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      素數(shù)的來源與“1-1”定理

      2019-01-28 17:53:46程中戰(zhàn)
      成長·讀寫月刊 2019年1期

      程中戰(zhàn)

      一、定義

      兩個正整數(shù)集合的各元素沒有共同的分解質(zhì)因子,稱這兩個集合互質(zhì)。

      例,A={3 6 7 21},B={5 11 13 17 25},集合A與B互質(zhì);

      一個正整數(shù)集合的各元素與一個正整數(shù)沒有共同的分解質(zhì)因子,稱這個正整數(shù)與這個集合互質(zhì)。如上例中,5與集合A互質(zhì);

      集合的所有元素的連乘積稱為集合的乘積,例,集合A={3 6 7 21},集合A的乘積為

      A=3×6×7×21

      二、倍數(shù)公理

      把正整數(shù)集合A適當分成兩個互質(zhì)的集合B與C,有x=B+C, y=B-C,則x、y與集合A互質(zhì)。例,A={2 3 5 6 7 11 13},B={5 7 13},C={2 3 6 11},

      x=B+C=455+396=851=23×37, y=B-C=455-396=59,顯然,851,59都與集合A互質(zhì)。

      三、素數(shù)的生成表達式

      連續(xù)素數(shù)冪的集合A={1 2a 3b 5c 7d 11e 13f…pi},冪指數(shù)a、b、c…i為非負整數(shù),把集合A任意分成兩個集合B、C,有x =B+C,y=B-C ,則x、y一定是新素數(shù)或是若干個新素數(shù)的乘積。

      特別地,當小于等于■(或■)的最大素數(shù)為p1,而又p1小于等于 p時,x(或y)一定是素數(shù)。

      例,A={22 33 5 7 11 13},B={{22 33 7},C={5 11 13},x=1471,y=41

      因為■=6.403,5<6.403,5<13,所以,41一定是素數(shù)。

      A={2 3 5 7 11 13 17 19 23},B={{3 13 17 23},C={2 5 7 11 19},x=29879,y=619

      因為■,23<24.879,23=23,所以,619一定是素數(shù)。

      四、素數(shù)的來源

      1+1=2, 2+1=3,把1看成是特殊的素數(shù),這樣素數(shù)的最初集合為A ={1 2 3},把A一分為二,有2×3±1=7, 5 這樣素數(shù)的集合擴展為A ={1 2 3 5 7},再把A一分為二,有3×7±2×5=31,11;2×5±3=13,7。 用這種方法繼續(xù)擴展素數(shù)集合,就可以得出所有的素數(shù)。這個過程可表為口訣,1生2,2生3,3生萬數(shù)。顯然,運用倍數(shù)公理及素數(shù)的生成表達式直接就證明了素數(shù)有無窮多個。

      對于每個大偶數(shù)2n(2n>4)總存在p1與p2關于n對稱,其中p1、p2為奇素數(shù),有p1=n+k,P2=n-k,即2n=p1+p2,例,n=210,■=14.491,小于14.491的最大素數(shù)是13,從2~13的所有素數(shù)是 2 3 5 7 11 13, ?210的分解質(zhì)因子是 2 3 5 7,那么210±11×13=353, 67是兩個素數(shù),210±13=223,197也是兩個素數(shù),所以,2×210=420=353+67=223

      +197

      五、“1-1”定理

      任何一個偶數(shù)(包括0)都可表示為無窮多對不同的奇素數(shù)之差。

      關鍵詞:孿生素數(shù),類孿生素數(shù),n生素數(shù)。

      孿生素數(shù):差為2的兩個奇素數(shù);

      類孿生素數(shù):差為n的兩個奇素數(shù)(n為偶數(shù));

      n生素數(shù):即類孿生素數(shù),例如,差為4的兩個奇素數(shù)稱為4生素數(shù),差為6的兩個奇素數(shù)稱為6生素數(shù),

      證明:在素數(shù)數(shù)列1 2 3 5 7(p中,假設p是最后一個素數(shù),據(jù)倍數(shù)公理則有:

      (1)2×3×5×7×(×p±1必為一對孿生素數(shù);

      (2) 3×5×7×11×(×p±2必為一對差4的素數(shù);

      (3)2×5×7×11×(×p±3必為一對差6的素數(shù);

      (4)3×5×7×11×(×p±4必為一對差8的素數(shù);

      (5)2×3×7×11×(×p±5必為一對差10的素數(shù);

      (6)5×7×11×13×(×p±6必為一對差12的素數(shù);

      ……

      一般地,1×2×3×5×7×11×…×p±k必為一對差2k的素數(shù)。k為正整數(shù),連乘積中不含k的質(zhì)因子。假設p是素數(shù)數(shù)列中最后的一個素數(shù)時,必然存在最后一對孿生素數(shù)、四生素數(shù)、…n生素數(shù),然而,通過上述計算式又可得出新的一對孿生素數(shù)、四生素數(shù)、…n生素數(shù),所以,孿生素數(shù)、四生素數(shù)、…n生素數(shù)是無窮多的。又因為素數(shù)無限多,所以,素數(shù)p-p=0也無限多。

      因此,任何一個偶數(shù)(包括0)都可表示為無窮多對不同的奇素數(shù)之差。

      故,“1-1”定理成立。

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