯一極小子群,從而P是循環(huán)群或者廣義四元數(shù)2群(見文獻(xiàn)[10]中定理5.7.1).若群G=〈a,b:a2n-1=1,b2=a2n-2,b-1ab=a-1〉為廣義四元數(shù)2群,冪圖P(G)在頂點(diǎn)子集K={1,a,b,ba}上誘導(dǎo)爪形子圖P(K),即P(G)不是線圖,從而P為循環(huán)群.

(2)群G的Sylow子群皆正規(guī).若否,存在一個(gè)Sylow子群不正規(guī),不妨設(shè)PG,此時(shí)群G的Sylow p-子群的個(gè)數(shù)np≥1+p≥3,取x,y,z為3個(gè)不同的循環(huán)Sylow p-子群的生成元,則子集合M={1,x,y,z}在冪圖P(G)中誘導(dǎo)的子圖P(M)為爪形圖,即P(G)不是某個(gè)圖的線圖,矛盾.

必要性得證.

圖2 誘導(dǎo)子圖P(N)Fig.2 Induced subgraph P(N)

充分性:若G是素?cái)?shù)冪階循環(huán)群,由引理2知冪圖P(G)為完全圖,自然可看作星圖K1,|G|的線圖,充分性顯然.

定理 2 設(shè)冪零群G=P1×P2×···×Pn,其中Pi為群G的Sylow pi-子群,則其冪圖P(G)的獨(dú)立數(shù)β(P(G))=n當(dāng)且僅當(dāng)G為階是p1p2p3或p1rp2或pr1的循環(huán)群,其中pi(i=1,2,3)均為素?cái)?shù),r∈N.

證明 必要性:由于G有n個(gè)不同的素因子,由引理3可知冪圖P(G)必存在含有n個(gè)元素的點(diǎn)獨(dú)立集.又已知β(P(G))=n,則群G的每個(gè)Sylow p-子群皆為循環(huán)群.設(shè),當(dāng)n≥4時(shí),在集合{g∈G:o(g)=pipj,1≤i,j≤n,i/=j}中即可找到含n+1個(gè)元素的點(diǎn)獨(dú)立集,矛盾.從而n≤3.當(dāng)n=1時(shí),因?yàn)棣?P(G))=1,G必為素?cái)?shù)冪階循環(huán)群;當(dāng)n=2時(shí),若r1,r2≥2且o(x)=,o(y)=,則有{x,y,xp1yp2}為G的勢(shì)為3的點(diǎn)獨(dú)立集,矛盾,從而至多只有一個(gè)素因子冪指數(shù)大于等于2,即|G|=;當(dāng)n=3時(shí),應(yīng)用前述方法可知|G|=若r1≥2,設(shè)o(x)=,o(y)=p2,o(z)=p3,則有{xp1y,xp1z,x,yz}為一個(gè)勢(shì)為4的點(diǎn)獨(dú)立集,矛盾,從而|G|=p1p2p3.

充分性:若G為階是p1p2p3或的循環(huán)群,下面依次討論.

(1)當(dāng)|G|=p1p2p3時(shí),P(G)～=K1+(K?(p1p2p3)+K),其中K如圖3所示,可以驗(yàn)證獨(dú)立數(shù)β(P(G))=3;

(2)當(dāng)|G|=p1rp2時(shí),Γ=K1+(Kpr1-1∪Kpr1(p2-1))是P(G)的子圖且β(Γ)=2.又子圖Γ的頂點(diǎn)集V(Γ)=V(P(G)),邊集E(Γ)? E(P(G)),則β(P(G))=2;

(3)當(dāng)|G|=pr1時(shí),P(G)～=Kpr1為完全圖,獨(dú)立數(shù)β(P(G))=1.

圖3 抽象圖KFig.3 Abstract graph K

定理3 冪零群G的冪圖P(G)可平面化當(dāng)且僅當(dāng)群方次數(shù)exp(G)=3或exp(G)整除4.

證明 必要性:若有限群G的冪圖P(G)可平面化,由引理5可知群元素的階只能取自集合{1,2,3,4}.又G冪零,則G只能為2群或3群,故有exp(G)=3或exp(G)整除4.

