任 寧,李金仙

(山西大學 數(shù)學科學學院，山西 太原 030006)

自古以來，謠言都是一種重要的消息傳播方式[1].不同的書本與文獻對謠言有著不同的定義，但它們對謠言的描述都包括“沒有事實依據(jù)”這一條[2].社會上的每個人都有自己的辨別能力和主觀想法，所以他們對待謠言的態(tài)度也不一樣[3].謠言所引起的人們的恐慌以及各方面的損失是我們不希望看到的[4].因此，謠言傳播的過程特征，如何減少謠言傳播的危害以及如何引領(lǐng)人們進行謠言相關(guān)的預防措施成為了十分重要的研究課題[5].在傳統(tǒng)的謠言傳播模型中，只考慮了一個人在聽到謠言后，或者繼續(xù)傳播，或者不理睬，卻沒有考慮這個人有可能不贊同這個謠言[6].而在實際謠言傳播過程中，有些人不但不傳播謠言，還會勸說其他人不要傳播，這反映出社會網(wǎng)絡本身對謠言傳播的一種自發(fā)抵抗，這也是本文主要研究的問題[7].同時，為了使動力學方程封閉，利用了概率生成函數(shù)的方法[8].通過謠言傳播模型的研究，為現(xiàn)實生活中有害謠言的抑制提供了一系列理論依據(jù).

1 SICR謠言傳播模型

1.1 定義

根據(jù)人群對謠言的態(tài)度，將人群分為4大類：未知者，傳播者，反對者和沉默者，分別用S,I,C,R來表示它們的密度，且滿足S+I+C+R=1[9].設網(wǎng)絡中的人群總數(shù)設為N，即網(wǎng)絡中總節(jié)點數(shù)為N，網(wǎng)絡中的總邊數(shù)為A.其他參數(shù)定義詳見表1.

表1 主要參數(shù)

續(xù)表1

符號定義PIS節(jié)點發(fā)出的邊連接到I節(jié)點的概率PSS節(jié)點發(fā)出的邊連接到S節(jié)點的概率PCS節(jié)點發(fā)出的邊連接到C節(jié)點的概率AX集合X中節(jié)點發(fā)出的邊的數(shù)量MX集合X中節(jié)點發(fā)出的邊占網(wǎng)絡中所有邊的比例AXY集合X中節(jié)點發(fā)出連接到集合Y中節(jié)點的邊的數(shù)量MXY集合X中節(jié)點發(fā)出連接到集合Y中節(jié)點的邊占網(wǎng)絡中所有邊的比例δXYXY二元組中X節(jié)點余度的平均值δXY(Z)δXY條邊中連向Z類節(jié)點的平均值

1.2 模型的構(gòu)建

1.2.1SICR謠言傳播模型的傳播機制

SICR謠言傳播模型的傳播機制描述為.

1)當一個未知者(S)遇到一個傳播者(I)時，可能以概率α變?yōu)橐粋€新的傳播者；可能以概率β變?yōu)橐粋€新的沉默者；可能以概率δ變?yōu)橐粋€新的反對者；

2)當一個傳播者(I)接觸到其他傳播者(I)或沉默者(R)時，會以概率γ變?yōu)橐粋€新的沉默者；

3)當一個傳播者(I)遇到不認同該謠言的反對者(C)時，反對者會盡力說服傳播者放棄傳播謠言，則該傳播者會以概率η變?yōu)樾碌某聊?

類似于文獻[10]的推導，用Sk(t)表示時刻t度為k的節(jié)點是未知者的密度，那么我們可以得到

(1)

(2)

(3)

其中θ表示度為1的節(jié)點是未知者的概率.

利用度分布pk的概率生成函數(shù)，可以得到

S=p0+p1θ+p2θ2+p3θ3=g(θ),

(4)

此式可以用于簡化后面的公式.且容易得

(5)

由(1)式，可知

(6)

則

(7)

又由

(8)

得

(9)

且

(10)

為了確定MSI關(guān)于時間的導數(shù)，可以從3個方面考慮.

1) 在SI二元組中由于傳播者對謠言的傳播使未知者變成傳播者，容易得到MSI減少的比率為(α+β+δ)MSI；

2) 由于未知者的余度鄰居的狀態(tài)的不同導致的MSI的變化.假設任意一個節(jié)點其鄰居狀態(tài)之間是相互獨立，而且從S出發(fā)并且指向其他節(jié)點的邊數(shù)服從多項分布.PS+PI+PC+PR=1，則可以得到未知者節(jié)點的余度分布的概率生成函數(shù)為

gSI(XS,XI,XC,XR)=g′[θ(PSXS+PIXI+PCXC+PRXR)]/g′(θ).

(11)

由(11)式以及概率生成函數(shù)的性質(zhì)，可以得到以下3個式子

(12)

(13)

(14)

3) 由于SI邊中，由于I的恢復，使SI邊變?yōu)镾R邊導致的MSI的減少，并利用對逼近的思想，得到MSI減少的比率，用*式表示.

(15)

由此，可以知道

(16)

把公式(8～10)、(16)帶入公式(7)可以得到

(17)

類似推理可知

(18)

(19)

(20)

因此 可得到如下封閉系統(tǒng)：

2 理論分析

2.1 初始條件

假設初始時刻網(wǎng)絡中的節(jié)點被隨機選擇為傳播者的概率為ε，那么可以得到如下的初始條件：

1)MI=ε,MSI≈MI=ε；

2)MS=1-MSI=1-ε,MSS=MS-MSI=1-2ε；

4)MIC=0；

5)θ=1-ε.

2.2 傳播閾值

將上面的初始條件應用到公式(17)中，并且注意到ε<<1，我們可以得到：

(21)

(22)

(23)

3 仿真模擬

下面在泊松網(wǎng)絡中進行數(shù)值仿真，不失一般性，設這里的網(wǎng)絡平均度為4，初始時刻ε=10-3.

從圖1中可以看出，傳播者的密度隨時間的增加而增加直到峰值，之后開始下降.說明謠言傳播過程中，傳播者的數(shù)量一開始會逐漸增多，到達最大值之后開始下降，直到傳播者數(shù)量趨于0.這時謠言傳播終止，網(wǎng)絡中不再有謠言出現(xiàn).

圖2顯示了SICR謠言模型在不同的參數(shù)下，傳播者的峰值受參數(shù)變化的影響.可以看出傳播者的變化總體趨勢相同，同時峰值隨著α或δ的增大而增大.

圖1 傳播者密度隨時間的變化趨勢 圖2 傳播者的密度隨α或δ的增加而變化的情況

4 結(jié)語

本文考慮了謠言傳播過程中可能出現(xiàn)反對者，所以在經(jīng)典SIR模型中加入了反對機制，利用了概率生成函數(shù)的方法分析了當出現(xiàn)反對者時謠言傳播的過程，分析了謠言傳播的閾值，并進行了仿真模擬.加入反對者的謠言傳播模型體現(xiàn)了現(xiàn)實生活中一部分人對謠言的抵抗，同時概率生成函數(shù)是一個十分有效的數(shù)學工具，要善于利用概率生成函數(shù)進行思考.這個課題還有很多可以做的工作，希望本篇的工作可以為進一步研究提供參考.