梳理問題多元研究，追求“本質(zhì)”探尋方向
——《找次品》“同課異構(gòu)”的教學(xué)反思

□ 余賢華 馮波濤 劉 剛

“找次品”一課是人教版五年級(jí)下冊的一節(jié)智力思考的探究課。教師總想帶著學(xué)生奔著最佳方案去，那就是當(dāng)一些物品中只有一個(gè)次品，且知道它比其他物品輕或重時(shí)，盡可能將待測物品分成最多只相差1的3份，且有2份數(shù)量相等。稱n次，可以從3n-1+1至3n個(gè)物品中找出這個(gè)次品。要真正在40分鐘內(nèi)讓學(xué)生通過探究得出這一結(jié)論，確實(shí)有難度。

迷霧一：需要一架什么樣的天平？

找次品的題里幾乎都有這樣的字眼，“沒有砝碼的天平，次品稍重（輕）一些”。如果重（輕）相差很多，那天平就不需要了，直接用手掂一掂就可找出次品，天平的出場就沒有必要了。教師在課初都提出了這樣的問題，讓學(xué)生回答怎樣找出這個(gè)次品，學(xué)生說用掂一掂的方法。為什么天平不要砝碼？因?yàn)槲覀儾⒉恍枰牢锲肪唧w有多重，有砝碼每次只能稱1份物品，沒有砝碼每次至少能稱出2份物品，在分成3份時(shí)能準(zhǔn)確地判斷這些物品中的唯一一個(gè)次品在哪1份中。關(guān)于對天平的認(rèn)識(shí)，除了天平上，還有天平外。在本課的教學(xué)研究實(shí)踐中，一教師在介紹天平時(shí)，說了天平的左端，天平的右端，天平之外。如果能直接將待測物品所處的位置描述成左盤、右盤、外盤，并且在后來的探究中為什么分成3份，加以充分的利用，那就很容易成功了。我們甚至設(shè)想，如果另有一架特殊的天平，它有三個(gè)托盤，則每稱一次就可以從總數(shù)的四分之一（左右）中找到次品，那么稱n次就可以在4n-1+1至4n個(gè)物品中找到唯一的一個(gè)次品。

迷霧二：至少稱幾次就能保證找出次品是什么意思？

如何理解這句話，參與教學(xué)實(shí)踐的教師都會(huì)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入分析，并且在教學(xué)過程中不斷地進(jìn)行強(qiáng)化。如一教師在讀題后，問：“你覺得哪些詞很重要？”然后逐一解釋。又如在學(xué)生說出5個(gè)產(chǎn)品中找次品時(shí)，可采用（2，2，1）的分法，稱一次就能找到次品，另一位教師追問：“一次可不可能找到呢？能不能保證？”第三位教師則通過創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生從81個(gè)玻璃球中找一個(gè)次品，學(xué)生回答可以分成（40，40，1），這樣稱一次就可以找到。該教師追問“這樣能保證嗎？”其他幾位教師也有同樣的追問，這樣可以讓學(xué)生較好地理解“至少”“保證”等關(guān)鍵性的詞句。

迷霧三：怎樣清晰表達(dá)找次品的推理過程？

注重語言的規(guī)范化描述。參與教學(xué)實(shí)踐的教師在學(xué)生用語言描述時(shí)，對學(xué)生進(jìn)行了有效的幫扶、更正。如一教師直接板書“如果……那么……”使學(xué)生能用規(guī)范化的語言描述推理過程。

注重通過動(dòng)手操作、小組合作來清晰地呈現(xiàn)推理過程。教師都安排了小組討論的教學(xué)環(huán)節(jié)。還有幾位教師讓學(xué)生先用學(xué)具與同桌擺一擺，說一說，再讓學(xué)生用小磁片在黑板上演示推理過程，一邊擺一邊說，這些做法對明晰推理思路都能起到很好的作用。

注重過程的圖示表達(dá)。教師在教學(xué)中都用圖示的方式，清晰地表示了分組情況及操作流程，這樣能讓學(xué)生理清思路。如一教師板書，9→（3，3，3）→（1，1，1）=2次。另兩位教師則給物品編號(hào)，并畫圖表示過程。