充分性:若exp(G)=3,作出其冪圖P(G)～=K1+lK2;若exp(G)整除4,其冪圖為P(G)～=K1+(mK1∪nK3),其中l(wèi),m,n∈N,顯然二者均可平面化.

定理4 內(nèi)冪零群G=PQ,其中P為正規(guī)Sylow p-子群,Q為循環(huán)Sylow q-子群(見引理7),則其冪圖P(G)可平面化當(dāng)且僅當(dāng)G為以下情形之一:

(1)G是Frobenius群且滿足P為初等交換2群,Q為3階循環(huán)群;

(2)G是Frobenius群且滿足P為初等交換3群,Q為2階循環(huán)群.

證明 必要性:由于內(nèi)冪零群G的冪圖可平面化,由引理5可得{p,q}={2,3}.

Case 1.p=2,q=3.先證明CP(Q)=1.若否,則可取x∈CP(Q),o(x)=2與y∈Q,o(y)=3,顯見子群H=〈x〉×〈y〉誘導(dǎo)的子圖P(H)含有K3,3,由引理4可知不可平面化,矛盾.此時(shí)P為初等交換2群,又由于Q為3階循環(huán)群,故Q在P上作用為無不動(dòng)點(diǎn)自同構(gòu),即G為Frobenius群.

Case 2.p=3,q=2.先證明|Q|=2.若否,顯然|Q|=4,可取x∈P,o(x)=3與y∈Q,o(y)=4,因G內(nèi)冪零,則有子群H=〈x〉×〈y2〉誘導(dǎo)的子圖P(H)含有K3,3,從而可得冪圖不可平面化,矛盾.故|Q|=2,類似Case 1可以證明CP(Q)=1,則有P為初等交換3群且G為Frobenius群.

充分性:命題中兩種情形相應(yīng)的冪圖P(G)～=K1+(mK1∪nK2),其中m,n∈N,從而可平面化.

定理5 有限群G=PQ為內(nèi)冪零群,其中P為正規(guī)Sylow p-子群,Q為循環(huán)Sylow q-子群.設(shè)|G|=pnqm,則其真冪圖P?(G)的連通性有如下結(jié)論.

Case 1.m≥2,真冪圖P?(G)連通且滿足:

(1)若P是循環(huán)群或廣義四元數(shù)2群,diam(P?(G))≤3;

(2)若P既不循環(huán)也不是廣義四元數(shù)2群,diam(P?(G))≤4.

Case 2.m=1,設(shè) Q= 〈a〉,真冪圖 P?(G)滿足:

(1)若CP(a)=1,則P?(G)不連通且連通分支個(gè)數(shù)k(P?(G))=

(2)若CP(a)＞1,則P?(G)的連通分支個(gè)數(shù)為k(P?(G))=s1(P)-s1(Φ(P))+1.

證明 Case 1.m ≥ 2,設(shè)Q= 〈a〉,令Q1= 〈aq〉,則G1=P ×Q1冪零,根據(jù)文獻(xiàn)[6]中定理2.6可知,其真冪圖連通且滿足若P是循環(huán)群或廣義四元數(shù)2群,diam(P?(G1))=2;若P既不是循環(huán)群也不是廣義四元數(shù)2群,diam(P?(G1))=4.任取不同兩點(diǎn)g1,g2∈G,下面在兩種情形下討論真冪圖P?(G)的連通性.

(1)P是循環(huán)群或廣義四元數(shù)2群.若p∈π(o(g1))π(o(g2))則存∩在m1∈N?使得o()=p滿足g1?? g2,即 d(g1,g2)≤ 2;若q∈ π(o(g1))π(o(g2))則存在m2,m3∈N?滿足o()=q.由Q1的正規(guī)性可知其包含在群G的任意一個(gè)Sylow q-子群中,從而,即d(g1,g2)≤2.若g1為p元素,g2為q元素,當(dāng)o(g2)＜qm時(shí),構(gòu)造g1～g1g2～g2;當(dāng)o(g2)=qm時(shí),構(gòu)造,故d(g1,g2)≤3.綜合上述3種情況可知d(g1,g2)≤3.∩

(2)P既不是循環(huán)群也不是廣義四元數(shù)2群.若q∈π(o(g1))π(o(g2)),由(1)可知d(g1,g2)≤2.若g1是p元素且q∈π(o(g2)),存在m4∈N?使得1＜o(jì)()＜qm,則g1～? g2,即d(g1,g2)≤ 3.若g1,g2均為p元素,g1～ g1μ ～ μ(∈ Q1)～ g2μ ～ g2.綜合上述3種情況可知d(g1,g2)≤4.

