• 
    

    
    

      99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看

      ?

      黎曼猜想在整數(shù)分布中的一個應用

      2019-01-08 02:14:02李宇芳姚維利
      上海大學學報(自然科學版) 2018年6期
      關(guān)鍵詞:黎曼數(shù)論綜上

      李宇芳,姚維利

      (上海大學理學院,上海200444)

      1 引言及主要結(jié)論

      上式描述了素數(shù)的大致分布情況,被稱為素數(shù)定理.該定理是整個數(shù)論中的核心結(jié)果之一,在數(shù)論中起到了奠基作用,也有很多種等價形式[1],在很多領(lǐng)域都非常有應用價值[2].例如:在數(shù)學方面,可以估計隨機取得的整數(shù)n是素數(shù)的概率為1/logx;在計算科學方面,是試除法中檢驗一個數(shù)是否為素數(shù)的關(guān)鍵計算步驟之一;在密碼學方面,1978年,麻省理工學院(Massachusetts Institute of Technology,MIT)3個計算機科學家Rivest,Shamir和Adleman提出了第一個實用公鑰密碼——RSA密碼體制.該密碼體制就是基于素性檢測和整數(shù)分解,其安全性依賴于大整數(shù)素數(shù)分解問題的困難性.

      記ω(n)是正整數(shù)n的不同素因子的個數(shù),特別地,ω(1)=0.令

      定義

      式(1)被稱為廣義的素數(shù)分布函數(shù),因此很多數(shù)論學者對其進行了研究.比如,在1909年,Landau[3]首先證明了對k≥1有

      之后,Sathe[4]和Selberg[5]改進了這個結(jié)果,得到當1≤k≤C loglogx時,

      這里

      目前,較好的結(jié)果是由Hildebrand等[6]提出的,即存在常數(shù)ρ,δ使得當

      其中

      1859年,黎曼提出如下猜想:ζ(s)的非顯然零點都落在臨界線Res=1/2上,即著名的黎曼猜想,其在數(shù)論中有著舉足輕重的地位.

      本工作主要研究具有固定素因子個數(shù)的整數(shù)分布情況,探討了黎曼猜想對其漸近式中誤差項的影響.為了方便表達,引入如下記號,設(shè)s=σ+it,0<ε<1/logx,

      定理1 在黎曼猜想下,設(shè)C為正常數(shù),當x≥3,1≤k≤C loglogx時,有

      其中

      注1:由文獻[4-5],有

      其中

      因此,本工作重點是得到式(2)中誤差項的估計.

      注2:應用黎曼猜想,素數(shù)定理可加強[7-8]為

      2 預備知識

      為了定理的證明,下面給出以下3個引理作為預備知識.

      絕對收斂.

      證明 參見文獻[9].

      引理2 由文獻[10]中的定理11.7,假設(shè)∑f(n)n-s對σ>σa絕對收斂,如果f是積性函數(shù),則有

      引理 3 (Perron公式)設(shè)x≥2,記‖x‖為x和離其最近整數(shù)之間的距離,則當b>σa,T ≥ 2有

      證明 參見文獻[7]中的定理1.

      3 定理的證明

      下面給出定理的證明.由fk(n)的定義和留數(shù)定理有

      其中r>0為常數(shù).上式兩邊對n求和,得到

      因為zω(n)為積性函數(shù),所以由引理2可知,當Re s>1時,

      根據(jù)引理3,式(3)中的和式可表示成

      其中

      為了估算式(4)中的余項,取

      由于|z|=r,所以

      因此式(4)第一個余項

      因為

      由Euler積分公式可知

      所以式(4)第二個余項

      根據(jù)式(5),式(4)最后一個余項

      綜上可得,

      所以式(4)可化簡為

      由于

      由于

      根據(jù)黎曼猜想,ζ(s)的非顯然零點都落在臨界線Re s=1/2上,s=1為唯一的極點.所以可以利用留數(shù)定理建立圍道,將式(7)主項的積分區(qū)間轉(zhuǎn)化到C-3∪C-2∪C-1∪C0∪C1∪C2∪C3上,即

      其中

      不難看出,在C-1∪C0∪C1上的積分可取為主項,其余為余項(見圖1).

      圖1 圍道Fig.1 Contour

      接下來,首先計算C3∪C-3部分的積分.根據(jù)文獻[11]中的定理4.2,

      因為

      因此

      下面估算C2∪C-2部分的積分,因為對t≥2,參考文獻[2],有

      所以

      由此

      所以

      下面考慮C2∪C-2中0<t<2的情況.當0<t<2時,由ζ(s)的定義和其解析性可知,ζ(s)有界.根據(jù)文獻[12]中的注1.5.3,ζ(s)在0< t< 2內(nèi)沒有零點,所以必然有界.由式(10)及以上說明可知,

      綜上,根據(jù)式(7),(9),(11)可得

      將式(12)代回式(3)可得

      由于式(5)及

      式(13)中的誤差項

      綜上,

      其中

      定理1證明完畢.

      猜你喜歡
      黎曼數(shù)論綜上
      非齊次二維Burgers方程的非自相似黎曼解的奇性結(jié)構(gòu)
      一類涉及數(shù)論知識的組合題的常見解法
      構(gòu)造法破解比較大小問題
      緊黎曼面上代數(shù)曲線的第二基本定理
      幾類遞推數(shù)列的數(shù)論性質(zhì)
      賴彬文
      書香兩岸(2020年3期)2020-06-29 12:33:45
      數(shù)論中的升冪引理及其應用
      具有非齊次泊松到達的隊列 模型的穩(wěn)態(tài)分布
      集合測試題B卷參考答案
      Value of Texture Analysis on Gadoxetic Acid-enhanced MR for Detecting Liver Fibrosis in a Rat Model
      济宁市| 日照市| 上饶县| 汨罗市| 大宁县| 和龙市| 大英县| 黄平县| 元朗区| 天全县| 玉林市| 盐边县| 长白| 马鞍山市| 石台县| 绥棱县| 仙桃市| 六盘水市| 日土县| 弥渡县| 龙川县| 大厂| 达拉特旗| 舟山市| 安阳县| 怀集县| 建湖县| 宁武县| 乌鲁木齐县| 大丰市| 泰州市| 芷江| 临沭县| 禹城市| 温州市| 临桂县| 鱼台县| 汪清县| 前郭尔| 伊宁县| 图们市|