熊春寶， 郭 穎， 刁 鈺， 李 志

（天津大學(xué) 建筑工程學(xué)院，天津300072）

1 引 言

在巖土工程穩(wěn)定性問(wèn)題中，巖土中水的滲流作用不容忽視，多孔飽和地基中溫度的變化會(huì)產(chǎn)生熱傳導(dǎo)和熱擴(kuò)散現(xiàn)象，從而導(dǎo)致多孔飽和土體的物理力學(xué)性質(zhì)發(fā)生變化。因此，針對(duì)多孔飽和地基的熱-水-力多場(chǎng)耦合問(wèn)題的研究具有非常重要的意義和作用。

Biot［1］提出的經(jīng)典熱彈性理論認(rèn)為熱在介質(zhì)中以無(wú)限大的速度傳播，這與事實(shí)不符。為了消除這一悖論，Lord等［2］提出了（L-S）廣義熱彈性理論，Green等［3－6］提出了（G-L）廣義熱彈性理論和（G-N）廣義熱彈性理論。這幾種理論都能很好地描述熱在介質(zhì)中以有限的速度進(jìn)行傳播，且在很多工程領(lǐng)域都有很好的應(yīng)用，如土木工程、水利工程、資源與能源工程及環(huán)境工程等領(lǐng)域，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)此類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行了一系列研究［7－11］。這些研究大多并未考慮介質(zhì)中的孔隙以及孔隙水的作用，然而實(shí)際工程中大多介質(zhì)并非完全密實(shí)。近年，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)多孔飽和材料進(jìn)行了大量研究。張洪武等［12］提出了廣義耦合多尺度有限元法，很好地分析了非均質(zhì)飽和多孔介質(zhì)彈塑性動(dòng)力問(wèn)題。閻軍等［13］在給定外力與溫度載荷作用下，對(duì)由宏觀上多孔材料制成的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化，并分析討論了各物理量變化對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響。Bai［14］研究了指數(shù)函數(shù)荷載作用下雙層多孔介質(zhì)的熱彈動(dòng)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題，并解決了一維多孔飽和材料的熱固結(jié)問(wèn)題［15］。Bai等［16］研究了一個(gè)多孔飽和長(zhǎng)圓柱受到熱荷載和靜水壓力作用的熱流固耦合問(wèn)題。文獻(xiàn)［17，18］采用拉普拉斯變換及其數(shù)值反變換研究了飽和多孔圓柱和中空?qǐng)A柱在外力和溫度作用下的耦合問(wèn)題。劉干斌等［19］采用傅里葉變換及其數(shù)值反變換研究了飽和多孔地基的熱-水-力耦合問(wèn)題。盧正等［20］進(jìn)一步結(jié)合熱源輸入條件和地基邊界條件，對(duì)飽和多孔地基進(jìn)行了研究。Lu等［21］研究了多孔彈性地基受到?jīng)_擊荷載和溫度荷載作用的熱流固耦合問(wèn)題。Liu等［22，23］提出了一種新的方法，研究了一維的多孔彈性圓柱和空腔球殼受到熱沖擊和機(jī)械沖擊時(shí)的熱流固耦合問(wèn)題。Bai等［24］研究了一個(gè)多孔飽和空腔球殼的不可逆固結(jié)問(wèn)題。目前，學(xué)者們主要采用傅里葉變換及其反變換或拉普拉斯變換及其反變換，在時(shí)頻域內(nèi)對(duì)此類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行研究，為得到方程的時(shí)域解，這兩種方法均需對(duì)方程進(jìn)行兩次變換。本文利用正則模態(tài)法，能夠直接對(duì)方程進(jìn)行解耦得到解析解，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)便快速。