故內(nèi)冪零群真冪圖P?(G)連通且直徑diam(P?(G))≤3或4.

(1)CP(a)=1,則〈a〉為P的無不動(dòng)點(diǎn)自同構(gòu)群,從而G為Frobenius群,且Φ(P)=CP(a)=1,此時(shí)P初等交換群且G=.故易得其真冪圖P?(G)的連通分支數(shù):

(2)CP(a)/=1,考慮商群G=G/Φ(P)=P/Φ(P)(〈a〉Φ(P))/Φ(P),則由文獻(xiàn)[10]中定理其中l(wèi)=|P|.進(jìn)而有 G=P Φ(P)QΦ(P)Qh2··· Φ(P)Qhl.又Φ(P)=CP(a)/=1,頂點(diǎn)集連通且連接P中與Φ(P)相連的頂點(diǎn),故P?(G)的連通分支個(gè)數(shù)為k(P?(G))=s1(P)-s1(Φ(P))+1.

定理6 設(shè)內(nèi)交換群G=PQ,其中P為正規(guī)Sylow p-子群,Q為循環(huán)Sylow q-子群,|G|=pnqm,則其冪圖P(G)的獨(dú)立數(shù)β(P(G))≥q+1且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)以下情形之一成立:

(1)當(dāng)m≥2時(shí),Sylow q-子群個(gè)數(shù)為q+1;

(2)當(dāng)m=1時(shí),G ～=S3或G為2n(2n-1)階Frobenius群,其中Sylow 2-子群正規(guī),2n-1為素?cái)?shù).

證明 對(duì)于G=PQ,考慮Q在P上的作用,則有P=CP(Q)×[P,Q](見文獻(xiàn)[10]中定理8.2.7).若CP(Q)＞1,則[P,Q]＜P,從而G交換,矛盾.故CP(Q)=1,P是初等交換p群,取P中的p階子群的生成元代表A={x1,x2,···,xt},其中t=又循環(huán)群Q非正規(guī),由Sylow第三定理可知其Sylow q-子群的個(gè)數(shù)至少∪為q+1,取出這q+1個(gè)循環(huán)群的生成元代表B={y1,y2,···,ys},其中s=q+1,顯然AB即構(gòu)成了勢(shì)為q+1的點(diǎn)獨(dú)立集,不等式顯然成立.下面考慮等號(hào)成立條件.

必要性:若m ≥2,由于Sylow q-子群的個(gè)數(shù)nq≥q+1,若不等號(hào)嚴(yán)格成立,用上述方法可以得到勢(shì)至少為t+2q+1的點(diǎn)獨(dú)立集,矛盾,即nq=q+1.若m=1,由CP(Q)=1可知Q在P上的作用是無不動(dòng)點(diǎn)的,此時(shí)G為Frobenius群,相應(yīng)的Frobenius分劃為 〉取點(diǎn)獨(dú)立集D={x1,···,xt,y,yg2,···,yg|P|},若要使等號(hào)成立必須有 t+|P|≤ t+q+1,又 q+1||P|,故得|P|=q+1,若p是奇素?cái)?shù),顯然q=2,|P|=3,此時(shí)G為非交換的6階群,即G～=S3.若p=2,則有q=2n-1為素?cái)?shù),此時(shí)G為2n(2n-1)階Frobenius群.

