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      既要學(xué)好知識(shí) 更要把握關(guān)聯(lián)

      2019-01-12 10:38:47浦?jǐn)⒌?/span>特級(jí)教師
      初中生世界 2019年13期
      關(guān)鍵詞:塊面符號(hào)語(yǔ)言單項(xiàng)式

      ◎浦?jǐn)⒌拢ㄌ丶?jí)教師)

      初中數(shù)學(xué)中代數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容呈現(xiàn)“布點(diǎn)”式螺旋上升的特征。所謂“布點(diǎn)”式螺旋上升,就是把初中要學(xué)習(xí)的內(nèi)容按照由易到難的規(guī)律先后呈現(xiàn),布下一個(gè)一個(gè)知識(shí)板塊的“點(diǎn)”,然后在每個(gè)“點(diǎn)”上逐步深入?;仡櫼幌逻M(jìn)入初中以后我們學(xué)習(xí)的代數(shù)內(nèi)容,分別是“第2章有理數(shù)”“第3章代數(shù)式”“第4章一元一次方程”和“第8章冪的運(yùn)算”,如果將它們進(jìn)行歸類,第2章屬于“數(shù)”,第3、8章屬于“式”,第4章屬于“方程”,那么即將學(xué)習(xí)的“第9章整式乘法與因式分解”顯然也屬于“式”的范疇。

      本章內(nèi)容可以分成三個(gè)塊面,一是9.1、9.2、9.3構(gòu)成整式乘法,二是9.4乘法公式,三是9.5因式分解。學(xué)好本章內(nèi)容,我們不僅需要具體的知識(shí)作支撐,更需要有大局觀念,明白各塊面內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián),這也是今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)從“優(yōu)秀”到“卓越”的關(guān)鍵。本章中,第一塊面與第二塊面知識(shí)之間構(gòu)成了“一般與特殊”的關(guān)系;第一、二塊面與第三塊面知識(shí)之間構(gòu)成“互逆”的關(guān)系。下面就此展開說(shuō)明。

      一、如何全面認(rèn)識(shí)“整式乘法”

      我們先回顧一下七年級(jí)第2章有理數(shù)的“數(shù)”是怎么研究的。首先我們認(rèn)識(shí)了負(fù)數(shù),完成了初中代數(shù)的第一次飛躍,由此把正數(shù)、零、負(fù)數(shù)歸為有理數(shù),接著研究了有理數(shù)中相反數(shù)、絕對(duì)值和數(shù)軸等相關(guān)概念,進(jìn)而就進(jìn)入學(xué)習(xí)有理數(shù)的加減乘除乘方運(yùn)算。由此可見,研究數(shù)的主要目的就是要進(jìn)行數(shù)的運(yùn)算。

      用字母表示數(shù),完成了初中代數(shù)的第二次飛躍,從特殊走向一般,把“數(shù)”的研究開始轉(zhuǎn)向“式”的研究。代數(shù)式有許多種類型,而包含單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的整式是其中最特殊、最簡(jiǎn)單的一類。認(rèn)識(shí)了整式及相關(guān)概念后,式也將進(jìn)入學(xué)習(xí)正題,就是學(xué)習(xí)代數(shù)式中整式的運(yùn)算,包括整式的加減乘除乘方。那么,整式的加減運(yùn)算在哪里學(xué)的呢?在第3章代數(shù)式中,我們?cè)?jīng)學(xué)過(guò)同類項(xiàng)概念與合并同類項(xiàng)法則,中間有這樣一句結(jié)論:整式的加減就是合并同類項(xiàng)。由此可以看出,整式的加減在第3章代數(shù)式中已經(jīng)學(xué)過(guò),那么,接下去當(dāng)然就要學(xué)習(xí)“整式乘法”。我們通過(guò)“數(shù)”的研究思路和方法,運(yùn)用類比與對(duì)比,很容易就理清了“式”中“整式”研究的脈絡(luò)與方法。

      整式包括單項(xiàng)式與多項(xiàng)式,其進(jìn)行乘法運(yùn)算,從簡(jiǎn)單到復(fù)雜,從特殊到一般,就包括“單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式”“單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式”“多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式”三類。其中單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式是最簡(jiǎn)單、最特殊的情形,也是整式乘法運(yùn)算的奠基工程。式的運(yùn)算跟數(shù)的運(yùn)算一樣,同樣需要借助法則,不同的是,有理數(shù)的運(yùn)算其結(jié)果需要考慮“符號(hào)”與“絕對(duì)值”兩個(gè)方面,而整式的運(yùn)算其結(jié)果需要考慮“符號(hào)”“系數(shù)”“字母”與“指數(shù)”四個(gè)方面,相對(duì)來(lái)說(shuō)開始變得復(fù)雜,這需要同學(xué)們養(yǎng)成細(xì)心耐心、思考周密的習(xí)慣。一旦把單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式學(xué)扎實(shí)了,后面的單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式就簡(jiǎn)單了,用一句話來(lái)表達(dá)就是:把“多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式”通過(guò)運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化為“單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式”,再通過(guò)運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化為“單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式”。

      二、如何辯證認(rèn)識(shí)“乘法公式”