本文基于L-S理論，結(jié)合達(dá)西定律，研究了多孔飽和地基在荷載作用下的熱-水-力多場(chǎng)耦合動(dòng)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題。假設(shè)該多孔飽和地基為均質(zhì)各向同性半無(wú)限大介質(zhì)。采用正則模態(tài)法求解，得到了問(wèn)題的解析解，討論了熱-水-力耦合模型和熱彈性耦合模型的區(qū)別，分析了荷載頻率變化對(duì)地基中各物理量的影響。最終，給出了無(wú)量綱的豎向位移、超孔隙水壓力、豎向應(yīng)力和溫度等物理量的分布規(guī)律。結(jié)果可以廣泛應(yīng)用于巖土工程領(lǐng)域，特別對(duì)高速鐵路、高速公路和能源基礎(chǔ)等領(lǐng)域具有指導(dǎo)性的意義。

2 基本方程

考慮多孔飽和地基為流固耦合的兩相介質(zhì)，假設(shè)該多孔飽和地基為均質(zhì)各向同性半無(wú)限大體。當(dāng)?shù)鼗牧飨嗪凸滔嗵幱跓崞胶鈺r(shí)，地基的變形為小變形。不計(jì)體力時(shí)，考慮溫度效應(yīng)的多孔地基的運(yùn)動(dòng)方程為

式中λ和G為拉梅常數(shù)，ui為位移分量，p為超孔隙水壓力，θ＝T－T0，T為絕對(duì)溫度，T0為參考溫度，β1＝（3λ＋2G）αs，αs為土顆粒的線性熱膨脹系數(shù)，ρ為質(zhì)量密度。

考慮廣義熱松弛時(shí)間的能量方程為

式中 m＝n0ρwcw＋ （1 － n0）ρscs，n0為孔隙率，ρs為土顆粒的密度，ρw為孔隙水的密度，cs為土顆粒的比熱，cw為孔隙水的比熱，K為熱傳導(dǎo)系數(shù)，τ為熱松弛時(shí)間。

根據(jù)達(dá)西定律，流體的平衡方程可簡(jiǎn)化為

式中 b＝ρwg／kk，kd為滲透系數(shù)，g為重力，αu＝n0αw＋（1－n0）αs，αw為孔隙水的線性熱膨脹系數(shù)。

根據(jù)L-S［2］廣義熱彈性模型，不考慮體力和內(nèi)熱源時(shí)，多孔彈性地基的本構(gòu)方程為

式中σij為應(yīng)力分量，εij為應(yīng)變分量。

多孔彈性地基的幾何方程為

位移分量可以寫(xiě)為

根據(jù)方程（5，6），應(yīng)變分量可寫(xiě)為

式中 土體的體積應(yīng)變可寫(xiě)為

為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，引入無(wú)量綱量

利用無(wú)量綱式（9），控制方程可簡(jiǎn)化為（為方便省掉各個(gè)變量上方的符號(hào)）

將方程（10）關(guān)于x求微分，方程（11）關(guān)于z求微分，相加可以得到

求解方程（16），就可以求得地基在受到荷載作用時(shí)的豎向位移、超孔隙水壓力、豎向應(yīng)力和溫度的變化規(guī)律。這些量的求解要借助于問(wèn)題的邊界條件，問(wèn)題邊界條件如下。

（1）地基表面考慮溫度作用，因此有θ（x，0，t）＝Ψ（x，t）。

（2）地基邊界處受到荷載作用，剪力自由，因此有σxz（x，0，t）＝0，σzz（x，0，t）＝－qΨ（x，t）式中q為荷載大小。

（3）地基上表面土體可以透水，因此有p（x，0，t）＝0。

對(duì)于方程的求解，采用第3節(jié)的正則模態(tài)法。

3 正則模態(tài)分析

根據(jù)正則模態(tài)分析，考慮物理量的解可分解為［u，w，e，σij，p］（x，z，t）＝［u＊（z），w＊（z），e＊（z），

式中ω為頻率，i為虛數(shù)單位，a為x方向的波數(shù)。在方程（10～13）中消去θ＊（z）和P＊（z），可得關(guān)于e＊（z）的四階偏微分方程，其中D＝ ／ z，則

