劉玉忠, 張嘉恬

(沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034)

0 引 言

切換系統(tǒng)是一類重要的混雜系統(tǒng),它由有限個(gè)子系統(tǒng)及作用在其中的切換規(guī)則組成,由于切換系統(tǒng)具有非常重要的實(shí)際意義,在過(guò)去幾十年中被普遍關(guān)注[1-17]。WICKS等[3]研究了共同李雅普諾夫函數(shù)方法;BRABICKY[4]和孫常春等[5]研究了多李雅普諾夫函數(shù)方法;HESPANHA等[6]研究了基于駐留時(shí)間的慢切換方法。平均駐留時(shí)間方法作為研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要方法,要求在有限時(shí)間內(nèi)切換次數(shù)是有限的,并且在2個(gè)連續(xù)切換點(diǎn)間的時(shí)間間隔的平均值不小于一個(gè)常數(shù),學(xué)者們發(fā)現(xiàn)在相關(guān)穩(wěn)定性分析中,平均駐留時(shí)間切換比駐留時(shí)間切換的保守性要小[7-9]。

在切換系統(tǒng)中,把一個(gè)子系統(tǒng)稱為一個(gè)模型,而本文所說(shuō)的控制問(wèn)題就是設(shè)計(jì)模型依賴控制器或模型獨(dú)立控制器并找到可行的切換信號(hào)使系統(tǒng)穩(wěn)定[10-11]。模型依賴的控制器具有更小保守性,這就意味著控制器間的切換與模型間的切換完全同步的實(shí)際意義很小。異步控制是指?jìng)溥x控制器間的切換與系統(tǒng)模型間的切換是異步的,因?yàn)樵趯?shí)際中控制器需要時(shí)間去識(shí)別系統(tǒng)模型,這就使控制器與系統(tǒng)模型之間無(wú)法完全同步,即產(chǎn)生了控制器的延遲。由于異步控制在實(shí)際生活中具有重要研究?jī)r(jià)值,因此許多研究領(lǐng)域都涉及到了異步切換,例如異步觀測(cè)器設(shè)計(jì)[12]、異步濾波[13]、異步H∞控制[14]等。Zhang和Gao[15]研究了線性切換系統(tǒng)的異步切換;Lian和Ge[16]研究了異步切換下切換系統(tǒng)魯棒H∞輸出跟蹤反饋問(wèn)題;Fei等[17]研究了2-D切換系統(tǒng)的異步控制問(wèn)題。雖然考慮帶有時(shí)滯以及不確定的切換系統(tǒng)會(huì)使分析變得更加復(fù)雜,但卻具有實(shí)際意義。

本文研究了在異步切換下含有不確定時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒控制問(wèn)題。首先利用平均駐留時(shí)間方法得到了異步切換下系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件,其次在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了相應(yīng)的狀態(tài)反饋控制器,用Schur補(bǔ)引理將其轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式便于利用MATLAB等數(shù)學(xué)工具求解。

1 問(wèn)題描述

考慮由以下狀態(tài)方程描述的不確定時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng):

(1)

式中:x(t)∈Rn是狀態(tài)向量;u(t)∈Rm是控制輸入;A、B、D、E1、E2、Ed是已知的適當(dāng)維數(shù)矩陣;ΔA、ΔAd、ΔB是范數(shù)有界不確定參數(shù)矩陣且滿足[ΔAΔAdΔB]=DF(t)[E1EdE2],其中F(t)∈Ri×j為滿足FT(t)F(t)≤I的不確定矩陣;σ(t)是時(shí)間的分段常函數(shù),稱為切換信號(hào),σ(t):[0,∞)→M={1,2,…,t},l為子系統(tǒng)個(gè)數(shù),與之對(duì)應(yīng)的一個(gè)切換序列可記為0

0≤d(t)≤h,d(t)≤τ<1

(2)

構(gòu)造一個(gè)無(wú)記憶狀態(tài)反饋控制器

u(t)=Kσ′(t)x(t)

(3)

結(jié)合式(1)和式(3)所導(dǎo)出的閉環(huán)系統(tǒng)如下:

(4)

本文目的是得到系統(tǒng)(4)魯棒指數(shù)穩(wěn)定的充分條件以及得到狀態(tài)反饋控制器的控制器增益矩陣。為此需要下面的引理。

引理[18]給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y、D、E,其中Y是對(duì)稱的,則

Y+DFE+ETFTDT<0

對(duì)所有滿足DT(t)F(t)≤I成立,當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)常數(shù)ε>0,使得

Y+εDDT+ε-1ETE<0

2 主要結(jié)果

定理1 給定常數(shù)α>0,β>0,?i,j∈M,i≠j,如果存在對(duì)稱正定矩陣Pj,Ri和常數(shù)ε1>0,ε2>0,使

Pi≤μPj,Ri≤μRj

(5)

(6)

(7)

成立,這里

假設(shè)子系統(tǒng)的駐留時(shí)間滿足下式:

(8)

則異步切換下切換系統(tǒng)(4)指數(shù)穩(wěn)定。

證明 分別討論t∈[tk-1+Δk-1,tk)和t∈[tk,tk+Δk)的情形。

1) 當(dāng)t∈[tk-1+Δk-1,tk)時(shí),構(gòu)造分段Lyaponov泛函:

(9)

由式(2)可得

(13)

由式(6),可得到

(14)

這里

2) 當(dāng)t∈[tk,tk+Δk)時(shí),構(gòu)造分段Lyaponov泛函:

在此區(qū)間內(nèi)σ′(t)=i,σ(t)=j

(15)

V2σ′(t)在此區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)為

由定理1和式(7)可以得到

再由引理得,存在一個(gè)標(biāo)量ε2>0,使

(18)

由式(18)得

(19)

結(jié)合式(14)和式(19)得

顯然如果式(8)成立,則有t→∞時(shí),V(t)→0。

令κ1=minλmin(Pi),κ2=maxλmax(Pi)+hmaxλmax(Pi),由式(23)可以得到

結(jié)論得證。

定理2 給定常數(shù)α>0,β>0,μ≥1,?i,j∈M,i≠j,如果存在ε1,ε2,Xi>0,Vt>0,并且對(duì)任意矩陣Wi滿足如下LMIs:

這里

證明 應(yīng)用矩陣的Schur補(bǔ)引理,(6)式等價(jià)于

(28)

式(28)等價(jià)于

對(duì)上式矩陣分別左乘和右乘矩陣diag{Xi,Vi,I,I,I,I}可得式(26),同理對(duì)式(7)做相同的處理可得式(27)。

此外,應(yīng)用Schur補(bǔ)引理,式(25)等價(jià)于

即由式(25)可得式(5)。

結(jié)論得證。

3 結(jié) 論

文章研究了一類不確定時(shí)變時(shí)滯線性切換系統(tǒng)的異步切換問(wèn)題。通過(guò)平均駐留時(shí)間法,找到了保證切換系統(tǒng)在異步切換下魯棒指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。構(gòu)建的李雅普諾夫函數(shù)是控制器切換信號(hào)決定的并且選取的李雅普諾夫函數(shù)在控制器與系統(tǒng)模型的異步階段是允許增長(zhǎng)的。最后在獲得相應(yīng)保證其穩(wěn)定的控制器增益過(guò)程中,得到了關(guān)于變量的線性矩陣不等式,這有利于在其可行時(shí)找到它的可行解。