迷霧四：為什么用三分法且盡可能平均分是這類找次品問題的最優(yōu)方案？

采用三分法是我們找次品的工具——天平?jīng)Q定的。不用砝碼的天平，左盤、右盤都可以放置物品，還有在天平之外的物品，我們也可以稱之為外盤。每稱一次，讓沒有排除有次品嫌疑的所有物品，都成了待測對象，都可讓我們通過這一次稱重，對它們做出有沒有次品的判斷。因?yàn)橹挥?個(gè)次品，它必在三個(gè)盤的一個(gè)盤中，這樣我們就排除了三分之二（左右）的物品，只在剩下的三分之一（左右）的物品中找次品。如果采用四分法、五分法……每稱一次，僅能對左盤和右盤上的2份物品做出判斷，而其他幾份物品，在這一次稱重中并沒有接受有無次品的“審判”。對它們來說，這是一次無效稱重，因而肯定不是最優(yōu)方案。如果一架特殊的天平有三個(gè)、四個(gè)托盤，則每稱一次就可排除四分之三（左右），五分之四（左右）的物品里有無次品，則每稱一次可以在更大范圍內(nèi)找出次品。這里的天平只有兩個(gè)托盤，就要采用三分法。當(dāng)然在數(shù)目很少時(shí)，是不能突顯三分法的優(yōu)勢的，正如一些簡算方法，在數(shù)據(jù)較小時(shí)沒有什么優(yōu)勢一樣。為什么要將3份盡可能平均分呢？我們知道，在數(shù)量越少的物品中找出一個(gè)次品越容易。所以每次稱重就要排除盡可能多的物品，在相對較少的物品中去找那1個(gè)次品。如果3份數(shù)目相差較多，排除的對象就不一定是最多的。如我們將25個(gè)物品分成8，8，9，稱一次就可以排除16個(gè)或17個(gè)物品不是次品；如果我們分成7，7，11，稱一次就可以排除14個(gè)或者18個(gè)物品不是次品。但是排除18個(gè)要有機(jī)遇，不是能保證的，能保證的只是排除14個(gè)，而按8，8，9的分法，可以保證至少排除16個(gè)。其實(shí)，分3份（使每份最多相差1），只是一種表象，其實(shí)質(zhì)是要排除盡可能多的物品。

教師在撥開這層迷霧時(shí)，大多采用了列表的方式，從探究8個(gè)物品中找次品的不同分組方法中，來突顯三分法的優(yōu)勢。8個(gè)物品中找1個(gè)次品，有效的分組方法有4種，從中得出三分法優(yōu)于其他分法。這一點(diǎn)參與教學(xué)實(shí)踐的教師都做到了。但在進(jìn)一步挖掘?yàn)槭裁幢M可能平均分的實(shí)質(zhì)上，有兩位教師要做得好一些，因?yàn)樗齻冊谝龑?dǎo)學(xué)生分析這種方法時(shí)，強(qiáng)調(diào)了每種分組方式能排除多少個(gè)物品，這樣就能突顯采用三分法時(shí)為什么要盡可能平均分。

迷霧五：找次品蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法有哪些？在教學(xué)中如何貫徹這些思想和方法？

1.符號(hào)化的思想。參與教學(xué)實(shí)踐的教師在這節(jié)課上很好地貫徹了符號(hào)化的思想。如用畫出的圖示表示天平，用數(shù)字編號(hào)代替物品，用圖示表示推理過程。

2.化繁為簡的思想。如一教師通過創(chuàng)設(shè)的情境讓學(xué)生從2187瓶糖中找出1瓶次品，另一位教師設(shè)置應(yīng)聘題，讓學(xué)生從81個(gè)玻璃球中找1個(gè)次品，還有教師設(shè)置從27枚金幣中找1枚次品。先出示數(shù)據(jù)較大的問題，然后引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)據(jù)較小的3個(gè)物品開始，找1個(gè)次品，都很好地貫徹了化繁為簡的思想。

3.推理的思想。如一教師引導(dǎo)學(xué)生用“如果……那么……”來描述推理的過程。另一位教師讓學(xué)生從稱一次可以從3個(gè)待測物品中找出1個(gè)次品，稱兩次可以從9個(gè)物品中找出1個(gè)次品，稱三次可以從27個(gè)物品中找出1個(gè)次品，進(jìn)一步推出稱四次、五次、六次、七次，分別從81個(gè)、243個(gè)、729個(gè)、2187個(gè)待測物品中保證能找出1個(gè)次品。

4.優(yōu)化的思想。優(yōu)化的思想是找次品中最突出的思想，優(yōu)化的思想已在前面的教學(xué)中有過滲透。學(xué)生在“烙餅問題”中，體會(huì)到最大限度地讓鍋里是滿的，在“打電話問題”中，體會(huì)到讓每一個(gè)接到通知的人1分鐘也不閑著，幫著完成打電話的任務(wù)，只有這樣才是最優(yōu)方案。那么“找次品”時(shí)，就要讓學(xué)生體會(huì)每一次稱重都是對所有待測物品的一次鑒別，并盡可能將次品限制在最少的數(shù)量之中，那就是要排除盡可能多的物品里沒有次品。在這一點(diǎn)上，有兩位教師做得比較突出，她們在引導(dǎo)學(xué)生探究從8個(gè)物品中找次品中，從幾種不同的分組方法，強(qiáng)調(diào)第一次稱重排除了多個(gè)物品不是次品，排除的越多，剩下的越少，后面稱的次數(shù)也就應(yīng)該最少。其他幾位教師只是從幾種分組中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三分法，并且每份最多相差1時(shí)，稱重次數(shù)最少，但對其實(shí)質(zhì)沒有觸及。

當(dāng)然，這節(jié)課鎖住那道霞光的不僅僅只是以上這幾層迷霧，還有要不要將實(shí)物天平引入課堂？要不要在找次品的第一節(jié)課就總結(jié)出規(guī)律？現(xiàn)行教材為什么在實(shí)驗(yàn)教材的基礎(chǔ)之上進(jìn)行了調(diào)整？等等。師生要沐浴在這重重迷霧后面的一縷陽光中，敢問路在何方？