孫 波

（中鐵第四勘察設(shè)計院集團(tuán)有限公司，武漢430063）

1 引 言

飽和多孔介質(zhì)波動方程［1，2］于20世紀(jì)50年代Biot提出以來，得到廣大學(xué)者的關(guān)注和認(rèn)可，成為飽和地基土動力學(xué)研究的基礎(chǔ)。Biot理論包含了彈性力學(xué)部分和動力學(xué)部分。其中，彈性力學(xué)部分比均勻各向同性固體多兩個彈性參數(shù)，這兩個參數(shù)分別代表流體的彈性與兩相介質(zhì)（彈性介質(zhì)和流體介質(zhì)）間的彈性相互作用；動力學(xué)部分采用兩個相互耦合的矢量方程來描述。Biot根據(jù)波動方程預(yù)測飽和多孔介質(zhì)中存在三種體波，即P1波、P2波以及S波。其中P2波在各向同性彈性介質(zhì)中不存在。該預(yù)測在Biot理論提出之初引起了部分學(xué)者的懷疑，但是20多年后得到實驗室證實［3］。從Biot的開創(chuàng)性工作至今，國內(nèi)外很多學(xué)者從不同角度對該問題做過研究。Ishihara［4］做了簡化近似分析，嘗試給出飽和土中彈性波速度的實用公式；文獻(xiàn)［5，6］試圖給出具有更確切含義的參數(shù)，以克服Biot理論中參數(shù)物理意義不明確的缺陷。

我國東南沿海地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)，基礎(chǔ)建設(shè)增長很快，但同時廣泛分布著飽和地基土，飽和地基土的工程力學(xué)特性差，易引發(fā)工程事故。特別是近年來，隨著高速鐵路和地鐵的蓬勃發(fā)展，飽和土地基在交通荷載作用下引起了越來越多的工程問題，威脅著人民生命財產(chǎn)安全，并帶來了巨大的經(jīng)濟(jì)損失。所以近年來，飽和地基土在交通荷載作用下的動力響應(yīng)問題越來越受到關(guān)注，許多國內(nèi)外學(xué)者對此進(jìn)行了理論和試驗研究。文獻(xiàn)［7，8］最早開始研究多孔彈性介質(zhì)在移動荷載作用下的動力響應(yīng)，但只考慮了土骨架，沒有考慮孔隙水的作用，不能算做完全意義上的飽和地基。Lu等［9］通過方程轉(zhuǎn)化得到了移動點荷載作用下的響應(yīng)解析解。胡安峰等［10］通過函數(shù)傅里葉變換和傅里葉逆變換得到了下臥基巖飽和半平面在移動荷載作用下的解析解，并利用數(shù)值技術(shù)分析了波在時間-空間域的特性。孫宏磊等［11］在其他條件類似的情況下，更近一步研究了橫觀各向同性飽和土體的彈性波。金波等［12，13］研究了飽和半空間波的傳播問題，給出了位移、應(yīng)力以及孔隙水壓力的解析解。Cai等［14］研究了移動矩形荷載作用下飽和土體的動力響應(yīng)問題。綜上所述，目前飽和多孔介質(zhì)在移動荷載作用下的動力響應(yīng)問題，研究文獻(xiàn)較多。但是大部分文獻(xiàn)均是通過變換獲得了半解析解，對頻率-波數(shù)域以及時間-空間域的波動特性和頻譜成分研究卻很少。實際上，在工程應(yīng)用中，這些特性反而是最重要和最值得關(guān)注的。本文針對這些特性進(jìn)行研究，以指導(dǎo)工程的設(shè)計以及施工。

2 控制方程

Biot在飽和多孔介質(zhì)波動方程中，考慮了土骨架以及流體之間的慣性相互作用，但是此項ρa(bǔ)占比很小且實驗有難度，所以之后的大多數(shù)研究將此項忽略不計。此時Biot方程可以簡化為

式中 wi為流體相對于彈性介質(zhì)的位移，ui為彈性介質(zhì)部分的位移；λ和μ為飽和多孔介質(zhì)的Lame常數(shù)，可以通過實驗確定；（·）和（··）為方程對時間t的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；α和M為考慮兩相材料壓縮性的Biot常數(shù)；ρ＝nρf＋（1－n）ρs，n為土的孔隙率，ρs和ρf分別為彈性介質(zhì)和流體的密度；m＝ρf／n，b表征彈性介質(zhì)和空隙流體的內(nèi)部摩擦力，一般情況下均忽略，取b＝0，則方程可以簡化為

式中 δij為 Kronecker delta符號；θ＝ui，i和ζ ＝－wi，i分別為彈性介質(zhì)以及流體的體積應(yīng)變；p和σij分別為流體壓力和總應(yīng)力分量。