充分性:當(dāng)m≥2時(shí),群G中不存在階為pαqm(α/=0)的元素,若否,則與CP(Q)=1矛盾. 設(shè)集族容易驗(yàn)證任意g∈G都屬于該集族中某個(gè)元素.對(duì)于S的子族至多可選擇 t個(gè)群 G 中元彼此不相連. 若否,存在 g1/～ g2且不妨設(shè)〉均為 Sylow q-子群, 存在g=,u ∈ N,a ∈ P, 使得 〈y2〉= 〈y1〉g= 〈y1〉a,即存在 v ∈ N,y2=y1av, 此時(shí)〉.又 c≡ 1(mod p),c≡ v(mod qm-1),由孫子定理[13]可得 c有解,故因o(g1),o(g2)有整除關(guān)系,則g1∪～ g2,矛盾.從而等號(hào)恒成立.當(dāng)m=1 時(shí),若 G ～=S3,則其冪圖 P(G) ～=K1+(3K1K2),則有 β(P(G))=4.若G為2n(2n-1)階Frobenius群,其中Sylow 2-子群正規(guī),q=2n-1為素?cái)?shù),此時(shí)P(G)～=K1+(qK1(q+1)Kq-1),則有β(P(G))=2q+1.從而兩種情形均可取到等號(hào),命題得證:

定理7 設(shè)群G內(nèi)交換,則其冪圖P(G)可平面化當(dāng)且僅當(dāng)以下情形之一成立:

(1)G=PQ是Frobenius群且滿足P為初等交換2群,Q為3階循環(huán)群;

(2)G=PQ是Frobenius群且滿足P為初等交換3群,Q為2階循環(huán)群;

(3)exp(G)=4時(shí)有G=Q8,M2(2,1),M2(2,2),M2(2,1,1)或M2(2,2,1);

(4)exp(G)=3時(shí)有G=M3(1,1,1).

證明 若內(nèi)交換群G=PQ,則G內(nèi)冪零,此時(shí)由定理4可得G有形式(1),(2).下面考慮G為p群.由引理5得可平面化群的元素之階取自集合{1,2,3,4},故p=2或p=3.由內(nèi)交換群的分類(見文獻(xiàn)[14]中定理2.3.7)可知,G=Q8或G=Mp(n,m),n≥2,m≥1或G=Mp(n,m,1),n≥m≥1按方次數(shù)討論:當(dāng)exp(G)=4時(shí)群的可能形式有G=Q8,M2(2,1),M2(2,2),M2(2,1,1)或M2(2,2,1);當(dāng)exp(G)=3時(shí)群的可能形式有G=M3(1,1,1);當(dāng)exp(G)=2時(shí)群的可能形式有G=M2(1,1,1).下面逐一驗(yàn)證上述形式群冪圖的可平面性.

Case 1.由定理4可知(1),(2)中群的冪圖顯然可平面化.

Case 2.當(dāng)G=Q8或G=M2(2,1)=D8時(shí),顯然方次數(shù)exp(G)=4可平面化.當(dāng)G=M2(2,2)時(shí),元素(biaj)4=b4ia(4+12i)j=1;當(dāng)G=M2(2,1,1)時(shí),元素(aibjck)4=(aibj)4=a4ib4j[b,a]6ij=1,從而其冪圖可平面化.同理M2(2,2,1)冪圖可平面化.

Case 3.當(dāng)G=M3(1,1,1)時(shí),元素(aibjck)3=(aibj)3=a3ib3j[b,a]3ij=1,冪圖可平面化.

Case 4.當(dāng)G=M2(1,1,1)=D8時(shí),exp(G)=4/=2,矛盾.

綜上可知,命題得證.

定理8 有限群G為內(nèi)交換群,則其真冪圖P?(G)的連通性有如下結(jié)論.

(1)若m≥2,則P?(G)連通且diam(P?(G))≤4;

(2)若m=1,則P?(G)不連通,連通分支個(gè)數(shù)k(P?(G))=

Case 2.G為內(nèi)交換p群,則真冪圖P?(G)滿足:

(1)若G=Q8,則P?(G)連通且diam(P?(G))=2;

(2)若G=Mp(n,m),n≥ 2,m ≥ 1.當(dāng)G/=M2(2,1)時(shí),P?(G)連通分支個(gè)數(shù)k(P?(G))=p+1.當(dāng) G=M2(2,1)時(shí),k(P?(G))=5;

(3)若G=Mp(n,m,1),n≥m ≥1.當(dāng)G/=M2(1,1,1)時(shí),P?(G)連通分支個(gè)數(shù)k(P?(G))=p2+p+1.當(dāng)G=M2(1,1,1)時(shí),k(P?(G))=5.

