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(湖南工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 株洲 412000)

0 引言

介質(zhì)損耗角是反應(yīng)絕緣材料損耗狀況的重要特征參數(shù)[1-2]。通過對(duì)介質(zhì)損耗角的檢測(cè)，并進(jìn)行數(shù)據(jù)分析可以實(shí)現(xiàn)故障的診斷。如何在復(fù)雜工況下提高損耗角檢測(cè)的可靠性是學(xué)者們研究的重點(diǎn)內(nèi)容。

現(xiàn)有損耗角的檢測(cè)方法中，有的基于硬件實(shí)現(xiàn)[3-4]如：過零點(diǎn)相位監(jiān)測(cè)、相位法等，誤差較大且易累積，增加了硬件實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜程度。有的基于軟件實(shí)現(xiàn)[5-7]如：諧波分析法，相關(guān)分析法，高階正弦擬合方法等，軟件實(shí)現(xiàn)降低了硬件成本，數(shù)據(jù)處理的實(shí)時(shí)性和可靠性較高。諧波分析法數(shù)字化實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，并且三角函數(shù)的正交性具有一定的抗干擾能力，因此被廣泛應(yīng)用。但是采用諧波分析法時(shí)由于電源信號(hào)頻率的波動(dòng)以及環(huán)境中的大量諧波干擾，頻譜泄露和柵欄效應(yīng)是影響測(cè)量誤差的重要因素[8]。即使在硬件電路設(shè)計(jì)時(shí)加入鎖相環(huán)也無法實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格的信號(hào)同步采樣。文獻(xiàn)[9-10]提出了幾種提出了幾種減少柵欄效應(yīng)和頻譜泄漏的新算法，如加窗插值算法，傳統(tǒng)相位差較正算法等。一些經(jīng)典的窗函數(shù)如：hanning窗、Blackman-Harris窗、Nuttall窗等被應(yīng)用，為追求更優(yōu)良的窗函數(shù)性能，又提出了卷積窗[11]來抑制頻譜泄露。在考慮諧波和噪聲的干擾，插值算法和相位差校正算法中相位失真較為嚴(yán)重。同時(shí)插值算法在求解過程中需要進(jìn)行多項(xiàng)式的擬合，計(jì)算量大對(duì)處理的實(shí)時(shí)性有一定的影響。

本文通過比較不同窗函數(shù)的性能，選擇旁瓣較小，且無負(fù)值，衰減較快的三角窗進(jìn)行卷積來抑制頻譜泄露。同時(shí)對(duì)全相位數(shù)據(jù)預(yù)處理方法進(jìn)行研究，提出可以應(yīng)用到實(shí)際工程的相位校正算法，且計(jì)算量較小。通過仿真結(jié)果表明，本文采用的算法測(cè)量誤差較低，具有較高的可靠性。

1 介質(zhì)損耗角在線檢測(cè)原理

絕緣材料長時(shí)間工作在復(fù)雜的工況下，由于電導(dǎo)和極化的滯后作用會(huì)使內(nèi)部介質(zhì)損耗，引起絕緣溫度的上升導(dǎo)致絕緣材料燒焦，從而失去絕緣性能。通過檢測(cè)介損角因素來反應(yīng)絕緣材料損耗情況。

對(duì)于電容型絕緣材料來說，可以將其等效為電容和線性電阻的并聯(lián)組成，結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 絕緣材料失效機(jī)制

理想的絕緣材料，按照電容效應(yīng)，電流超前電壓90度。設(shè)等效電路功率因素角為φ，則介損角可表示為δ=90°-φ。一般情況下Ic遠(yuǎn)大于Ir，因此介損角很小，一般為0.001～0.02 rad，不容易被檢測(cè)。根據(jù)電流模型可得：

tanδ=tan(90°-φ)=tan(90-(φi-φu))

(1)

