摘要：隨著當代經(jīng)濟的不斷發(fā)展，金融市場已經(jīng)成為經(jīng)濟發(fā)展的重要部分，而股票市場作為金融市場的重要組成部分，便與國民經(jīng)濟密切相關(guān)。對于投資者而言，如何及時了解價格波動從而準確分析股票市場行情，是決策過程中的一個關(guān)鍵問題;對于股票市場的管理者來說，如何把握股市動態(tài)，從而營造穩(wěn)定健康的交易環(huán)境，也是一項非常艱巨的任務(wù)。因此，更好地了解股市的波動特征，以及從中探索某些規(guī)律，對我們學(xué)習(xí)金融理論和進行金融實踐都具有重要的意義。本文以2009-2018年的滬深300指數(shù)為例，對ARIMA模型、ARCH模型和AR-GARCH模型進行擬合，比較其在股票價格走勢上的優(yōu)劣，再用通過檢驗的擬合模型對股價進行一個短期的預(yù)測。最后發(fā)現(xiàn)AR-GARCH模型對原序列有較好的擬合效果，并且獲得了較為精確的預(yù)測結(jié)果。

關(guān)鍵詞：時間序;ARIMA模型;ARCH模型;AR-GARCH模型

1.數(shù)據(jù)預(yù)處理

1.1? 平穩(wěn)性檢驗

本文選取了2009年1月至2018年12月的滬深300指數(shù)每個工作日的收盤價作為研究對象，繪制其時序圖并作出初步分析。

由原序列時序圖可以看出，該序列有不太明顯的周期性，直接觀察無法確定其是否平穩(wěn)，此時我們可以借助自相關(guān)圖進一步判斷序列是否平穩(wěn)。

根據(jù)原序列的ACF圖可以看出，隨著延遲期數(shù)k的增加，ACF一直在零軸上方為正，而且衰減到零的速度非常慢，因此可以判斷原序列為非平穩(wěn)序列。

1.2? 純隨機性檢驗

此時，再檢驗序列的純隨機性。結(jié)果顯示，在各階延遲下LB檢驗統(tǒng)計量的P值都遠遠小于0.05，因此可以確定原序列屬于非白噪聲序列，有繼續(xù)研究下去及對未來預(yù)測的意義。

2.股票價格建模

2.1? ARIMA模型

差分運算有著非常強大的確定性信息提取功能。通常來說，具有隨機性趨勢的非平穩(wěn)時間序列會在適當?shù)牟罘种箫@示出平穩(wěn)序列的性質(zhì)，此時我們稱這個非平穩(wěn)序列為差分平穩(wěn)序列。對于這種差分平穩(wěn)序列我們就需要利用ARIMA模型來進行擬合。

一階差分后的時序圖顯示，序列一直圍繞零軸波動，沒有明顯的規(guī)律，此時用單位根檢驗得p值<0.05，所以拒絕原假設(shè)，可以認為序列平穩(wěn)。然后，再對一階差分后的序列進行白噪聲檢驗，得到在各階延遲下LB檢驗統(tǒng)計量的P值都<0.05，因此得出一階差分后的序列是平穩(wěn)非白噪聲序列，可以使用ARIMA模型對其進行擬合。

可以認為自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)均顯現(xiàn)出了拖尾性，無法準確定階。此時利用R軟件提供的auto.arima函數(shù)自動識別模型階數(shù)，最終確定對原序列擬合ARIMA（3，1，2）模型。

這時對模型進行顯著性檢驗來檢驗?zāi)Ｐ偷挠行?。由于各階延遲下LB統(tǒng)計量的P值都大于0.05，因此可以認為這個擬合模型的殘差序列屬于白噪聲序列，即該擬合模型是顯著有效的。

根據(jù)輸出的擬合結(jié)果，得到擬合模型為：

2.2? ARCH模型

當使用ARIMA模型擬合非平穩(wěn)序列時，通常直接默認[εt]為零均值白噪聲序列。但在此之前，直接忽視了對方差齊性的任何檢驗，就直接默認了殘差序列肯定滿足這樣一個條件。在處理金融時間數(shù)據(jù)時，忽視異方差的存在會嚴重低估殘差的方差，使得參數(shù)的顯著性檢驗失去意義，進而使模型的擬合精度受到影響。

在實際處理金融數(shù)據(jù)時，廣泛采用的還是自回歸條件異方差模型，簡稱ARCH模型。

具有

結(jié)構(gòu)的模型稱為q階自回歸條件異方差模型，簡記為ARCH（q）。

考察原時間序列的方差齊性，經(jīng)過平方處理后的殘差序列明顯地呈現(xiàn)出異方差的特征，這時需要對它做進一步的處理。由于異方差函數(shù)的具體形式未知，因此擬合條件異方差模型。

接下來對殘差序列進行ARCH檢驗。通常使用Portmanteau Q檢驗和LM檢驗這兩種檢驗統(tǒng)計方法。檢驗后發(fā)現(xiàn)，在各階延遲下，Portmanteau Q檢驗統(tǒng)計量和LM檢驗統(tǒng)計量的P值均<0.05，所以拒絕原假設(shè)，認為該序列方差非齊且具有自相關(guān)關(guān)系，可以使用ARCH模型來提取殘差平方序列中蘊含的相關(guān)信息。

