張少勇 朱鵬

摘 要：將W.kirk最著名的結(jié)果：具有正規(guī)結(jié)構(gòu)自反的Banach空間關(guān)于非擴(kuò)張映射具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)，推廣到更加一般的映射形式，即：‖T（x）-T（y）‖≤a1（t）（d（x，y））‖x-y‖+a2（t）（d（x，y））‖x-T（x）‖+a3（t）（d（x，y））‖x-T（y）‖，其中∑3i=1ai（t）≤1，且ai（t）：（0，+∞）→（0，1）單調(diào)遞減， 研究了具有正規(guī)結(jié)構(gòu)自反的Banach空間關(guān)于上述映射具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：廣義非擴(kuò)張映射;正規(guī)結(jié)構(gòu);自反性;不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)

DOI：10.15938/j.jhust.2019.05.024

中圖分類號(hào)： O177. 3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1007-2683（2019）05-0145-04

Abstract：In this paper， the most famous result by W.kirk is that the non-expansive mapping has the fixed point property in a Banach space with normal structure reflexive is extended to a more general form of mapping，namely：‖T（x）-T（y）‖≤a1（t）（d（x，y））‖x-y‖+a2（t）（d（x，y））‖x-T（x）‖+a3（t）（d（x，y））‖x-T（y）‖， where ai（t）：（0，+∞）→（0，1） monotone decreases， a reflexive Banach space X with normal structure has the fixed point property for the mapping mentioned above.

Keywords：generalized non-expansive mapping; normal structure; reflexive; fixed point property

0 引 言

1912年，德國(guó)數(shù)學(xué)家Brouwer在運(yùn)用度理論在拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)上，證明了關(guān)于連續(xù)單值映射的一個(gè)著名的不動(dòng)點(diǎn)定理[1-6]。后來(lái)Schauder， Kakutani等人又相繼對(duì)Brouwer的結(jié)果進(jìn)行推廣[7-9]。

不動(dòng)點(diǎn)理論的研究一直都是數(shù)學(xué)研究的熱門問(wèn)題。許多年來(lái)，許多數(shù)學(xué)工作者通過(guò)各種方法不斷豐富不動(dòng)點(diǎn)理論，把單值壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)定理推廣到多值映射的情況[10-15]。20世紀(jì)初，Banach提出了著名的Banach壓縮映射原理。Banach壓縮映射的一種自然推廣是非擴(kuò)張映射，R.de Marr得到了一個(gè)關(guān)于非擴(kuò)張映射不動(dòng)點(diǎn)理論的重要結(jié)果，它是著名的Kakutani-Marko不動(dòng)點(diǎn)定理的推廣[16-19]。此后不久，Brouwer，Kirk，Petryshyn分別討論了定義在距離空間有界閉凸集上的非擴(kuò)張映像不動(dòng)點(diǎn)存在性，將其部分結(jié)果推廣到平均非擴(kuò)張映射的情形[20]。

1 預(yù)備知識(shí)

本文以X表示Banach空間。

定義1[21]? 映像T：X→X，若存在x*∈X，使得x*=T（x*），則稱x*為映像T的不動(dòng)點(diǎn)。

定義2[22]? 若C是X的非空有界閉凸子集，T：C→C。如果是指對(duì)于x，y∈C，有‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖，則稱T為C到其自身的非擴(kuò)張映射。

定義3 稱Banach空間X具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)（FPP）是指定義在X每一個(gè)非空有界閉凸子集上的非擴(kuò)張自映射具有不動(dòng)點(diǎn)。稱Banach空間X具有弱不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)（WFPP）是指X上的每一個(gè)弱緊凸子集的非擴(kuò)張自映射具有不動(dòng)點(diǎn)。

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（編輯：王 萍）