直線方程中的錯解剖析

■徐彩娥

求過定點(diǎn)的直線方程,主要是利用待定系數(shù)法求解的。同學(xué)們在具體解題時,由于對直線方程的適用范圍認(rèn)識不清,對解題過程考慮不周,對解題方法使用不當(dāng),往往會導(dǎo)致錯解或漏解。下面剖析幾例,以期對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助與提高。

例1求經(jīng)過兩直線7x+8y-38=0和3x-2y=0的交點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程。

錯解：由可解得交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3)。因?yàn)樗笾本€在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,所以可設(shè)直線方程為1。由此直線經(jīng)過交點(diǎn)(2,3),可得a=5。

故所求的直線方程為x+y-5=0。

剖析：直線的截距式方程只適用于截距不為0 的情形,上述解法忽略了截距為0的情形,即此解法產(chǎn)生了漏解。

正解：當(dāng)直線過原點(diǎn)時,設(shè)直線方程為y=kx。因?yàn)橹本€過交點(diǎn)(2,3),所以3=2k,即,此時直線方程為3x-2y=0。

綜上可得,所求直線方程為3x-2y=0或x+y-5=0。

例2求過點(diǎn)P(2,-1)且與點(diǎn)A(-3,-1)和點(diǎn)B(7,-3)的距離相等的直線方程。

錯解：設(shè)所求直線方程為y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0。

由題意可知點(diǎn)A(-3,-1),B(7,-3)到直線kx-y-2k-1=0的距離相等,所以,即,解得。故所求直線方程為x+5y+3=0。

剖析：由于上述解法所設(shè)的直線方程是點(diǎn)斜式,故默認(rèn)了直線的斜率一定存在。事實(shí)上,當(dāng)直線的斜率不存在時,過點(diǎn)P(2,-1)的直線方程為x=2也滿足題意,因此上述解法產(chǎn)生了漏解。

正解1：當(dāng)所求直線過點(diǎn)P(2,-1)且斜率不存在時,直線方程為x=2,這時點(diǎn)A(-3,-1)和點(diǎn)B(7,-3)到這條直線的距離都是5,因此x=2滿足題意。當(dāng)所求直線過點(diǎn)P(2,-1)且斜率存在時,設(shè)直線方程為y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0,由上述錯解可得直線方程為x+5y+3=0。

綜上可得,所求的直線方程是x+5y+3=0或x=2。

正解2：把點(diǎn)P(2,-1)看作是直線x=2與y=-1的交點(diǎn),這時可設(shè)所求直線方程為y+1+λ(x-2)=0,即λx+y-2λ+1=0。

因?yàn)辄c(diǎn)A(-3,-1)和點(diǎn)B(7,-3)到直線λx+y-2λ+1=0的距離相等,所以由點(diǎn)到直線距離公式可得,即得|5λ|=|5λ-2|,所以5λ-2= -5λ或5λ-2=5λ。 由5λ-2=-5λ,解得;由5λ-2=5λ,可知λ無解,即λ不 存 在。 當(dāng)時,直線方程為x+5y+3=0,當(dāng)λ不存在時,通過對直線x-2=0進(jìn)行畫圖檢驗(yàn),可知符合題意。

故所求直線方程為x+5y+3=0或x=2。