式中，φi為泄露電流初始相位角；φu為絕緣材料兩端電壓初始相位角。

介質(zhì)損耗角在線檢測(cè)設(shè)備安裝于被測(cè)絕緣材料處，在交流電源的作用下，利用傳感器實(shí)時(shí)同步采集通過絕緣材料的泄露電流和兩端電壓數(shù)據(jù)，對(duì)檢測(cè)信號(hào)進(jìn)行調(diào)理后送入處理器計(jì)算等效電路中電壓和電流的初始相位角，帶入式(1)即可計(jì)算介質(zhì)損耗角。在線檢測(cè)原理如圖2所示。但是被檢測(cè)絕緣設(shè)備在運(yùn)行時(shí)信號(hào)的檢測(cè)會(huì)受到各種干擾，初始相位角的計(jì)算往往存在較大的誤差。因此需要對(duì)相位角高精度計(jì)算方法進(jìn)行研究。

圖2 介損角在線監(jiān)測(cè)實(shí)現(xiàn)原理圖

2 三角自卷積窗(TSCW)

2.1 三角窗函數(shù)及頻譜

窗長為N的三角窗離散時(shí)域函數(shù)可以表示為：

(2)

為了便于三角窗FFT的數(shù)字化實(shí)現(xiàn)，通常選?。?/p>

N=2i(i=1,2,3,4…)。設(shè)采樣周期為Ts，則三角窗的頻譜函數(shù)為：

(3)

式中,w=2π/Ts。三角窗的主瓣寬度為8π/N，旁瓣峰值電平-27 db，旁瓣衰減率12 db，相對(duì)于其他經(jīng)典窗函數(shù),實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，同時(shí)頻譜無負(fù)瓣，有較高的旁瓣衰減率，因此本文選擇三角窗作為卷積窗的母窗。

2.2 TSCW頻譜分析

根據(jù)卷積窗的定義：TSCW在時(shí)域可以看做是窗寬為N的P個(gè)三角窗的做P-1次時(shí)域卷積，可表達(dá)成下式：

(4)

由卷積的性質(zhì)，TSCW的頻譜函數(shù)為三角窗在頻域的乘積，因此TSCW的頻譜函數(shù)為：

(5)

TSCW的窗寬為PM-P+1，對(duì)序列補(bǔ)充P+1個(gè)0可以得到寬度為PM的窗口。對(duì)連續(xù)的IDFT頻譜進(jìn)行離散化，頻率間隔即分辨率為w=2kπ/M(k=0，1...M-1)，M=PN為卷積窗寬。因此可以將式(5)改寫為:

(6)

從(6)式可以看出，使得|w(k)|=0充要條件是：

(7)

當(dāng)k=2pd時(shí)，滿足|w(k)|=0。對(duì)于頻譜圖最靠近原點(diǎn)右側(cè)的零點(diǎn)為處k=2p，與零點(diǎn)的頻譜距離為4pπ/M，因此長度為N的三角窗進(jìn)行P階卷積后的頻譜函數(shù)主瓣寬度為：

(8)

從式(8)可以看出，TSCW的主瓣寬度與母窗長度成反比關(guān)系。根據(jù)M=PN，當(dāng)TSCW的寬度固定時(shí)，卷積的階數(shù)和母窗長度成反比。因此對(duì)于寬度為M的TSCW，隨著卷積階數(shù)的增加，主瓣越寬。

選擇窗長度為N=128的三角窗為母窗進(jìn)行卷積與N=128經(jīng)典窗函數(shù)進(jìn)行頻譜特性對(duì)比分析。圖3給出了1～4階TSCW的傅里葉變換幅頻曲線，同時(shí)標(biāo)注了各響應(yīng)的旁瓣峰值電平。可以看出隨著卷積階數(shù)的增加，卷積窗的峰值旁瓣電平和旁瓣滾轉(zhuǎn)率等旁瓣性能迅速加強(qiáng)。表1給出了一些經(jīng)典窗與不同階數(shù)的TSCW的頻譜特征值。這意味著選擇合適的卷積階數(shù)的TSCW對(duì)采集信號(hào)進(jìn)行截?cái)?，可以有效的抑制頻譜泄露，提高相位角的計(jì)算可靠性。