位移矢量ui和wi（i＝1，2）可以用6個勢函數(shù)

將式（5a，5b）代入式（1，2），可得

為了求解此方程，利用Fourier變換：

對方程（6）進(jìn)行 Fourier變換，得到關(guān)于1，2，φj（j＝1，2）和Φj（j＝1，2）在波數(shù)-頻率域的常微分方程，求解后得到，

式中 ｛Δ｝＝｛A B C D E F｝T

當(dāng)巖層分布較深，可把上部地基考慮成半空間，此時｛R（z）｝的正指數(shù)項不存在。即｛R（z）｝＝

此時｛Δ｝由6個參數(shù)減少為4個，即｛Δ｝＝｛A B C D｝T。

3 方程求解

工程中經(jīng)常將大范圍的地基簡化為半空間，從而使邊界條件容易確定。移動荷載作用下的飽和半空間可以簡化為圖1所示。移動荷載假設(shè)為矩形荷載（荷載長為2a，寬為2b，大小為F，速度為c，頻率為ω0）。t＝0代表移動荷載移動到x＝0和y＝0處。此時邊界條件如下，

根據(jù)上述邊界條件，方程（8）的解為

4 動力響應(yīng)特性分析

4.1 波的彌散特性

圖1 飽和半空間Fig.1 Saturation half space schematic

r4和r5中的 （λe＋2μe）／ρe和μe／ρe分別為彈性介質(zhì)中的P波波速和S波波速的平方。另外，將式（11）的分母定義為

令Δ＝0，得到

另外，Rayleigh波是面波，則η＝0，式（13）可簡化為

式（14）即為彈性介質(zhì)的Rayleigh方程。另外從上述分析可知，彈性介質(zhì)的P波、S波和Rayleigh波都與頻率無關(guān)，不存在彌散性。

同理，飽和方程中的指數(shù)項因子r1，r2和r3中L1，L2和S表達(dá)式分別為飽和土P1波、P2波和S波的復(fù)波數(shù)?？梢钥闯?，飽和土中的P1波、P2波和S波都是頻率相關(guān)函數(shù)。

將式（8）中飽和土的分母定義為Δ，并令η＝0，則經(jīng)整理后，

式（15）代表飽和多孔介質(zhì)的R波方程，也是頻率相關(guān)函數(shù)。

為了給出彌散曲線，飽和土和移動荷載賦值列入表1。

表1 飽和土及移動荷載相關(guān)參數(shù)Tab.1 Parameters of a soil

飽和地基中P1波、P2波、S波和R波的彌散曲線分別如圖2～圖4所示，其中fc＝nb／（2πρf）?？梢钥闯?，P1波、P2波、S波和R波這幾種飽和土波的波速均是f／fc相關(guān)聯(lián)函數(shù)，隨頻率而變動，即這幾種波均存在彌散性。

對P2波（慢縱波）這種飽和土獨有的體波來說，波速隨著頻率的增加而逐漸增加，彌散性明顯。在頻率較小時，P2波波速很小，可以忽略。分析波動方程，發(fā)現(xiàn)此時飽和土的滲透性小，孔隙流體與土骨架兩相介質(zhì)之間的相對運動很小。此時，土骨架-流體二相介質(zhì)可以當(dāng)做單相彈性介質(zhì)。在f／fc超過一定值后 （log（f／fc）≥10），P2波波速基本保持不變，此時飽和土的滲透性好，彈性耦合和慣性耦合作用明顯，兩相介質(zhì)特性明顯。

圖2 P1波（快縱波）的彌散曲線Fig.2 Wave dispersion curve of P1

圖3 P2波（慢縱波）的彌散曲線Fig.3 Wave dispersion curve of P2

圖4 S波和R波的彌散曲線Fig.4 Wave dispersion curve of Sand R

對于P1波、S波和R波來說，波速呈明顯的階梯狀分布。在log（f／fc）＜0.1和log（f／fc）≥10時，波速基本保持不變。在log（f／fc）＝1附近時，波速發(fā)生了很明顯的跳躍式變化，彌散性明顯。所以fc可以定義為飽和土的特征頻率，工程中特征頻率尤為重要。

4.2 波的多普勒效應(yīng)

車由遠(yuǎn)而近鳴喇叭，聽到的聲音越來越高；遠(yuǎn)去的車鳴喇叭，聽到聲音越來越低，此即聲波的多普勒效應(yīng)。地基中的彈性波也有這種現(xiàn)象。