式中A＝2a2＋b1，B＝a4＋b1a2＋b2

方程（18）可分解為

方程（18）的解為

在z→∞時(shí)，方程（19）的有界解為

與e＊（z）求解同樣的過(guò)程，類(lèi)似地可以得到

式中 Ri（a，ω），R′i（a，ω）和R″i（a，ω）均是關(guān)于a和ω的參數(shù)?？傻玫揭韵玛P(guān)系，

其中令

式（23）可寫(xiě)成

根據(jù)式（17），由方程（6，8，22，25）可得到位移u和w的表達(dá)式為

式中 F＝F（a，ω）為關(guān)于a和ω的參數(shù)，n2＝a2＋β2ω2。

利用式（16），將方程（22，25，26，27）代入方程（14，15），得到

為了確定待定參數(shù)Ri（i＝1，2）和F，需要考慮問(wèn)題的邊界條件（z＝0）。將所考慮物理量的表達(dá)式代入上述邊界條件，可以得到待定參數(shù)滿足的代數(shù)方程為

式中 Ψ（x，t）為荷載沿x軸方向的分布函數(shù)。設(shè)作用在多孔飽和地基上的荷載具有形式Ψ（x，t）＝Ψ＊（a，ω）exp（ωt＋iax）。求解方程 （30～33），可以得到參數(shù)Ri（i＝1，2）和F的表達(dá)式。上述方程組的求解可以借助于Maple軟件包，由于求解得到的待定參數(shù)的表達(dá)式過(guò)于繁復(fù)，在此未列出。

4 算例及結(jié)果討論

研究多孔飽和地基在受到荷載作用下的熱-水-力耦合動(dòng)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題。假設(shè)地基為均質(zhì)各向同性半無(wú)限大體，選擇均質(zhì)各向同性多孔飽和土體進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，其材料常數(shù)如下。

由于ω＝ω0＋iζ，其中i為虛數(shù)單位，則eωt＝eω0t（cosζt＋isinζt），當(dāng)所考慮時(shí)間很小時(shí)，可取ω＝ω0。

為了驗(yàn)證熱-水-力模型THMD和熱彈性模型TMD計(jì)算結(jié)果的差異，令孔隙水密度ρw和孔隙率n0均為0，即不考慮滲流的作用，這時(shí)熱-水-力模型THMD退化為熱彈性模型TMD。在熱彈性模型TMD中，土體的密度取ρ＝1.96×103kg／m3，比熱取c＝2080J／（kg C），其他的參數(shù)與上述一致。

在數(shù)值計(jì)算中，考慮兩種方案，方案一（圖1～圖4），基于兩種不同的模型（THMD和TMD），首先保證時(shí)間t＝0.5不變，分別取荷載頻率ω＝1.6和ω＝2.5，計(jì)算在x＝1.0平面處無(wú)量綱的豎向位移、超孔隙水壓力、豎向應(yīng)力和溫度。方案二（圖5～圖8），在THMD模型中，同樣保持時(shí)間t＝0.5不變，分別考慮四個(gè)不同頻率 （ω＝1.6，ω＝1.8，ω＝2.1和ω＝2.5），計(jì)算在x＝1.0平面處無(wú)量綱的豎向位移、超孔隙水壓力、豎向應(yīng)力和溫度。