圖3 一階至四階三角卷積窗頻譜圖

窗函數(shù)主瓣寬度旁瓣峰值(db)旁瓣衰減率(db)hanning8π/N-3118hamming8π/N-436blackman12π/N-5918三角窗8π/N-27122rd-TSCW16π/N-52243rd-TSCW24π/N-79364rd-TSCW32π/N-10448

綜合以上分析，TSCW具有較好的旁瓣峰值電平和衰減率，可以有效地抑制頻譜泄漏，但是隨著卷積階數(shù)的增加處理器對(duì)數(shù)據(jù)的計(jì)算量也增加，本文選擇二階TSCW來進(jìn)行介損角的測(cè)量。

3 全相位相位角檢測(cè)

3.1 全相位(apFFT)介紹

apFFT數(shù)據(jù)預(yù)處理[12]對(duì)采樣的2N-1個(gè)數(shù)據(jù)，通過加窗(單窗，雙窗，無窗)，然后應(yīng)用疊加運(yùn)算進(jìn)行FFT運(yùn)算。利用了傅里葉變換的線性時(shí)不變性，較大的提高了頻譜和相位譜分析的準(zhǔn)確度。全相位數(shù)據(jù)預(yù)處理過程如圖4所示。

圖中，w(n)為前窗f和翻轉(zhuǎn)后窗b的卷積，其長度均為N，表達(dá)式為：

w(n)=f(n)*b(-n)

(9)

當(dāng)f(n)=b(n)=Rn(矩形窗)時(shí)，稱為無窗全相位；當(dāng)f(n)與b(n)中任意一個(gè)不是Rn時(shí)，稱為單窗全相位；當(dāng)f(n)=b(n)≠Rn時(shí)，稱為雙窗全相位。

3.2 性能分析

輸入信號(hào)為給定單一頻率的復(fù)指數(shù)序列：

x(n)=Aejwn+φ

(10)

式中,w為信號(hào)頻率，A為信號(hào)幅值，φ為信號(hào)相位角。

傳統(tǒng)的傅里葉變換，由于信號(hào)頻率的波動(dòng)，以及采樣時(shí)對(duì)信號(hào)的截?cái)啵沟梅治龃嬖谥鴩?yán)重的頻譜泄露和柵欄效應(yīng)，這會(huì)對(duì)相位角的計(jì)算造成較大的誤差。

對(duì)式(10)進(jìn)行傅里葉變換時(shí)，設(shè)采樣頻率固定，當(dāng)信號(hào)中頻率出現(xiàn)波動(dòng)時(shí)，采樣頻率非信號(hào)頻率的整數(shù)倍，會(huì)出現(xiàn)非同步采樣。頻譜圖如圖5所示。

圖5 傳統(tǒng)FFT頻譜

從圖4可以看出，當(dāng)信號(hào)頻率出波動(dòng)時(shí)，頻譜分析相對(duì)于同步采樣出現(xiàn)較豐富的旁瓣，頻譜泄露嚴(yán)重，峰值譜線不能很好的集中有用信號(hào)。信號(hào)的幅值、頻率和相位角都會(huì)出現(xiàn)較大的誤差。同時(shí)對(duì)信號(hào)進(jìn)行DFT運(yùn)算有：

(11)

從式(11)得到傳統(tǒng)DFT相位誤差值式(12)，可以看出，相位角的誤差也隨頻率變化相關(guān)。

(12)

apFFT數(shù)據(jù)預(yù)處理過程如下：

1)用窗f對(duì)截?cái)鄶?shù)據(jù)xi進(jìn)行加窗；

2)加窗后的xi進(jìn)行周期延拓；

3)用后窗b對(duì)向量相同位置加權(quán)疊加求和；

4)最后得到的向量進(jìn)行FFT運(yùn)算；

對(duì)式(10)信號(hào)分別進(jìn)行apFFT頻譜響應(yīng)Y(k)與傳統(tǒng)的傅里葉變換頻譜響應(yīng)X(k)分析，它們之間加窗后存在一定的關(guān)系如式(13)所示。