證明 對(duì)內(nèi)交換群G分為非p群與p群兩種情形討論.

Case 2.G為內(nèi)交換p群.根據(jù)文獻(xiàn)[14]中定理2.3.7可得G僅有Q8,Mp(n,m)n≥2,m≥1,Mp(n,m,1)n≥m≥1這3種情形.

(1)若G=Q8,其真冪圖P?(G)=K1+3K2,顯然連通且滿足diam(P?(G))=2;

(2)若G=Mp(n,m),此時(shí)G={biaj:ab=ba1+pn-1},|G|=pn+m,故知biaj兩兩不同.容易計(jì)算

利用上式求G的p階元,則有

①m ≥ 2,于是得pm|pi,即pm-1|i,i.e.i=pm-1,2pm-1,···,pm,故bi∈ Z(G),此時(shí)(biaj)p=bipajp=1,即j=pn-1,2pn-1,···,pn,從而易得p階元的個(gè)數(shù)為p2-1,p階子群個(gè)數(shù)為p+1.由引理6可知P?(G)的連通分支個(gè)數(shù)k(P?(G))=p+1.② m=1,此時(shí)G=Mp(n,1)= 〈a,b:apn=bp=1,ab=a1+pn-1〉,容易計(jì)算

若p為奇素?cái)?shù),即apj=1,于是j=pn-1,2pn-1,···,pn,i=1,2,···,p.此時(shí)G有個(gè)p階子群,真冪圖P?(G)不連通且k(P?(G))=p+1.若p=(a)當(dāng)i=0時(shí),(biaj)2=a2j=1可得2階元為a2n-1;(b)當(dāng)i=1時(shí),2n|j(2+2n-1),若2 ? j得到2n|2+2n-1,此時(shí)僅有n=2時(shí)成立,群G為M2(2,1)即二面體群,若2|j得到a2j=1,此時(shí)2階元為ba2n-1,b.故可得當(dāng)G/=M2(2,1)時(shí)k(P?(G))=3;當(dāng)G=M2(2,1)時(shí)k(P?(G))=5.

(3) 若 G=Mp(n,m,1)則 G′= 〈c〉,G={aibjck:i=1,2,···,pn;j=1,2,···,pm;k=1,2,···,p},其中c∈ Z(G).設(shè)aibjck為G的一個(gè)p階元,則有(aibjck)p=(aibj)pckp=(aibj)p=1,由于

利用上式可得

故可得i=pn-1,2pn-1,···,pn,j=pm-1,2pm-1,···,pm.當(dāng) n ≥ 2或 m ≥ 2時(shí),G 的 p階元 aibjck滿足 i=pn-1,2pn-1,···,pn,j=pm-1,2pm-1,···,pm,k=1,2,···,p,且 i,j,k不同時(shí)取pn,pm,p.故真冪圖P?(G)的連通分支個(gè)數(shù)k(P?(G))=+p+1.當(dāng)n=m=1時(shí),可得(aibj)p=apibpj[b,a]p(p2-1)ij=[b,a]p(p2-1)ij=1,若p≥3,同上,G有p3-1個(gè)p階元,即連通分支個(gè)數(shù)k(P?(G))=p2+p+1.若p=2,則G=M2(1,1,1)=D8,k(P?(G))=5,命題得證.

3 結(jié)束語

本工作討論了冪零群、內(nèi)冪零群以及內(nèi)交換群和它們相對(duì)應(yīng)冪圖的關(guān)系問題,主要從線圖、獨(dú)立數(shù)、可平面性以及連通性等圖論性質(zhì)出發(fā)進(jìn)行研究.一般地得到了有限群G的冪圖P(G)是某圖的線圖的充要條件,刻畫了冪零群與內(nèi)交換群獨(dú)立數(shù)的臨界情形以及3類群可平面化的充要條件.此外，給出了內(nèi)冪零與內(nèi)交換群真冪圖連通時(shí)的連通直徑估計(jì)以及不連通時(shí)連通分支數(shù)目計(jì)算.對(duì)于這3類特殊的有限群冪圖的圖論性質(zhì)給出了清晰的描述.相反地,也從相應(yīng)冪圖的圖論性質(zhì)出發(fā)進(jìn)一步刻畫了群結(jié)構(gòu).