      乘法公式屬于多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的特殊情形,乘法公式與多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式構(gòu)成了特殊與一般的關(guān)系。根據(jù)特殊情形從屬于一般情形的關(guān)系,就算你不學(xué)乘法公式,就利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則,同樣可以計(jì)算出最后的結(jié)果。那為什么還要學(xué)習(xí)乘法公式呢?這是由數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)決定的。因?yàn)閿?shù)學(xué)的本質(zhì)追求的是“最簡(jiǎn)、最優(yōu)、最美”,本來(lái)兩項(xiàng)的多項(xiàng)式乘兩項(xiàng)的多項(xiàng)式,結(jié)果應(yīng)該有四項(xiàng),但我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)兩個(gè)兩項(xiàng)的多項(xiàng)式有一定規(guī)律的時(shí)候,其結(jié)果就變成了只有兩項(xiàng)或三項(xiàng)。利用公式可以直接得到簡(jiǎn)單的結(jié)果,學(xué)習(xí)乘法公式就顯得非常必要和重要。

      對(duì)于平方差公式與完全平方公式,我們需要從三個(gè)層面來(lái)理解并掌握。一是要知道兩個(gè)乘法公式不僅可以用代數(shù)的方法直接利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則得到,還可以通過(guò)構(gòu)造幾何圖形,利用面積的不同計(jì)算方法進(jìn)行驗(yàn)證,分別從代數(shù)與幾何兩個(gè)視角看公式的得出過(guò)程,大大豐富我們對(duì)新知生長(zhǎng)路徑的認(rèn)識(shí)。二是要知道兩個(gè)公式的特征,在不同情形下能夠快速地識(shí)別是否可用公式,用哪個(gè)公式,對(duì)公式中的a、b也要認(rèn)識(shí)全面。a與b不僅可以是單項(xiàng)式,也可以是多項(xiàng)式,說(shuō)明公式不僅具有一般性,而且具有廣泛的應(yīng)用性。三是要知道公式的特征。既然是公式,它就是一個(gè)等式,所以,不僅要掌握乘法公式的正向運(yùn)用,還要熟練掌握其逆向運(yùn)用。事實(shí)上,兩個(gè)公式逆向使用,就是本章第三塊面知識(shí):多項(xiàng)式的因式分解。

      三、如何宏觀認(rèn)識(shí)“因式分解”

      我們首先需要明確的是,前面的整式乘法與乘法公式兩個(gè)塊面都是屬于式的運(yùn)算,但因式分解這個(gè)塊面不屬于運(yùn)算,屬于式的恒等變形。其次,因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式,所以,研究因式分解的前提條件是針對(duì)一個(gè)多項(xiàng)式而言。既然因式分解不屬于運(yùn)算,那么,在此學(xué)習(xí)是為什么呢?這是基于兩個(gè)原因。其一,前面已經(jīng)談到,初中代數(shù)的呈現(xiàn)是布點(diǎn)式螺旋上升,后面即將學(xué)習(xí)新知識(shí)的過(guò)程中很快需要用到多項(xiàng)式因式分解這個(gè)“式的變形”,所以在這里先布點(diǎn)。其二,多項(xiàng)式的因式分解與整式乘法中單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的過(guò)程正好互逆。部分同學(xué)學(xué)習(xí)了整式乘法后再學(xué)習(xí)因式分解,會(huì)產(chǎn)生迷茫和混淆,上面的分析其實(shí)已經(jīng)非常明確地告訴大家如何區(qū)分兩者:整式乘法是式的乘法運(yùn)算,結(jié)果是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式,而因式分解是式的恒等變形,結(jié)果是幾個(gè)整式的積。

      多項(xiàng)式的因式分解方法共有提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法四種。單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則可以用符號(hào)語(yǔ)言a(b+c+d)=ab+ac+ad來(lái)表示,反過(guò)來(lái),ab+ac+ad=a(b+c+d)就變成因式分解的提取公因式法的符號(hào)語(yǔ)言;整式乘法之乘法公式用符號(hào)語(yǔ)言(a±b)2=a2±2ab+b2、(a+b)(a-b)=a2-b2來(lái)表示,反過(guò)來(lái),a2±2ab+b2=(a±b)2、a2-b2=(a+b)(a-b)就變成因式分解的運(yùn)用公式法的符號(hào)語(yǔ)言;同樣,多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd,反過(guò)來(lái)就變成因式分解的分組分解法;而多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的(x+a)·(x+b)=x2+(a+b)x+ab,反過(guò)來(lái)就變成因式分解的十字相乘法。

      綜上我們可以看出,隨著“數(shù)的運(yùn)算”轉(zhuǎn)換到“式的運(yùn)算”,不僅過(guò)程和結(jié)果變得比較復(fù)雜,而且各個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系也開始變得縱橫交錯(cuò),這就要求我們把學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)放在第一位,在此基礎(chǔ)上,還要理清各個(gè)知識(shí)塊面之間的相互關(guān)聯(lián),只有這樣,你的學(xué)習(xí)才能做到知其然,還知其所以然,也只有這樣,你的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才會(huì)從優(yōu)秀走向卓越。

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