一種基于TV 分裂的真正多維Riemann 解法器

胡立軍，袁禮

摘要：目的：在構(gòu)造精確和健壯的數(shù)值格式求解守恒律時，高精度的Godunov 型數(shù)值格式由于能夠保持原物理問題的物理特性，越來越受到人們的青睞。數(shù)值求解黎曼問題被看作是設(shè)計(jì)Godunov 型高精度高分辨率數(shù)值格式時一個非常重要的組成部分。因此，找到一個較好的近似黎曼解法器成為了許多計(jì)算流體力學(xué)研究人員努力的方向。傳統(tǒng)的近似黎曼解法器在計(jì)算多維問題時將網(wǎng)格界面的間斷分解成為一維波系結(jié)構(gòu)，在計(jì)算中僅僅考慮了沿著網(wǎng)格界面法向方向傳播的信息，然而完全忽略了沿著網(wǎng)格界面切向傳播的信息。這會導(dǎo)致許多問題，例如格式分辨率和穩(wěn)定性的降低，在計(jì)算多維問題時允許使用的CFL 數(shù)大大減小等。因此構(gòu)造一種精確、健壯并且高效的真正多維黎曼解法器成為了計(jì)算流體力學(xué)的熱門問題。本文構(gòu)造了一種真正多維的黎曼解法器，并且進(jìn)行了相關(guān)的數(shù)值實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證其表現(xiàn)。方法：采用Toro-Vázquez 分裂方法將二維歐拉方程的通量分裂成對流通量和壓力通量，其中對流通量使用類似于AUSM 格式的迎風(fēng)方法來計(jì)算，壓力通量使用波速基于壓力系統(tǒng)特征值的HLL 格式來計(jì)算，并將HLL 格式耗散項(xiàng)中的密度差用壓力差來代替，從而克服傳統(tǒng)的一維HLL 格式不能捕捉接觸間斷的缺點(diǎn)。為了實(shí)現(xiàn)數(shù)值格式真正多維的特性，分別計(jì)算網(wǎng)格界面中點(diǎn)和角點(diǎn)上的數(shù)值通量，并且采用Simpson 公式加權(quán)中點(diǎn)和角點(diǎn)上的數(shù)值通量來得到網(wǎng)格界面上的數(shù)值通量。其中，網(wǎng)格界面中點(diǎn)處的數(shù)值通量通過求解傳統(tǒng)的一維黎曼問題來獲得，角點(diǎn)處的數(shù)值通量通過求解角點(diǎn)處四個狀態(tài)構(gòu)成的二維黎曼問題來獲得。采用基SDWLS（solution dependent weighted least squares）梯度的線性重構(gòu)來獲得空間的二階精度，時間離散采用二階Runge-Kutta 格式。結(jié)果：數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，本文構(gòu)造的真正多維HLL 格式不僅能夠達(dá)到空間的二階精度，而且還表現(xiàn)出良好的網(wǎng)格收斂性。相比于傳統(tǒng)的一維HLL 格式，真正多維的HLL 格式具有以下優(yōu)點(diǎn)：能夠精確地分辨接觸間斷，可以消除慢行激波波后振蕩，具有更高的分辨率，可以使用更大的時間步長。并且，與其他能夠分辨接觸間斷的數(shù)值格式（例如HLLC 格式）相比，真正多維的HLL 格式表現(xiàn)出了更好的健壯性，在計(jì)算二維問題時不會出現(xiàn)數(shù)值激波不穩(wěn)定現(xiàn)象。結(jié)論：本文結(jié)合Toro-Vázquez 分裂方法的優(yōu)點(diǎn)設(shè)計(jì)了一種形式簡單，計(jì)算代價相對較小的真正多維HLL 黎曼解法器。相比于傳統(tǒng)的一維HLL 黎曼解法器，真正多維的HLL 黎曼解法器在計(jì)算中能夠精確地捕捉接觸間斷，具有更高的分辨率，可以使用更大的時間步長并且在強(qiáng)激波附近不會出現(xiàn)數(shù)值激波不穩(wěn)定現(xiàn)象。因此，它是一種精確，高效并且健壯的數(shù)值方法，在計(jì)算流體力學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。

來源出版物：應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2017, 38(3): 243-264

入選年份：2017