得到擬合模型是ARCH（3）模型：

ARCH模型擬合的95%置信區(qū)間的范圍，因為考慮了一階差分后序列的波動特征，所以ARCH模型更好地擬合了一階差分后序列的集群效應(yīng)波動特征。

2.3 AR-GARCH模型

由于殘差序列[et]在先前的檢驗中已被發(fā)現(xiàn)具有自相關(guān)性，所以需要先對它進行自回歸模型的擬合。

在條件異方差檢驗下，各階延遲下Portmanteau Q檢驗統(tǒng)計量均小于0.05顯著性水平，說明ARIMA（3，1，2）存在異方差，于是對它擬合GARCH（1，1）模型，并根據(jù)該模型的擬合結(jié)果繪制波動的95%置信區(qū)間圖。

綜合水平模型和波動模型，最終得到完整的AR-GARCH擬合模型為：

圖2-2給出了AR-GARCH模型擬合的殘差序列波動置信區(qū)間，

進行比較后，發(fā)現(xiàn)AR-GARCH模型擬合結(jié)果繪制的95%置信區(qū)間比ARCH模型擬合的95%置信區(qū)間更加貼合原序列的真實波動情況，說明AR-GARCH模型的擬合效果更好，對序列波動的預(yù)測也將更加準確。

2.4? 模型比較

本章對滬深300股票價格進行了ARIMA（3，1，2）、ARCH（3）和AR-GARCH（1，1）三種模型的擬合，三種模型都通過了顯著性檢驗，且都獲得了不錯的擬合效果。為了得到一個相對最優(yōu)的擬合模型，需要運用最小信息量準則（AIC）來對這三個模型進行比較。我們運用如下公式來計算擬合模型的AIC的值：

AIC=-2ln（模型的極大似然函數(shù)值）+2（模型中未知參數(shù)個數(shù)）

根據(jù)AIC最小原則，比較得出AR-GARCH（1，1）是相對最優(yōu)模型，ARCH（3）次之，ARIMA（3，1，2）再次之。

3.模型預(yù)測

3.1? AR-GARCH模型預(yù)測

選取相對最優(yōu)模型，利用“rugarch”程序包用擬合好的AR-GARCH模型做預(yù)測，并將殘差序列的預(yù)測值轉(zhuǎn)化為原序列的預(yù)測值

由于此時已經(jīng)得到了滬深300指數(shù)未來10天收盤價的真實值，于是可以通過比較真實值與預(yù)測值的誤差來判斷模型預(yù)測的優(yōu)劣。接下來將三種模型獲得的預(yù)測值與真實值進行比較：

其中，ARIMA（3，1，2）模型與ARCH（3）模型預(yù)測值的相對誤差非常接近，可以認為這兩種模型的預(yù)測效果差不多。而GARCH（1，1）模型的相對誤差明顯小于前兩個模型，可以認為GARCH（1，1）模型的預(yù)測精度是最高的，即預(yù)測結(jié)果會更接近真實值。這個結(jié)果也與上一章比較模型優(yōu)劣的結(jié)果一致。

3.2 橫向預(yù)測

為了檢驗?zāi)Ｐ偷拈L期預(yù)測效果，這里選用上述模型中預(yù)測效果最好的AR-GARCH（1，1）模型來對未來50天（約為2019年1-2月份）的收盤價進行預(yù)測。

由圖3-1可以很明顯地看出，隨著期數(shù)的增加，AR-GARCH（1，1）模型的預(yù)測值與實際值的相對誤差逐漸增大，到第50期時，相對誤差已經(jīng)超過了20%，也就是說該模型的預(yù)測精度越來越低，已經(jīng)失去了準確預(yù)測收盤價的能力。

4.結(jié)論

本文主要討論了求和自回歸移動平均模型和條件異方差模型在股票價格時間序列分析中的應(yīng)用。通過對滬深300股價進行三種模型的擬合，都成功建立了顯著性模型，再一次證明了股票價格的可預(yù)測性：

（1）在本文研究的案例中，殘差序列的異方差函數(shù)是具有長期自相關(guān)性的，因此在使用ARCH模型進行擬合時會產(chǎn)生高階移動平均，而用GARCH模型擬合時就可以克服這一問題，提高擬合精度。所以對于股票價格時間序列這類異方差函數(shù)長期自相關(guān)的序列，選擇使用GARCH模型擬合可以獲得相對最優(yōu)的擬合效果，從而得到更準確的預(yù)測。

（2）短期預(yù)測的結(jié)果與實際值相差并不大，預(yù)測的相對誤差基本可以控制在2%以內(nèi)，說明擬合的效果非常好，可以利用該模型對近期股市進行短期預(yù)測，幫助投資者做出更好的投資決斷。但是在使用該模型進行長期預(yù)測時，結(jié)果不盡如人意，預(yù)測精度明顯下降，失去準確預(yù)測的能力。

（3）時間序列作為金融市場分析的有效工具，有著巨大的實用價值和發(fā)展前景。通過時間序列來探尋股票價格波動的規(guī)律，對投資者進行投資決策、規(guī)避風(fēng)險、獲得最大收益有重要的參考意義。然而對股票市場規(guī)律的研究是十分復(fù)雜的，本文僅通過歷史數(shù)據(jù)對滬深300的走勢進行了一些分析和預(yù)測，并未考慮股票的投資收益率、風(fēng)險溢價等指標，如何處理原始數(shù)據(jù)并選擇最優(yōu)模型還需要進一步的研究來完善。

作者簡介：

黃旻浩（1996-? ），男，漢族，江蘇省無錫市人，香港中文大學(xué)理學(xué)碩士研究生在讀，統(tǒng)計機器學(xué)習(xí)。