圖1 兩種模型下豎向位移分布圖Fig.1 Vertical displacement under two methods

圖3 兩種模型下豎向應(yīng)力分布圖Fig.3 Vertical stress under two methods

圖1 描述了基于兩種不同模型的無(wú)量綱豎向位移的變化規(guī)律，可以看出，在頻率相同時(shí)，TMD模型的豎向位移略高于THMD模型，這是由耦合的超孔隙水壓力對(duì)豎向位移的影響造成的。圖2描述了無(wú)量綱的超孔隙水壓力的變化規(guī)律，可以看出，TMD模型中超孔隙水壓力一直為0，而變化曲線均是基于THMD模型時(shí)頻率變化的規(guī)律圖，這是由于在TMD模型中，沒(méi)有考慮超孔隙水壓力的影響，所以在該模型中無(wú)論荷載頻率如何變化，超孔隙水壓力都一直為0。這也說(shuō)明了只用TMD模型不能清晰地描述飽和多孔地基，同時(shí)也證明了THMD模型的重要性。此處正負(fù)號(hào)只表示地基受壓或受拉，與大小無(wú)關(guān)，本文的分析過(guò)程中，均以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。圖3反應(yīng)了無(wú)量綱豎向應(yīng)力的變化規(guī)律，可以看出，THMD模型的豎向應(yīng)力略高于TMD模型，這與耦合的超孔隙水壓力有關(guān)。如圖4所示，荷載的頻率對(duì)THMD模型和TMD模型下的溫度分布規(guī)律有較大的影響；同時(shí)可以看出，在不同的理論模型條件下，θ／q值都很小，為10－9數(shù)量級(jí)。

如圖5和圖7所示，隨著荷載頻率的增加，無(wú)量綱豎向位移和豎向應(yīng)力沿著z軸的衰減速度逐漸增大。此處與方案一相同，正負(fù)號(hào)只表示地基受壓或受拉，與大小無(wú)關(guān)。如圖6和圖8所示，在THMD模型中，荷載頻率對(duì)無(wú)量綱的超孔隙水壓力和溫度分布有明顯影響。從圖6可以看出，無(wú)量綱的超孔隙水壓力在z＝0處為0，這是由于假設(shè)上表面邊界處土體透水。

圖2 兩種模型下超孔隙水壓力分布圖Fig.2 Excess pore water pressure under two methods

圖4 兩種模型下溫度分布圖Fig.4 Temperature distribution under two methods

圖5 THMD模型下豎向位移分布圖Fig.5 Vertical displacement under THMD method

圖7 THMD模型下豎向應(yīng)力分布圖Fig.7 Vertical stress under THMD method

5 結(jié) 論

研究了多孔飽和地基在荷載作用下的熱-水-力多場(chǎng)耦合動(dòng)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題。假設(shè)該多孔飽和地基為均質(zhì)各向同性半無(wú)限大體，采用正則模態(tài)法求解，得到了問(wèn)題的解析解，討論了熱-水-力耦合模型和熱彈性耦合模型的區(qū)別，分析了荷載頻率變化對(duì)地基中各物理量的影響。主要結(jié)論如下。

（1）正則模態(tài)法能夠很好地解決半無(wú)限大多孔飽和地基的熱-水-力耦合問(wèn)題，最終得到了各物理量的變化規(guī)律圖。

（2）在給定時(shí)刻，熱的擾動(dòng)區(qū)域是有限的。

（3）通過(guò)TMD模型和THMD模型的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)孔隙水對(duì)地基的影響非常明顯，這對(duì)以后的施工具有指導(dǎo)性意義。

（4）荷載的頻率對(duì)地基中各物理量的變化有很大的影響。

圖6 THMD模型下超孔隙水壓力分布圖Fig.6 Excess pore water pressure under THMD method

圖8 THMD模型下溫度分布圖Fig.8 Temperature distribution under THMD method

附 錄

符號(hào)說(shuō)明

λ，G拉梅常數(shù) ui位移分量

σij應(yīng)力分量 ρ質(zhì)量密度

εij應(yīng)變分量 T絕對(duì)溫度

T0參考溫度 K熱傳導(dǎo)系數(shù)

τ熱松弛時(shí)間

αs土顆粒的線性熱膨脹系數(shù)

αw孔隙水的線性熱膨脹系數(shù)

p超孔隙水壓力 n0孔隙率

ρs土顆粒的密度

ρw孔隙水的密度

cs土顆粒的比熱

cw孔隙水的比熱 g重力

kd滲透系數(shù) q荷載大小