Y(k)=|X(k)|2ejφ=|W(kΔw-w*)|2ejφ

(13)

式中,W(w)為所加窗函數(shù)的頻譜函數(shù)?？梢钥闯?，加窗后的apFFT的幅值為傳統(tǒng)傅里葉變換幅值的平方，使得apFFT主譜線幅值更加集中，旁瓣的幅值譜線也按照平方的速度衰減，所以apFFT可以很的抑制頻譜泄露，同時(shí)相位角不會(huì)受到影響，提高了介質(zhì)損耗角檢測(cè)中相位角計(jì)算的可靠性。

假設(shè)給定信號(hào)s同時(shí)包含多種信號(hào)頻率和初始相位值，信號(hào)頻率非整數(shù)容易出現(xiàn)非同步采樣，s=10*cos(10.2*2*pi*t/256+pi/10)+2*cos(20.8*2*pi*t/256+pi/3)+2*cos(30.1*2*pi*t/256+pi/3)+2*cos(40.5*2*pi*t/256+pi)(-N+1

圖5 傳統(tǒng)加窗與apFFT分析對(duì)比圖

通過仿真，看到傳統(tǒng)加窗FFT旁瓣較為多，而apFFT的旁瓣明顯減弱很多，主要集中在峰值譜線兩側(cè)相鄰的譜線中，這對(duì)式(13)也是一個(gè)很好的驗(yàn)證。因此apFFT對(duì)于抑制頻譜泄露有著更好的效果。但是由于柵欄效應(yīng)的存在，apFFT的頻率點(diǎn)和信號(hào)實(shí)際的頻率存在較小的誤差，同時(shí)apFFT中，信號(hào)頻率點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的相位譜的相位值與信號(hào)中心樣點(diǎn)的實(shí)際相位值保持一致，即‘相位不變性’。

相對(duì)于傳統(tǒng)FFT算法復(fù)乘N2及N(N-1)的運(yùn)算量，apFFT的運(yùn)算量僅在此基礎(chǔ)上增加了N次累加運(yùn)算，增加較少的運(yùn)算量卻可以得到較大的性能改善。

3.3 相位譜校正方法改進(jìn)

apFFT頻譜分析具有抑制頻譜泄露、‘相位不變性’的特點(diǎn)，但是在理論推導(dǎo)過程中數(shù)據(jù)的截?cái)嗍侨∫詘(0)為中心前后2N-1個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，所得到的相位值為信號(hào)在x(0)處的相位值。在實(shí)際的工程應(yīng)用中，無法對(duì)x(0)前的數(shù)據(jù)截取，因此只能取x(0)的后2N-1個(gè)數(shù)據(jù)。這時(shí)采樣中心點(diǎn)發(fā)生變化，因此apFFT計(jì)算得到的相位角不是初始相位角，需要對(duì)結(jié)果進(jìn)行校正。

針對(duì)上述問題，取前2N-1個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行全相位數(shù)據(jù)預(yù)處理，此時(shí)通過FFT得到的相位譜為頻率點(diǎn)處的相位值為第N個(gè)數(shù)據(jù)的相位值φ1；然后將數(shù)據(jù)進(jìn)行延時(shí)L后進(jìn)行全相位預(yù)處理后得到的相位位第N+L個(gè)點(diǎn)的相位值φ2。

(14)

由于φ1，φ2的取值范圍均為[-π,π]。如果以φ1為標(biāo)準(zhǔn)，與數(shù)據(jù)延時(shí)L后得到的φ2的值較大時(shí)Δφ=[-2π,2π]，就會(huì)出現(xiàn)‘相位模糊’，一值多解。因此本文中取L=1，當(dāng)頻率不是很大時(shí)可以保證Δφ=[-π,π]。同時(shí)由于時(shí)移在相位譜中有附加相移2kLπ/N，相位差理論值與實(shí)際值之間存在如下關(guān)系：

Δφ*=Δφ+2kLπ/N

(15)