依據(jù)Dirac’s函數(shù)和波的特性，得到

即ω＝ω0／（1±MR），為 Rayleigh波的多普勒效應(yīng)。其中MR＝c／cR，c為移動荷載的速度。同理，P1波、P2波和S波分別對應(yīng)為MP1，MP2和MS。圖5形象表達(dá)了ω0＝0以及ω0＝100rad／s時波的多普勒效應(yīng)?？梢钥闯觯琍1波的波速＞P2波的波速＞S波的波速＞R波的波速。當(dāng)荷載為移動常值荷載 （ω0＝0），從圖5（a）可以看出，c＜cR時，表征移動荷載的直線和幾種波沒有任何聯(lián)系，地基中沒有波的傳播；c＞cR時，此直線和R波有交點，地基中方才開始有波傳播。荷載為移動簡諧荷載（ω0≠0）時的情況如圖5（b）所示?？梢钥闯?，即使荷載速度為0，也有波的傳播。

圖5 波的多普勒效應(yīng)Fig.5 Wave Doppler effect schematic diagram

4.3 波的成分分析

各類波攜帶不同比例的能量，地基土在移動荷載作用下引起的響應(yīng)均是由這些波疊加而成，在頻率-波數(shù)域中分析各類波的組成。

圖6給出了ω＝400rad／s，MR分別為0，0.5，1.5和4時的頻率-波數(shù)域解的云圖?？梢钥闯?，MR＝0時，荷載不移動，各類波從荷載作用點向外傳播，各波呈圓狀，圓的最外邊為速度最快的P1波，里面依次為P2波、S波和R 波；當(dāng)MR＝0.5時，荷載開始移動，云圖呈現(xiàn)橢圓狀，各波分量的大小和位置都發(fā)生了變化；MR＝1.5對應(yīng)于cR＜c＜cs，R波為雙曲線，P1波、P2波和S波仍為橢圓狀；MR＝4對應(yīng)于cs＜c＜cP2，R波和S波為雙曲線，P1波和P2波為橢圓，其他的情況依次類推。

4.4 地基響應(yīng)頻率

對頻率-波數(shù)域的解式（8）進(jìn)行逆Fourier變換，并經(jīng)過簡化得到時間-空間域的解為

圖6 ω＝400rad／s時的頻率-波數(shù)域云圖Fig.6 Cloud map in the wave number-frequency domain whenω＝400rad／s

該解包括位移、應(yīng)力以及空隙水壓力在x和z方向的分量。由于式（17）仍然是積分形式，當(dāng) ξ →∞時，被積函數(shù)衰減很快，所以可以截斷積分范圍。采用文獻(xiàn)［11］的方法，對式（17）進(jìn)行數(shù)值疊加，可以得到時間-空間域的數(shù)值解。

圖7分別給出了f0＝10Hz和f0＝20Hz時，地基表面振動位移u 與2 MRt／ MR2－1之間的關(guān)系?？梢钥闯觯贛R＞1時，t＜0一側(cè)位移很小，這是因為攜帶主要能量的Ralyleigh波速小于荷載移動速度，造成Rayleigh波尚未傳播至此點。另外可以看出，圖7（a）的頻率為10Hz，圖7（b）的頻率為20Hz，與移動荷載的頻率f0一致，所以地基表層的振動頻率為

式（18）可以表示為

式中fbeh為向后傳播的Rayleigh波頻率，ffro為向前傳播的Rayleigh波頻率。方程（19）表明，在移動荷載作用下，地基中會產(chǎn)生一類向前傳播的Rayleigh波和一類向后傳播的Rayleigh波；當(dāng)移

圖7 地基表面豎向位移與2 MRt／ MR2－1 的關(guān)系Fig.7 Relationship between vertical displacement and 2 MRt／ MR2 －1

動荷載速度大于Rayleigh波速時，這兩類Rayleigh波會在荷載作用點之后發(fā)生疊加，此時動力響應(yīng)頻率f即為這兩種Rayleigh波頻率的疊加。Morse等［15］在研究空氣動力學(xué)時也提出過類似的表達(dá)式。

5 結(jié) 論

（1）相比彈性介質(zhì)，飽和地基中的波具有彌散性，飽和地基比彈性介質(zhì)多一種P2波。

（2）當(dāng)f0＝0，c＜cR時，飽和地基中沒有波的傳播；當(dāng)f0＝0，c≥cR時，地基中開始有波傳播。

（3）P1波、S波和R波的波速隨頻率呈明顯的階梯狀分布。在log（f／fc）＜0.1和log（f／fc）≥10時，波速基本保持不變；在log（f／fc）＝1附近時，波速發(fā)生了跳躍性變化。所以fc可以定義為飽和土的特征頻率。P2波的波速隨著頻率的增加逐漸增加，彌散性明顯，在頻率較小時兩相介質(zhì)特性不明顯；在f／fc超過一定值后，P2波的波速基本保持不變，兩相介質(zhì)特性明顯。

（4）移動荷載作用下，地基動力響應(yīng)的振動頻率為向前和向后傳播的Rayleigh波頻率的疊加，具體為 （2 MR／ MR2－1 ）f0。