當(dāng)采樣數(shù)據(jù)N值很大時(shí)為了計(jì)算簡(jiǎn)便，附加相移可以忽略不計(jì)。利用相位差很容易推導(dǎo)出信號(hào)初始相位的估算方法：

w0=Δφ

(16)

θ0=θ1-NΔφ

(17)

上式即為最后的相位校正公式。相關(guān)校正流程可以用圖6表示。

圖7 相位角流程圖

4 仿真研究

為了驗(yàn)證本文所提算法的有效性，選擇文獻(xiàn)[10]所提的傳統(tǒng)相位差校正算法及文獻(xiàn)[11]加窗插值算法進(jìn)行對(duì)比。在仿真電路中模擬絕緣材料等效電路參數(shù)，設(shè)置電阻值R=22.67 kΩ，電感為591.2 nF，采樣頻率為2.5 kHz，電源頻率為50 Hz,介損角的理論值0.004 129。仿真中考慮更多的實(shí)際因素對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，如:信號(hào)頻率波動(dòng)、諧波干擾、噪聲的干擾等。

4.1 信號(hào)頻率波動(dòng)測(cè)量結(jié)果的影響的分析

選擇N=256，構(gòu)建二階TSCW。電壓信號(hào)的頻率波動(dòng)范圍為48.2～50.2，分別得到三種不同檢測(cè)方法的相對(duì)誤差值如表2。

表2 信號(hào)頻率波動(dòng)引起的介損角相對(duì)誤差

通過分析可以看出，在頻率波動(dòng)的情況下，傳統(tǒng)的相位差法與加窗插值算法計(jì)算得到的介損角值誤差相差不是很大，本文通過提出的加TSCW窗的apFFT相位校正算法法，介損角的檢測(cè)可以達(dá)到10-12精度值，采集較小的數(shù)據(jù)長度進(jìn)行較少的運(yùn)算量，可有有效的克服基波頻率波動(dòng)對(duì)檢測(cè)結(jié)果的影響。

4.2 諧波干擾對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響

在非同步采樣時(shí)，由于頻譜的泄露，諧波的注入會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生較大的影響。取電源基波信號(hào)頻率為f=49.8，在電源信號(hào)中加入不同比例的三次諧波，幅值分別為2%～8%，并且與文獻(xiàn)[10]方法進(jìn)行對(duì)比。進(jìn)行仿真分析后得到表3。

表3 諧波簡(jiǎn)諧波引起的介損角相對(duì)誤差

由以上可以得到加TSCW窗的apFFT可以有效的克服諧波對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。在諧波干擾下，測(cè)量結(jié)果穩(wěn)定并且精度較高。

4.3 加入白噪聲對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響

加入不同程度的噪聲干擾，對(duì)比不同算法的檢測(cè)誤差，通過仿真得到圖8的結(jié)果。三種方法中當(dāng)信噪比大于30 dB時(shí)，本文算法可以達(dá)到較高的精度；但當(dāng)信噪比低于30 dB，三種方法相對(duì)誤差相差不是很多。

-N≤n≤N-1

圖8 加干擾后相對(duì)誤差曲線

綜上所示，與傳統(tǒng)方法相位差校正算法及加窗插值算法，appFFT在頻率波動(dòng)、諧波干擾、噪聲干擾的情況下能有有效的抑制頻譜泄露和柵欄效應(yīng)，可以保證介質(zhì)損耗角較高的測(cè)量精度。

5 結(jié)論

本文討論了一種新的介質(zhì)損耗角在線檢測(cè)的數(shù)字算法，所提出的方法中將卷積窗的優(yōu)良特性結(jié)合全相位數(shù)據(jù)處理算法應(yīng)用于介質(zhì)損耗角的檢測(cè)，并改進(jìn)相位角校正算法。仿真研究表明，相對(duì)于傳統(tǒng)的相位差算法及加窗插值算法，該算法在較小的數(shù)據(jù)處理量下，可以較好的保證測(cè)量的精度，提高絕緣性能檢測(cè)的可靠性。